Theorem problem2 36555

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7442 adddiri 11335 add4i 11548 mulcli 11329 recni 11336 2re 12430 3eqtri 2790 10re 12850 5re 12443 1re 11321 4re 12440 eqcomi 2772 5p4e9 12513 oveq1i 7440 df-3 12419. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11336	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12850	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11336	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11329	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12443	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11336	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11321	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11336	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11329	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12440	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11336	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11548	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11335	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12513	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7442	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12419	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7440	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7440	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2790	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   · cmul 11218  2c2 12410  3c3 12411  4c4 12412  5c5 12413  9c9 12417  ;cdc 12827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-dec 12828

This theorem is used by: (None)