Theorem problem2 35626

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7457 adddiri 11299 add4i 11510 mulcli 11293 recni 11300 2re 12363 3eqtri 2766 10re 12773 5re 12376 1re 11286 4re 12373 eqcomi 2743 5p4e9 12447 oveq1i 7455 df-3 12353. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12363	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11300	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12773	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11300	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11293	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12376	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11300	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11286	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11300	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11293	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12373	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11300	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11510	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11299	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12447	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7457	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12353	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7455	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7455	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2766	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181   + caddc 11183   · cmul 11185  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  9c9 12351  ;cdc 12754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-ltxr 11325  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-dec 12755

This theorem is referenced by: (None)