Theorem problem2 35651

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7443 adddiri 11272 add4i 11484 mulcli 11266 recni 11273 2re 12338 3eqtri 2767 10re 12750 5re 12351 1re 11259 4re 12348 eqcomi 2744 5p4e9 12422 oveq1i 7441 df-3 12328. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11273	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12750	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11273	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11266	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12351	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11273	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11259	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11273	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11266	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12348	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11273	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11484	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11272	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12422	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7443	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12328	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7441	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2767	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  9c9 12326  ;cdc 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732

This theorem is referenced by: (None)