Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd3 32895
Description: Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd3.f 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd3.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd3.i 𝐼 ∈ ℕ0
dpadd3.1 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
Assertion
Ref Expression
dpadd3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)

Proof of Theorem dpadd3
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 12539 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul.c . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 12539 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
6 dp2cl 32863 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
73, 5, 6mp2an 692 . . . . . 6 𝐵𝐶 ∈ ℝ
8 dpcl 32874 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ)
91, 7, 8mp2an 692 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ
109recni 11276 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℂ
11 dpmul.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
12 dpmul.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0rei 12539 . . . . . . 7 𝐸 ∈ ℝ
14 dpadd3.f . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℕ0
1514nn0rei 12539 . . . . . . 7 𝐹 ∈ ℝ
16 dp2cl 32863 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
1713, 15, 16mp2an 692 . . . . . 6 𝐸𝐹 ∈ ℝ
18 dpcl 32874 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ0𝐸𝐹 ∈ ℝ) → (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ)
1911, 17, 18mp2an 692 . . . . 5 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ
2019recni 11276 . . . 4 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℂ
2110, 20addcli 11268 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ
22 dpmul.g . . . . 5 𝐺 ∈ ℕ0
23 dpadd3.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ ℕ0
2423nn0rei 12539 . . . . . 6 𝐻 ∈ ℝ
25 dpadd3.i . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ0
2625nn0rei 12539 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℝ
27 dp2cl 32863 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐻𝐼 ∈ ℝ)
2824, 26, 27mp2an 692 . . . . 5 𝐻𝐼 ∈ ℝ
29 dpcl 32874 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ℕ0𝐻𝐼 ∈ ℝ) → (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ)
3022, 28, 29mp2an 692 . . . 4 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ
3130recni 11276 . . 3 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ
32 10nn 12751 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
3332decnncl2 12759 . . . . 5 100 ∈ ℕ
3433nncni 12277 . . . 4 100 ∈ ℂ
3533nnne0i 12307 . . . 4 100 ≠ 0
3634, 35pm3.2i 470 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
3721, 31, 363pm3.2i 1339 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0))
3810, 20, 34adddiri 11275 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100))
39 dpadd3.1 . . . 4 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
401, 2, 5dpmul100 32880 . . . . 5 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶
4111, 12, 15dpmul100 32880 . . . . 5 ((𝐷.𝐸𝐹) · 100) = 𝐷𝐸𝐹
4240, 41oveq12i 7444 . . . 4 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹)
4322, 23, 26dpmul100 32880 . . . 4 ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) = 𝐺𝐻𝐼
4439, 42, 433eqtr4i 2774 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
4538, 44eqtri 2764 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
46 mulcan2 11902 . . 3 ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)))
4746biimpa 476 . 2 (((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) ∧ (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)) → ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼))
4837, 45, 47mp2an 692 1 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  0cn0 12528  cdc 12735  cdp2 32854  .cdp 32871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-dec 12736  df-dp2 32855  df-dp 32872
This theorem is referenced by:  1mhdrd  32899  hgt750lem2  34668
  Copyright terms: Public domain W3C validator