Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > binom2i | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The square of a binomial. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) |
Ref | Expression |
---|---|
binom2.1 | โข ๐ด โ โ |
binom2.2 | โข ๐ต โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
binom2i | โข ((๐ด + ๐ต)โ2) = (((๐ดโ2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ2)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | binom2.1 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ | |
2 | binom2.2 | . . . . 5 โข ๐ต โ โ | |
3 | 1, 2 | addcli 11082 | . . . 4 โข (๐ด + ๐ต) โ โ |
4 | 3, 1, 2 | adddii 11088 | . . 3 โข ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต)) |
5 | 1, 2, 1 | adddiri 11089 | . . . . . 6 โข ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ด)) |
6 | 2, 1 | mulcomi 11084 | . . . . . . 7 โข (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต) |
7 | 6 | oveq2i 7348 | . . . . . 6 โข ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) |
8 | 5, 7 | eqtri 2764 | . . . . 5 โข ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) |
9 | 1, 2, 2 | adddiri 11089 | . . . . 5 โข ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)) |
10 | 8, 9 | oveq12i 7349 | . . . 4 โข (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต))) |
11 | 1, 1 | mulcli 11083 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท ๐ด) โ โ |
12 | 1, 2 | mulcli 11083 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท ๐ต) โ โ |
13 | 11, 12 | addcli 11082 | . . . . 5 โข ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) โ โ |
14 | 2, 2 | mulcli 11083 | . . . . 5 โข (๐ต ยท ๐ต) โ โ |
15 | 13, 12, 14 | addassi 11086 | . . . 4 โข ((((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ต ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต))) |
16 | 11, 12, 12 | addassi 11086 | . . . . 5 โข (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) |
17 | 16 | oveq1i 7347 | . . . 4 โข ((((๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ต)) + (๐ต ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต)) |
18 | 10, 15, 17 | 3eqtr2i 2770 | . . 3 โข (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ด) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต)) |
19 | 4, 18 | eqtri 2764 | . 2 โข ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต)) |
20 | 3 | sqvali 13998 | . 2 โข ((๐ด + ๐ต)โ2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) |
21 | 1 | sqvali 13998 | . . . 4 โข (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด) |
22 | 12 | 2timesi 12212 | . . . 4 โข (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)) |
23 | 21, 22 | oveq12i 7349 | . . 3 โข ((๐ดโ2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) |
24 | 2 | sqvali 13998 | . . 3 โข (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต) |
25 | 23, 24 | oveq12i 7349 | . 2 โข (((๐ดโ2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ2)) = (((๐ด ยท ๐ด) + ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ต ยท ๐ต)) |
26 | 19, 20, 25 | 3eqtr4i 2774 | 1 โข ((๐ด + ๐ต)โ2) = (((๐ดโ2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ2)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1540 โ wcel 2105 (class class class)co 7337 โcc 10970 + caddc 10975 ยท cmul 10977 2c2 12129 โcexp 13883 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-cnex 11028 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 ax-pre-mulgt0 11049 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3917 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-tr 5210 df-id 5518 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6238 df-ord 6305 df-on 6306 df-lim 6307 df-suc 6308 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-om 7781 df-2nd 7900 df-frecs 8167 df-wrecs 8198 df-recs 8272 df-rdg 8311 df-er 8569 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-xr 11114 df-ltxr 11115 df-le 11116 df-sub 11308 df-neg 11309 df-nn 12075 df-2 12137 df-n0 12335 df-z 12421 df-uz 12684 df-seq 13823 df-exp 13884 |
This theorem is referenced by: binom2 14034 nn0opthlem1 14083 2lgsoddprmlem3d 26667 ax5seglem7 27592 norm-ii-i 29787 quad3 33927 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |