MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3d 26000
Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 26001. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3d (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d
StepHypRef Expression
1 6cn 11720 . . 3 6 ∈ ℂ
2 8cn 11726 . . 3 8 ∈ ℂ
3 0re 10636 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 8pos 11741 . . . 4 0 < 8
53, 4gtneii 10745 . . 3 8 ≠ 0
61, 2, 5divcan4i 11380 . 2 ((6 · 8) / 8) = 6
71, 2mulcli 10641 . . . 4 (6 · 8) ∈ ℂ
8 ax-1cn 10588 . . . 4 1 ∈ ℂ
9 4p3e7 11783 . . . . . . 7 (4 + 3) = 7
109eqcomi 2810 . . . . . 6 7 = (4 + 3)
1110oveq1i 7149 . . . . 5 (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12 4cn 11714 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
13 3cn 11710 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
1412, 13binom2i 13574 . . . . . 6 ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15 sq4e2t8 13562 . . . . . . . . . 10 (4↑2) = (2 · 8)
16 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11797 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
1812, 16, 17mulcomli 10643 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
1918oveq1i 7149 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
2016, 12, 13mulassi 10645 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
212, 13mulcomi 10642 . . . . . . . . . . 11 (8 · 3) = (3 · 8)
2219, 20, 213eqtr3i 2832 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
2315, 22oveq12i 7151 . . . . . . . . 9 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
2416, 13, 2adddiri 10647 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25 3p2e5 11780 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
2613, 16, 25addcomli 10825 . . . . . . . . . 10 (2 + 3) = 5
2726oveq1i 7149 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
2823, 24, 273eqtr2i 2830 . . . . . . . 8 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29 sq3 13561 . . . . . . . . 9 (3↑2) = 9
30 df-9 11699 . . . . . . . . 9 9 = (8 + 1)
3129, 30eqtri 2824 . . . . . . . 8 (3↑2) = (8 + 1)
3228, 31oveq12i 7151 . . . . . . 7 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33 5cn 11717 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
3433, 2mulcli 10641 . . . . . . . 8 (5 · 8) ∈ ℂ
3534, 2, 8addassi 10644 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36 df-6 11696 . . . . . . . . . . 11 6 = (5 + 1)
3736oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
4038, 39adddirp1d 10660 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
4237, 41eqtri 2824 . . . . . . . . 9 (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
4342eqcomi 2810 . . . . . . . 8 ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
4443oveq1i 7149 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
4532, 35, 443eqtr2i 2830 . . . . . 6 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
4614, 45eqtri 2824 . . . . 5 ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
4711, 46eqtri 2824 . . . 4 (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
487, 8, 47mvrraddi 10896 . . 3 ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
4948oveq1i 7149 . 2 (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50 3t2e6 11795 . . 3 (3 · 2) = 6
5113, 16, 50mulcomli 10643 . 2 (2 · 3) = 6
526, 49, 513eqtr4i 2834 1 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  8c8 11690  9c9 11691  cexp 13429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13369  df-exp 13430
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  26001
  Copyright terms: Public domain W3C validator