Theorem problem2 35634

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7460 adddiri 11303 add4i 11514 mulcli 11297 recni 11304 2re 12367 3eqtri 2772 10re 12777 5re 12380 1re 11290 4re 12377 eqcomi 2749 5p4e9 12451 oveq1i 7458 df-3 12357. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11304	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12777	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11304	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11297	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12380	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11304	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11290	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11304	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11297	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12377	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11304	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11514	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11303	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12451	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7460	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12357	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7458	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2772	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  9c9 12355  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759

This theorem is referenced by: (None)