Theorem 2lgsoddprmlem3d 27649

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27650. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12356	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 12362	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 11234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 12380	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 11346	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 11986	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 11240	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11182	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 12418	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 12346	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 14276	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 14263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2t4e8 12434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
17	16	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
18		2cn 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	18, 12, 13	mulassi 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
20	2, 13	mulcomi 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
21	17, 19, 20	3eqtr3i 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
22	15, 21	oveq12i 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
23	18, 13, 2	adddiri 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24		3p2e5 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
25	13, 18, 24	addcomli 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
26	25	oveq1i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
27	22, 23, 26	3eqtr2i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
28		sq3 14262	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
29		df-9 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
30	28, 29	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
31	27, 30	oveq12i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
32		5cn 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
33	32, 2	mulcli 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
34	33, 2, 8	addassi 11243	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
35		df-6 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
36	35	oveq1i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
37	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
38		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
39	37, 38	adddirp1d 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
40	2, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
41	36, 40	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	41	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
43	42	oveq1i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
44	31, 34, 43	3eqtr2i 2789	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
45	14, 44	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
46	11, 45	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	7, 8, 46	mvrraddi 11498	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
48	47	oveq1i 7423	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
49		2t3e6 12431	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
50	6, 48, 49	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465   / cdiv 11895  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem3  27650