Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgoldbachlt 47218
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for small odd numbers (i.e. for all odd numbers less than a fixed big ๐‘š greater than 8 x 10^30). This is verified for m = 8.875694 x 10^30 by Helfgott, see tgblthelfgott 47217. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachlt โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›
Proof of Theorem tgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 8nn0 12523 . . . 4 8 โˆˆ โ„•0
2 8nn 12335 . . . 4 8 โˆˆ โ„•
31, 2decnncl 12725 . . 3 88 โˆˆ โ„•
4 10nn 12721 . . . 4 10 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12517 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
6 9nn0 12524 . . . . 5 9 โˆˆ โ„•0
75, 6deccl 12720 . . . 4 29 โˆˆ โ„•0
8 nnexpcl 14069 . . . 4 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 29 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘29) โˆˆ โ„•)
94, 7, 8mp2an 690 . . 3 (10โ†‘29) โˆˆ โ„•
103, 9nnmulcli 12265 . 2 (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
11 id 22 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•)
12 breq2 5147 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))))
13 breq2 5147 . . . . . . . 8 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โ†” ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))))
1413anbi2d 628 . . . . . . 7 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†” (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))))
1514imbi1d 340 . . . . . 6 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1615ralbidv 3168 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1712, 16anbi12d 630 . . . 4 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
1817adantl 480 . . 3 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
19 simplr 767 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ Odd )
20 simprl 769 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ 7 < ๐‘›)
21 simprr 771 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))
22 tgblthelfgott 47217 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง 7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2423ex 411 . . . . 5 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
2524ralrimiva 3136 . . . 4 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
262, 9nnmulcli 12265 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
2726nngt0i 12279 . . . . . 6 0 < (8 ยท (10โ†‘29))
2826nnrei 12249 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„
29 3nn0 12518 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
30 0nn0 12515 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„•0
3129, 30deccl 12720 . . . . . . . . . 10 30 โˆˆ โ„•0
32 nnexpcl 14069 . . . . . . . . . 10 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 30 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘30) โˆˆ โ„•)
334, 31, 32mp2an 690 . . . . . . . . 9 (10โ†‘30) โˆˆ โ„•
342, 33nnmulcli 12265 . . . . . . . 8 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„•
3534nnrei 12249 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„
3628, 35ltaddposi 11791 . . . . . 6 (0 < (8 ยท (10โ†‘29)) โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
3727, 36mpbi 229 . . . . 5 (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
38 dfdec10 12708 . . . . . . 7 88 = ((10 ยท 8) + 8)
3938oveq1i 7425 . . . . . 6 (88 ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29))
404, 2nnmulcli 12265 . . . . . . . 8 (10 ยท 8) โˆˆ โ„•
4140nncni 12250 . . . . . . 7 (10 ยท 8) โˆˆ โ„‚
42 8cn 12337 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„‚
439nncni 12250 . . . . . . 7 (10โ†‘29) โˆˆ โ„‚
4441, 42, 43adddiri 11255 . . . . . 6 (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
4541, 43mulcomi 11250 . . . . . . . . 9 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
464nncni 12250 . . . . . . . . . 10 10 โˆˆ โ„‚
4743, 46, 42mulassi 11253 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
48 nncn 12248 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 10 โˆˆ โ„‚)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 29 โˆˆ โ„•0)
5048, 49expp1d 14141 . . . . . . . . . . . 12 (10 โˆˆ โ„• โ†’ (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10)
5251eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 ((10โ†‘29) ยท 10) = (10โ†‘(29 + 1))
5352oveq1i 7425 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2759 . . . . . . . 8 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5554oveq1i 7425 . . . . . . 7 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
56 2p1e3 12382 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 12746 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 7426 . . . . . . . . 9 (10โ†‘(29 + 1)) = (10โ†‘30)
6059oveq1i 7425 . . . . . . . 8 ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) = ((10โ†‘30) ยท 8)
6160oveq1i 7425 . . . . . . 7 (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6233nncni 12250 . . . . . . . 8 (10โ†‘30) โˆˆ โ„‚
63 mulcom 11222 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((10โ†‘30) ยท 8) = (8 ยท (10โ†‘30)))
6463oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
6562, 42, 64mp2an 690 . . . . . . 7 (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6655, 61, 653eqtri 2757 . . . . . 6 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6739, 44, 663eqtri 2757 . . . . 5 (88 ยท (10โ†‘29)) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6837, 67breqtrri 5170 . . . 4 (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))
6925, 68jctil 518 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7011, 18, 69rspcedvd 3604 . 2 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7110, 70ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   < clt 11276  โ„•cn 12240  2c2 12295  3c3 12296  7c7 12300  8c8 12301  9c9 12302  โ„•0cn0 12500  cdc 12705  โ†‘cexp 14056   Odd codd 47027   GoldbachOdd cgbo 47149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-bgbltosilva 47212  ax-hgprmladder 47216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-prm 16640  df-iccp 46816  df-even 47028  df-odd 47029  df-gbe 47150  df-gbo 47152
This theorem is referenced by:  tgoldbach  47219
  Copyright terms: Public domain W3C validator