MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3d 27458
Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27459. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3d (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d
StepHypRef Expression
1 6cn 12358 . . 3 6 ∈ ℂ
2 8cn 12364 . . 3 8 ∈ ℂ
3 0re 11264 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 8pos 12379 . . . 4 0 < 8
53, 4gtneii 11374 . . 3 8 ≠ 0
61, 2, 5divcan4i 12015 . 2 ((6 · 8) / 8) = 6
71, 2mulcli 11269 . . . 4 (6 · 8) ∈ ℂ
8 ax-1cn 11214 . . . 4 1 ∈ ℂ
9 4p3e7 12421 . . . . . . 7 (4 + 3) = 7
109eqcomi 2745 . . . . . 6 7 = (4 + 3)
1110oveq1i 7442 . . . . 5 (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12 4cn 12352 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
13 3cn 12348 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
1412, 13binom2i 14252 . . . . . 6 ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15 sq4e2t8 14239 . . . . . . . . . 10 (4↑2) = (2 · 8)
16 2cn 12342 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 12435 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
1812, 16, 17mulcomli 11271 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
1918oveq1i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
2016, 12, 13mulassi 11273 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
212, 13mulcomi 11270 . . . . . . . . . . 11 (8 · 3) = (3 · 8)
2219, 20, 213eqtr3i 2772 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
2315, 22oveq12i 7444 . . . . . . . . 9 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
2416, 13, 2adddiri 11275 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25 3p2e5 12418 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
2613, 16, 25addcomli 11454 . . . . . . . . . 10 (2 + 3) = 5
2726oveq1i 7442 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
2823, 24, 273eqtr2i 2770 . . . . . . . 8 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29 sq3 14238 . . . . . . . . 9 (3↑2) = 9
30 df-9 12337 . . . . . . . . 9 9 = (8 + 1)
3129, 30eqtri 2764 . . . . . . . 8 (3↑2) = (8 + 1)
3228, 31oveq12i 7444 . . . . . . 7 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33 5cn 12355 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
3433, 2mulcli 11269 . . . . . . . 8 (5 · 8) ∈ ℂ
3534, 2, 8addassi 11272 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36 df-6 12334 . . . . . . . . . . 11 6 = (5 + 1)
3736oveq1i 7442 . . . . . . . . . 10 (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
4038, 39adddirp1d 11288 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
4237, 41eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
4342eqcomi 2745 . . . . . . . 8 ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
4443oveq1i 7442 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
4532, 35, 443eqtr2i 2770 . . . . . 6 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
4614, 45eqtri 2764 . . . . 5 ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
4711, 46eqtri 2764 . . . 4 (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
487, 8, 47mvrraddi 11526 . . 3 ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
4948oveq1i 7442 . 2 (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50 3t2e6 12433 . . 3 (3 · 2) = 6
5113, 16, 50mulcomli 11271 . 2 (2 · 3) = 6
526, 49, 513eqtr4i 2774 1 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2107  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  cexp 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  27459
  Copyright terms: Public domain W3C validator