Theorem problem2 35630

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7425 adddiri 11256 add4i 11468 mulcli 11250 recni 11257 2re 12322 3eqtri 2761 10re 12735 5re 12335 1re 11243 4re 12332 eqcomi 2743 5p4e9 12406 oveq1i 7423 df-3 12312. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12322	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11257	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12735	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11257	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11250	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12335	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11257	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11243	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11257	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11250	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12332	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11257	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11468	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11256	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12406	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7425	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12312	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7423	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2761	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7413  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  9c9 12310  ;cdc 12716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-dec 12717

This theorem is referenced by: (None)