Theorem 2lgsoddprmlem3d 26266

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 26267. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 11904	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 11910	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 10818	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 11925	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 10927	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 11562	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 10823	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 10770	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 11967	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7212	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 11898	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 11894	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 13763	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 13751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 11888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 11981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 10825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 7212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 10827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 10824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 7214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 10829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 11964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 11007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 7212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 13750	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 11883	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 7214	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 10823	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 10826	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 11880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 7212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 10842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 7212	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2768	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 11078	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 7212	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 11979	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 10825	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2772	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717   − cmin 11045   / cdiv 11472  2c2 11868  3c3 11869  4c4 11870  5c5 11871  6c6 11872  7c7 11873  8c8 11874  9c9 11875  ↑cexp 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-seq 13558  df-exp 13619

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  26267