MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3d 25916
Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 25917. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3d (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d
StepHypRef Expression
1 6cn 11716 . . 3 6 ∈ ℂ
2 8cn 11722 . . 3 8 ∈ ℂ
3 0re 10631 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 8pos 11737 . . . 4 0 < 8
53, 4gtneii 10740 . . 3 8 ≠ 0
61, 2, 5divcan4i 11375 . 2 ((6 · 8) / 8) = 6
71, 2mulcli 10636 . . . 4 (6 · 8) ∈ ℂ
8 ax-1cn 10583 . . . 4 1 ∈ ℂ
9 4p3e7 11779 . . . . . . 7 (4 + 3) = 7
109eqcomi 2827 . . . . . 6 7 = (4 + 3)
1110oveq1i 7155 . . . . 5 (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12 4cn 11710 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
13 3cn 11706 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
1412, 13binom2i 13562 . . . . . 6 ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15 sq4e2t8 13550 . . . . . . . . . 10 (4↑2) = (2 · 8)
16 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11793 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
1812, 16, 17mulcomli 10638 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
1918oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
2016, 12, 13mulassi 10640 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
212, 13mulcomi 10637 . . . . . . . . . . 11 (8 · 3) = (3 · 8)
2219, 20, 213eqtr3i 2849 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
2315, 22oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
2416, 13, 2adddiri 10642 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25 3p2e5 11776 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
2613, 16, 25addcomli 10820 . . . . . . . . . 10 (2 + 3) = 5
2726oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
2823, 24, 273eqtr2i 2847 . . . . . . . 8 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29 sq3 13549 . . . . . . . . 9 (3↑2) = 9
30 df-9 11695 . . . . . . . . 9 9 = (8 + 1)
3129, 30eqtri 2841 . . . . . . . 8 (3↑2) = (8 + 1)
3228, 31oveq12i 7157 . . . . . . 7 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33 5cn 11713 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
3433, 2mulcli 10636 . . . . . . . 8 (5 · 8) ∈ ℂ
3534, 2, 8addassi 10639 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36 df-6 11692 . . . . . . . . . . 11 6 = (5 + 1)
3736oveq1i 7155 . . . . . . . . . 10 (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
4038, 39adddirp1d 10655 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
4237, 41eqtri 2841 . . . . . . . . 9 (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
4342eqcomi 2827 . . . . . . . 8 ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
4443oveq1i 7155 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
4532, 35, 443eqtr2i 2847 . . . . . 6 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
4614, 45eqtri 2841 . . . . 5 ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
4711, 46eqtri 2841 . . . 4 (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
487, 8, 47mvrraddi 10891 . . 3 ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
4948oveq1i 7155 . 2 (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50 3t2e6 11791 . . 3 (3 · 2) = 6
5113, 16, 50mulcomli 10638 . 2 (2 · 3) = 6
526, 49, 513eqtr4i 2851 1 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25917
  Copyright terms: Public domain W3C validator