Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd3 32511
Description: Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd3.f 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd3.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd3.i 𝐼 ∈ ℕ0
dpadd3.1 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
Assertion
Ref Expression
dpadd3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)

Proof of Theorem dpadd3
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 12479 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul.c . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 12479 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
6 dp2cl 32479 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
73, 5, 6mp2an 689 . . . . . 6 𝐵𝐶 ∈ ℝ
8 dpcl 32490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ)
91, 7, 8mp2an 689 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ
109recni 11224 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℂ
11 dpmul.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
12 dpmul.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0rei 12479 . . . . . . 7 𝐸 ∈ ℝ
14 dpadd3.f . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℕ0
1514nn0rei 12479 . . . . . . 7 𝐹 ∈ ℝ
16 dp2cl 32479 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
1713, 15, 16mp2an 689 . . . . . 6 𝐸𝐹 ∈ ℝ
18 dpcl 32490 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ0𝐸𝐹 ∈ ℝ) → (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ)
1911, 17, 18mp2an 689 . . . . 5 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ
2019recni 11224 . . . 4 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℂ
2110, 20addcli 11216 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ
22 dpmul.g . . . . 5 𝐺 ∈ ℕ0
23 dpadd3.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ ℕ0
2423nn0rei 12479 . . . . . 6 𝐻 ∈ ℝ
25 dpadd3.i . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ0
2625nn0rei 12479 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℝ
27 dp2cl 32479 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐻𝐼 ∈ ℝ)
2824, 26, 27mp2an 689 . . . . 5 𝐻𝐼 ∈ ℝ
29 dpcl 32490 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ℕ0𝐻𝐼 ∈ ℝ) → (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ)
3022, 28, 29mp2an 689 . . . 4 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ
3130recni 11224 . . 3 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ
32 10nn 12689 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
3332decnncl2 12697 . . . . 5 100 ∈ ℕ
3433nncni 12218 . . . 4 100 ∈ ℂ
3533nnne0i 12248 . . . 4 100 ≠ 0
3634, 35pm3.2i 470 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
3721, 31, 363pm3.2i 1336 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0))
3810, 20, 34adddiri 11223 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100))
39 dpadd3.1 . . . 4 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
401, 2, 5dpmul100 32496 . . . . 5 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶
4111, 12, 15dpmul100 32496 . . . . 5 ((𝐷.𝐸𝐹) · 100) = 𝐷𝐸𝐹
4240, 41oveq12i 7413 . . . 4 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹)
4322, 23, 26dpmul100 32496 . . . 4 ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) = 𝐺𝐻𝐼
4439, 42, 433eqtr4i 2762 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
4538, 44eqtri 2752 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
46 mulcan2 11848 . . 3 ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)))
4746biimpa 476 . 2 (((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) ∧ (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)) → ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼))
4837, 45, 47mp2an 689 1 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  (class class class)co 7401  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  0cn0 12468  cdc 12673  cdp2 32470  .cdp 32487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-dec 12674  df-dp2 32471  df-dp 32488
This theorem is referenced by:  1mhdrd  32515  hgt750lem2  34119
  Copyright terms: Public domain W3C validator