Theorem problem2 35646

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7381 adddiri 11163 add4i 11375 mulcli 11157 recni 11164 2re 12236 3eqtri 2756 10re 12644 5re 12249 1re 11150 4re 12246 eqcomi 2738 5p4e9 12315 oveq1i 7379 df-3 12226. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12236	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11164	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12644	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11164	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11157	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12249	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11164	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11150	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11164	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11157	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12246	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11164	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11375	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11163	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12315	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7381	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12226	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7379	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2756	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  9c9 12224  ;cdc 12625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-dec 12626

This theorem is referenced by: (None)