MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq3sgn 26542
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 26500 . . 3 π ∈ ℝ
2 3re 12346 . . . 4 3 ∈ ℝ
3 halfpire 26506 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ
42, 3remulcli 11277 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
5 rexr 11307 . . . 4 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
6 rexr 11307 . . . 4 ((3 · (π / 2)) ∈ ℝ → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*)
7 elioo2 13428 . . . 4 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
85, 6, 7syl2an 596 . . 3 ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
91, 4, 8mp2an 692 . 2 (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
10 pidiv2halves 26509 . . . . . . . . 9 ((π / 2) + (π / 2)) = π
1110breq1i 5150 . . . . . . . 8 (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < 𝐴)
12 ltaddsub 11737 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
133, 3, 12mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
1411, 13bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (π < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
15 ltsubadd 11733 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
163, 1, 15mp3an23 1455 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
17 df-3 12330 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
1817oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
19 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
20 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
213recni 11275 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
2219, 20, 21adddiri 11274 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
231recni 11275 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
24 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
2523, 19, 24divcan2i 12010 . . . . . . . . . . 11 (2 · (π / 2)) = π
2621mullidi 11266 . . . . . . . . . . 11 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2725, 26oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2818, 22, 273eqtrri 2770 . . . . . . . . 9 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2928breq2i 5151 . . . . . . . 8 (𝐴 < (π + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (3 · (π / 2)))
3016, 29bitr2di 288 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (3 · (π / 2)) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < π))
3114, 30anbi12d 632 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) ↔ ((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
32 resubcl 11573 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
333, 32mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
34 sincosq2sgn 26541 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
35 rexr 11307 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
36 elioo2 13428 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
3735, 5, 36syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
383, 1, 37mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π))
39 ancom 460 . . . . . . . . 9 ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
4034, 38, 393imtr3i 291 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
4133, 40syl3an1 1164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
42413expib 1123 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
4331, 42sylbid 240 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
4433resincld 16179 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
4544lt0neg2d 11833 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
4645anbi2d 630 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
4743, 46sylibd 239 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
48 recn 11245 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
49 pncan3 11516 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
5021, 48, 49sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
5150fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
5233recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
53 sinhalfpip 26534 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5551, 54eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5655breq1d 5153 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5750fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
58 coshalfpip 26536 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
5952, 58syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6057, 59eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6160breq1d 5153 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
6256, 61anbi12d 632 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6347, 62sylibrd 259 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0)))
64633impib 1117 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
659, 64sylbi 217 1 (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  (,)cioo 13387  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  26543
  Copyright terms: Public domain W3C validator