Theorem problem2 35270

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7432 adddiri 11257 add4i 11468 mulcli 11251 recni 11258 2re 12316 3eqtri 2760 10re 12726 5re 12329 1re 11244 4re 12326 eqcomi 2737 5p4e9 12400 oveq1i 7430 df-3 12306. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12316	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11258	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12726	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11258	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11251	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12329	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11258	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11258	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11251	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12326	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11258	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11468	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11257	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2737	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12400	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7432	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12306	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7430	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2760	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  9c9 12304  ;cdc 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-dec 12708

This theorem is referenced by: (None)