Theorem problem2 34651

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7421 adddiri 11227 add4i 11438 mulcli 11221 recni 11228 2re 12286 3eqtri 2765 10re 12696 5re 12299 1re 11214 4re 12296 eqcomi 2742 5p4e9 12370 oveq1i 7419 df-3 12276. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12286	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11228	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12696	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11228	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11221	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12299	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11228	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11214	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11228	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11221	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12296	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11228	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11438	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11227	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12370	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7421	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12276	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7419	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2765	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  9c9 12274  ;cdc 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678

This theorem is referenced by: (None)