Theorem problem2 33624

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7287 adddiri 10988 add4i 11199 mulcli 10982 recni 10989 2re 12047 3eqtri 2770 10re 12456 5re 12060 1re 10975 4re 12057 eqcomi 2747 5p4e9 12131 oveq1i 7285 df-3 12037. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 10989	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12456	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 10989	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 10982	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12060	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 10989	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 10975	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 10989	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 10982	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12057	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 10989	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11199	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 10988	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12131	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7287	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12037	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7285	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2770	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  9c9 12035  ;cdc 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-dec 12438

This theorem is referenced by: (None)