Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachlt 46094
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for small odd numbers (i.e. for all odd numbers less than a fixed big ๐‘š greater than 8 x 10^30). This is verified for m = 8.875694 x 10^30 by Helfgott, see tgblthelfgott 46093. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachlt โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›

Proof of Theorem tgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 8nn0 12441 . . . 4 8 โˆˆ โ„•0
2 8nn 12253 . . . 4 8 โˆˆ โ„•
31, 2decnncl 12643 . . 3 88 โˆˆ โ„•
4 10nn 12639 . . . 4 10 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12435 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
6 9nn0 12442 . . . . 5 9 โˆˆ โ„•0
75, 6deccl 12638 . . . 4 29 โˆˆ โ„•0
8 nnexpcl 13986 . . . 4 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 29 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘29) โˆˆ โ„•)
94, 7, 8mp2an 691 . . 3 (10โ†‘29) โˆˆ โ„•
103, 9nnmulcli 12183 . 2 (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
11 id 22 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•)
12 breq2 5110 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))))
13 breq2 5110 . . . . . . . 8 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โ†” ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))))
1413anbi2d 630 . . . . . . 7 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†” (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))))
1514imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1615ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1712, 16anbi12d 632 . . . 4 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
1817adantl 483 . . 3 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
19 simplr 768 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ Odd )
20 simprl 770 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ 7 < ๐‘›)
21 simprr 772 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))
22 tgblthelfgott 46093 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง 7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2423ex 414 . . . . 5 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
2524ralrimiva 3140 . . . 4 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
262, 9nnmulcli 12183 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
2726nngt0i 12197 . . . . . 6 0 < (8 ยท (10โ†‘29))
2826nnrei 12167 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„
29 3nn0 12436 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
30 0nn0 12433 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„•0
3129, 30deccl 12638 . . . . . . . . . 10 30 โˆˆ โ„•0
32 nnexpcl 13986 . . . . . . . . . 10 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 30 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘30) โˆˆ โ„•)
334, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . 9 (10โ†‘30) โˆˆ โ„•
342, 33nnmulcli 12183 . . . . . . . 8 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„•
3534nnrei 12167 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„
3628, 35ltaddposi 11709 . . . . . 6 (0 < (8 ยท (10โ†‘29)) โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
3727, 36mpbi 229 . . . . 5 (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
38 dfdec10 12626 . . . . . . 7 88 = ((10 ยท 8) + 8)
3938oveq1i 7368 . . . . . 6 (88 ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29))
404, 2nnmulcli 12183 . . . . . . . 8 (10 ยท 8) โˆˆ โ„•
4140nncni 12168 . . . . . . 7 (10 ยท 8) โˆˆ โ„‚
42 8cn 12255 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„‚
439nncni 12168 . . . . . . 7 (10โ†‘29) โˆˆ โ„‚
4441, 42, 43adddiri 11173 . . . . . 6 (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
4541, 43mulcomi 11168 . . . . . . . . 9 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
464nncni 12168 . . . . . . . . . 10 10 โˆˆ โ„‚
4743, 46, 42mulassi 11171 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
48 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 10 โˆˆ โ„‚)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 29 โˆˆ โ„•0)
5048, 49expp1d 14058 . . . . . . . . . . . 12 (10 โˆˆ โ„• โ†’ (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10)
5251eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 ((10โ†‘29) ยท 10) = (10โ†‘(29 + 1))
5352oveq1i 7368 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2767 . . . . . . . 8 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5554oveq1i 7368 . . . . . . 7 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
56 2p1e3 12300 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 12664 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 (10โ†‘(29 + 1)) = (10โ†‘30)
6059oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) = ((10โ†‘30) ยท 8)
6160oveq1i 7368 . . . . . . 7 (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6233nncni 12168 . . . . . . . 8 (10โ†‘30) โˆˆ โ„‚
63 mulcom 11142 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((10โ†‘30) ยท 8) = (8 ยท (10โ†‘30)))
6463oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
6562, 42, 64mp2an 691 . . . . . . 7 (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6655, 61, 653eqtri 2765 . . . . . 6 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6739, 44, 663eqtri 2765 . . . . 5 (88 ยท (10โ†‘29)) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6837, 67breqtrri 5133 . . . 4 (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))
6925, 68jctil 521 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7011, 18, 69rspcedvd 3582 . 2 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7110, 70ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  7c7 12218  8c8 12219  9c9 12220  โ„•0cn0 12418  cdc 12623  โ†‘cexp 13973   Odd codd 45903   GoldbachOdd cgbo 46025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-bgbltosilva 46088  ax-hgprmladder 46092
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553  df-iccp 45692  df-even 45904  df-odd 45905  df-gbe 46026  df-gbo 46028
This theorem is referenced by:  tgoldbach  46095
  Copyright terms: Public domain W3C validator