MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom2i 14029
Description: The square of a binomial. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
binom2.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
binom2.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
binom2i ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))

Proof of Theorem binom2i
StepHypRef Expression
1 binom2.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 binom2.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‚
31, 2addcli 11082 . . . 4 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚
43, 1, 2adddii 11088 . . 3 ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต))
51, 2, 1adddiri 11089 . . . . . 6 ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ด))
62, 1mulcomi 11084 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต)
76oveq2i 7348 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต))
85, 7eqtri 2764 . . . . 5 ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต))
91, 2, 2adddiri 11089 . . . . 5 ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต))
108, 9oveq12i 7349 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)))
111, 1mulcli 11083 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
121, 2mulcli 11083 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
1311, 12addcli 11082 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚
142, 2mulcli 11083 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
1513, 12, 14addassi 11086 . . . 4 ((((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ต ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)))
1611, 12, 12addassi 11086 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)))
1716oveq1i 7347 . . . 4 ((((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ต ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต))
1810, 15, 173eqtr2i 2770 . . 3 (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต))
194, 18eqtri 2764 . 2 ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต))
203sqvali 13998 . 2 ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต))
211sqvali 13998 . . . 4 (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด)
22122timesi 12212 . . . 4 (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))
2321, 22oveq12i 7349 . . 3 ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)))
242sqvali 13998 . . 3 (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต)
2523, 24oveq12i 7349 . 2 (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต))
2619, 20, 253eqtr4i 2774 1 ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7337  โ„‚cc 10970   + caddc 10975   ยท cmul 10977  2c2 12129  โ†‘cexp 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-exp 13884
This theorem is referenced by:  binom2  14034  nn0opthlem1  14083  2lgsoddprmlem3d  26667  ax5seglem7  27592  norm-ii-i  29787  quad3  33927
  Copyright terms: Public domain W3C validator