Theorem 2lgsoddprmlem3d 27606

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27607. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12343	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 12349	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 11221	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 12367	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 11333	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 11973	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 11227	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11169	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 12405	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 14261	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 14248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2t4e8 12421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
17	16	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
18		2cn 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	18, 12, 13	mulassi 11231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
20	2, 13	mulcomi 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
21	17, 19, 20	3eqtr3i 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
22	15, 21	oveq12i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
23	18, 13, 2	adddiri 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24		3p2e5 12402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
25	13, 18, 24	addcomli 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
26	25	oveq1i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
27	22, 23, 26	3eqtr2i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
28		sq3 14247	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
29		df-9 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
30	28, 29	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
31	27, 30	oveq12i 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
32		5cn 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
33	32, 2	mulcli 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
34	33, 2, 8	addassi 11230	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
35		df-6 12318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
36	35	oveq1i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
37	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
38		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
39	37, 38	adddirp1d 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
40	2, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
41	36, 40	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	41	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
43	42	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
44	31, 34, 43	3eqtr2i 2794	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
45	14, 44	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
46	11, 45	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	7, 8, 46	mvrraddi 11485	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
48	47	oveq1i 7426	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
49		2t3e6 12418	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
50	6, 48, 49	3eqtr4i 2798	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ↑cexp 14110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem3  27607