Theorem problem2 33524

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7267 adddiri 10919 add4i 11129 mulcli 10913 recni 10920 2re 11977 3eqtri 2770 10re 12385 5re 11990 1re 10906 4re 11987 eqcomi 2747 5p4e9 12061 oveq1i 7265 df-3 11967. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11977	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 10920	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12385	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 10920	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 10913	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 11990	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 10920	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 10920	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 10913	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 11987	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 10920	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11129	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 10919	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12061	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7267	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 11967	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7265	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2770	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  9c9 11965  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367

This theorem is referenced by: (None)