Theorem 2lgsoddprmlem3d 27376

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27377. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12272	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 12278	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 12293	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 11258	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 11902	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 11152	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11096	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 12330	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 12266	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 14174	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 12327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 14160	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 11155	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 11171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2765	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 11410	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 7377	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 12342	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 11154	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2769	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  27377