Theorem problem2 35710

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7358 adddiri 11125 add4i 11338 mulcli 11119 recni 11126 2re 12199 3eqtri 2758 10re 12607 5re 12212 1re 11112 4re 12209 eqcomi 2740 5p4e9 12278 oveq1i 7356 df-3 12189. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12199	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11126	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12607	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11126	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11119	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12212	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11126	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11112	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11126	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11119	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12209	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11126	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11338	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11125	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12278	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7358	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12189	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7356	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2758	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  5c5 12183  9c9 12187  ;cdc 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589

This theorem is referenced by: (None)