Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd3 30268
Description: Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd3.f 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd3.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd3.i 𝐼 ∈ ℕ0
dpadd3.1 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
Assertion
Ref Expression
dpadd3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)

Proof of Theorem dpadd3
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 11762 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul.c . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 11762 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
6 dp2cl 30236 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
73, 5, 6mp2an 688 . . . . . 6 𝐵𝐶 ∈ ℝ
8 dpcl 30247 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ)
91, 7, 8mp2an 688 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ
109recni 10508 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℂ
11 dpmul.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
12 dpmul.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0rei 11762 . . . . . . 7 𝐸 ∈ ℝ
14 dpadd3.f . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℕ0
1514nn0rei 11762 . . . . . . 7 𝐹 ∈ ℝ
16 dp2cl 30236 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
1713, 15, 16mp2an 688 . . . . . 6 𝐸𝐹 ∈ ℝ
18 dpcl 30247 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ0𝐸𝐹 ∈ ℝ) → (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ)
1911, 17, 18mp2an 688 . . . . 5 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ
2019recni 10508 . . . 4 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℂ
2110, 20addcli 10500 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ
22 dpmul.g . . . . 5 𝐺 ∈ ℕ0
23 dpadd3.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11762 . . . . . 6 𝐻 ∈ ℝ
25 dpadd3.i . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ0
2625nn0rei 11762 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℝ
27 dp2cl 30236 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐻𝐼 ∈ ℝ)
2824, 26, 27mp2an 688 . . . . 5 𝐻𝐼 ∈ ℝ
29 dpcl 30247 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ℕ0𝐻𝐼 ∈ ℝ) → (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ)
3022, 28, 29mp2an 688 . . . 4 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ
3130recni 10508 . . 3 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ
32 10nn 11968 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
3332decnncl2 11976 . . . . 5 100 ∈ ℕ
3433nncni 11502 . . . 4 100 ∈ ℂ
3533nnne0i 11531 . . . 4 100 ≠ 0
3634, 35pm3.2i 471 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
3721, 31, 363pm3.2i 1332 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0))
3810, 20, 34adddiri 10507 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100))
39 dpadd3.1 . . . 4 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
401, 2, 5dpmul100 30253 . . . . 5 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶
4111, 12, 15dpmul100 30253 . . . . 5 ((𝐷.𝐸𝐹) · 100) = 𝐷𝐸𝐹
4240, 41oveq12i 7035 . . . 4 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹)
4322, 23, 26dpmul100 30253 . . . 4 ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) = 𝐺𝐻𝐼
4439, 42, 433eqtr4i 2831 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
4538, 44eqtri 2821 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
46 mulcan2 11132 . . 3 ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)))
4746biimpa 477 . 2 (((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) ∧ (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)) → ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼))
4837, 45, 47mp2an 688 1 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  0cn0 11751  cdc 11952  cdp2 30227  .cdp 30244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-dec 11953  df-dp2 30228  df-dp 30245
This theorem is referenced by:  1mhdrd  30272  hgt750lem2  31536
  Copyright terms: Public domain W3C validator