Theorem problem2 35649

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7361 adddiri 11128 add4i 11341 mulcli 11122 recni 11129 2re 12202 3eqtri 2756 10re 12610 5re 12215 1re 11115 4re 12212 eqcomi 2738 5p4e9 12281 oveq1i 7359 df-3 12192. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12202	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11129	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12610	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11129	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11122	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12215	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11129	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11115	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11129	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11122	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12212	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11129	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11341	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11128	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12281	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7361	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12192	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7359	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7359	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2756	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  5c5 12186  9c9 12190  ;cdc 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-dec 12592

This theorem is referenced by: (None)