Theorem 2lgsoddprmlem3d 27458

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27459. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12358	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 12364	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 11264	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 12379	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 11374	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 12015	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 11269	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 12421	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7442	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 12348	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 14252	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 14239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 11271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 11454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 14238	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 7444	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 11272	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 11288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2770	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 11526	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 7442	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 12433	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 11271	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2774	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  27459