Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgoldbachlt 47069
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for small odd numbers (i.e. for all odd numbers less than a fixed big ๐‘š greater than 8 x 10^30). This is verified for m = 8.875694 x 10^30 by Helfgott, see tgblthelfgott 47068. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachlt โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›
Proof of Theorem tgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 8nn0 12511 . . . 4 8 โˆˆ โ„•0
2 8nn 12323 . . . 4 8 โˆˆ โ„•
31, 2decnncl 12713 . . 3 88 โˆˆ โ„•
4 10nn 12709 . . . 4 10 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12505 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
6 9nn0 12512 . . . . 5 9 โˆˆ โ„•0
75, 6deccl 12708 . . . 4 29 โˆˆ โ„•0
8 nnexpcl 14057 . . . 4 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 29 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘29) โˆˆ โ„•)
94, 7, 8mp2an 691 . . 3 (10โ†‘29) โˆˆ โ„•
103, 9nnmulcli 12253 . 2 (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
11 id 22 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•)
12 breq2 5146 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))))
13 breq2 5146 . . . . . . . 8 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โ†” ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))))
1413anbi2d 628 . . . . . . 7 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†” (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))))
1514imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1615ralbidv 3172 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1712, 16anbi12d 630 . . . 4 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
1817adantl 481 . . 3 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
19 simplr 768 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ Odd )
20 simprl 770 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ 7 < ๐‘›)
21 simprr 772 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))
22 tgblthelfgott 47068 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง 7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2423ex 412 . . . . 5 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
2524ralrimiva 3141 . . . 4 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
262, 9nnmulcli 12253 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
2726nngt0i 12267 . . . . . 6 0 < (8 ยท (10โ†‘29))
2826nnrei 12237 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„
29 3nn0 12506 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
30 0nn0 12503 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„•0
3129, 30deccl 12708 . . . . . . . . . 10 30 โˆˆ โ„•0
32 nnexpcl 14057 . . . . . . . . . 10 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 30 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘30) โˆˆ โ„•)
334, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . 9 (10โ†‘30) โˆˆ โ„•
342, 33nnmulcli 12253 . . . . . . . 8 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„•
3534nnrei 12237 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„
3628, 35ltaddposi 11779 . . . . . 6 (0 < (8 ยท (10โ†‘29)) โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
3727, 36mpbi 229 . . . . 5 (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
38 dfdec10 12696 . . . . . . 7 88 = ((10 ยท 8) + 8)
3938oveq1i 7424 . . . . . 6 (88 ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29))
404, 2nnmulcli 12253 . . . . . . . 8 (10 ยท 8) โˆˆ โ„•
4140nncni 12238 . . . . . . 7 (10 ยท 8) โˆˆ โ„‚
42 8cn 12325 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„‚
439nncni 12238 . . . . . . 7 (10โ†‘29) โˆˆ โ„‚
4441, 42, 43adddiri 11243 . . . . . 6 (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
4541, 43mulcomi 11238 . . . . . . . . 9 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
464nncni 12238 . . . . . . . . . 10 10 โˆˆ โ„‚
4743, 46, 42mulassi 11241 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
48 nncn 12236 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 10 โˆˆ โ„‚)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 29 โˆˆ โ„•0)
5048, 49expp1d 14129 . . . . . . . . . . . 12 (10 โˆˆ โ„• โ†’ (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10)
5251eqcomi 2736 . . . . . . . . . 10 ((10โ†‘29) ยท 10) = (10โ†‘(29 + 1))
5352oveq1i 7424 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2761 . . . . . . . 8 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5554oveq1i 7424 . . . . . . 7 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
56 2p1e3 12370 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 12734 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 7425 . . . . . . . . 9 (10โ†‘(29 + 1)) = (10โ†‘30)
6059oveq1i 7424 . . . . . . . 8 ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) = ((10โ†‘30) ยท 8)
6160oveq1i 7424 . . . . . . 7 (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6233nncni 12238 . . . . . . . 8 (10โ†‘30) โˆˆ โ„‚
63 mulcom 11210 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((10โ†‘30) ยท 8) = (8 ยท (10โ†‘30)))
6463oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
6562, 42, 64mp2an 691 . . . . . . 7 (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6655, 61, 653eqtri 2759 . . . . . 6 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6739, 44, 663eqtri 2759 . . . . 5 (88 ยท (10โ†‘29)) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6837, 67breqtrri 5169 . . . 4 (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))
6925, 68jctil 519 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7011, 18, 69rspcedvd 3609 . 2 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7110, 70ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264  โ„•cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  7c7 12288  8c8 12289  9c9 12290  โ„•0cn0 12488  cdc 12693  โ†‘cexp 14044   Odd codd 46878   GoldbachOdd cgbo 47000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-bgbltosilva 47063  ax-hgprmladder 47067
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-prm 16628  df-iccp 46667  df-even 46879  df-odd 46880  df-gbe 47001  df-gbo 47003
This theorem is referenced by:  tgoldbach  47070
  Copyright terms: Public domain W3C validator