Theorem problem2 35693

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7422 adddiri 11253 add4i 11465 mulcli 11247 recni 11254 2re 12319 3eqtri 2763 10re 12732 5re 12332 1re 11240 4re 12329 eqcomi 2745 5p4e9 12403 oveq1i 7420 df-3 12309. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12732	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11254	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11247	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12332	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11254	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11254	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11247	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12329	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11254	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11465	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11253	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12403	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7422	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12309	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2763	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  9c9 12307  ;cdc 12713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-dec 12714

This theorem is referenced by: (None)