MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom2i 13577
Description: The square of a binomial. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
binom2.1 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
binom2i ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))

Proof of Theorem binom2i
StepHypRef Expression
1 binom2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 binom2.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
31, 2addcli 10650 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
43, 1, 2adddii 10656 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵))
51, 2, 1adddiri 10657 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴))
62, 1mulcomi 10652 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵)
76oveq2i 7170 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵))
85, 7eqtri 2847 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵))
91, 2, 2adddiri 10657 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))
108, 9oveq12i 7171 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
111, 1mulcli 10651 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
121, 2mulcli 10651 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
1311, 12addcli 10650 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ
142, 2mulcli 10651 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
1513, 12, 14addassi 10654 . . . 4 ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
1611, 12, 12addassi 10654 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
1716oveq1i 7169 . . . 4 ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
1810, 15, 173eqtr2i 2853 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
194, 18eqtri 2847 . 2 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
203sqvali 13546 . 2 ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵))
211sqvali 13546 . . . 4 (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
22122timesi 11778 . . . 4 (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))
2321, 22oveq12i 7171 . . 3 ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
242sqvali 13546 . . 3 (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)
2523, 24oveq12i 7171 . 2 (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
2619, 20, 253eqtr4i 2857 1 ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2113  (class class class)co 7159  cc 10538   + caddc 10543   · cmul 10545  2c2 11695  cexp 13432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433
This theorem is referenced by:  binom2  13582  nn0opthlem1  13631  2lgsoddprmlem3d  25992  ax5seglem7  26724  norm-ii-i  28917  quad3  32917
  Copyright terms: Public domain W3C validator