Theorem problem2 36166

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7424 adddiri 11228 add4i 11441 mulcli 11222 recni 11229 2re 12321 3eqtri 2789 10re 12740 5re 12334 1re 11214 4re 12331 eqcomi 2771 5p4e9 12404 oveq1i 7422 df-3 12310. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12321	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11229	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12740	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11229	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11222	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12334	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11229	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11214	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11229	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11222	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12331	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11229	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11441	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11228	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12404	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7424	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12310	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2789	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12301  3c3 12302  4c4 12303  5c5 12304  9c9 12308  ;cdc 12717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-dec 12718

This theorem is used by: (None)