Theorem problem2 36017

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7409 adddiri 11196 add4i 11409 mulcli 11190 recni 11197 2re 12293 3eqtri 2790 10re 12712 5re 12306 1re 11182 4re 12303 eqcomi 2772 5p4e9 12376 oveq1i 7407 df-3 12282. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12293	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 11197	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12712	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11197	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 11190	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 12306	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 11197	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 11182	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 11197	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 11190	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 12303	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 11197	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 11409	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 11196	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 12376	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7409	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 12282	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7407	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7407	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2790	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1561  (class class class)co 7397  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  5c5 12276  9c9 12280  ;cdc 12689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-dec 12690

This theorem is referenced by: (None)