Theorem problem2 35168

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7414 adddiri 11226 add4i 11437 mulcli 11220 recni 11227 2re 12285 3eqtri 2756 10re 12695 5re 12298 1re 11213 4re 12295 eqcomi 2733 5p4e9 12369 oveq1i 7412 df-3 12275. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11227	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12695	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11227	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11220	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12298	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11227	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11227	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11220	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12295	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11227	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11437	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11226	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2733	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12369	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7414	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12275	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2733	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7412	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7412	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2756	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  9c9 12273  ;cdc 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-dec 12677

This theorem is referenced by: (None)