Theorem 2lgsoddprmlem3d 27746

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27747. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12438	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 12444	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 11314	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 12462	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 11426	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 12068	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 11320	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11262	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 12500	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 12432	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 12428	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 14360	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 14346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2t4e8 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
17	16	oveq1i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
18		2cn 12422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	18, 12, 13	mulassi 11324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
20	2, 13	mulcomi 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
21	17, 19, 20	3eqtr3i 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
22	15, 21	oveq12i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
23	18, 13, 2	adddiri 11326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24		3p2e5 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
25	13, 18, 24	addcomli 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
26	25	oveq1i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
27	22, 23, 26	3eqtr2i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
28		sq3 14345	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
29		df-9 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
30	28, 29	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
31	27, 30	oveq12i 7433	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
32		5cn 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
33	32, 2	mulcli 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
34	33, 2, 8	addassi 11323	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
35		df-6 12413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
36	35	oveq1i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
37	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
38		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
39	37, 38	adddirp1d 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
40	2, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
41	36, 40	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	41	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
43	42	oveq1i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
44	31, 34, 43	3eqtr2i 2789	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
45	14, 44	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
46	11, 45	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	7, 8, 46	mvrraddi 11578	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
48	47	oveq1i 7431	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
49		2t3e6 12513	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
50	6, 48, 49	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   / cdiv 11977  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  7c7 12406  8c8 12407  9c9 12408  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem3  27747