Theorem problem2 36091

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7423 adddiri 11222 add4i 11435 mulcli 11216 recni 11223 2re 12315 3eqtri 2796 10re 12734 5re 12328 1re 11208 4re 12325 eqcomi 2778 5p4e9 12398 oveq1i 7421 df-3 12304. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11223	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12734	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11223	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11216	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12328	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11223	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11208	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11223	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11216	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12325	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11223	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11435	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11222	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12398	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7423	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12304	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7421	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2796	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  9c9 12302  ;cdc 12711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-dec 12712

This theorem is referenced by: (None)