Theorem 2lgsoddprmlem3d 26906

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 26907. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12300	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 12306	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 12321	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 11323	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 11958	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 11218	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11165	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 12363	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7416	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 12294	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 14173	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 14160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 12284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 14159	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 7418	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 11221	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2767	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 11474	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 7416	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 12375	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 11220	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2771	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11441   / cdiv 11868  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  5c5 12267  6c6 12268  7c7 12269  8c8 12270  9c9 12271  ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  26907