Theorem problem2 36158

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7422 adddiri 11217 add4i 11430 mulcli 11211 recni 11218 2re 12310 3eqtri 2790 10re 12729 5re 12323 1re 11203 4re 12320 eqcomi 2772 5p4e9 12393 oveq1i 7420 df-3 12299. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11218	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12729	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11218	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11211	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12323	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11218	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11203	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11218	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11211	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12320	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11218	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11430	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11217	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12393	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7422	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12299	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2790	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  5c5 12293  9c9 12297  ;cdc 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-dec 12707

This theorem is referenced by: (None)