Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgoldbachlt 46470
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for small odd numbers (i.e. for all odd numbers less than a fixed big ๐‘š greater than 8 x 10^30). This is verified for m = 8.875694 x 10^30 by Helfgott, see tgblthelfgott 46469. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachlt โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›
Proof of Theorem tgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 8nn0 12491 . . . 4 8 โˆˆ โ„•0
2 8nn 12303 . . . 4 8 โˆˆ โ„•
31, 2decnncl 12693 . . 3 88 โˆˆ โ„•
4 10nn 12689 . . . 4 10 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12485 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
6 9nn0 12492 . . . . 5 9 โˆˆ โ„•0
75, 6deccl 12688 . . . 4 29 โˆˆ โ„•0
8 nnexpcl 14036 . . . 4 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 29 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘29) โˆˆ โ„•)
94, 7, 8mp2an 690 . . 3 (10โ†‘29) โˆˆ โ„•
103, 9nnmulcli 12233 . 2 (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
11 id 22 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ (88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•)
12 breq2 5151 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))))
13 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โ†” ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))))
1413anbi2d 629 . . . . . . 7 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†” (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))))
1514imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1615ralbidv 3177 . . . . 5 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
1712, 16anbi12d 631 . . . 4 (๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29)) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
1817adantl 482 . . 3 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š = (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ (((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )) โ†” ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))))
19 simplr 767 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ Odd )
20 simprl 769 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ 7 < ๐‘›)
21 simprr 771 . . . . . . 7 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))
22 tgblthelfgott 46469 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ Odd โˆง 7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โˆง (7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )
2423ex 413 . . . . 5 (((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Odd ) โ†’ ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
2524ralrimiva 3146 . . . 4 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
262, 9nnmulcli 12233 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„•
2726nngt0i 12247 . . . . . 6 0 < (8 ยท (10โ†‘29))
2826nnrei 12217 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„
29 3nn0 12486 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
30 0nn0 12483 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„•0
3129, 30deccl 12688 . . . . . . . . . 10 30 โˆˆ โ„•0
32 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . 10 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 30 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘30) โˆˆ โ„•)
334, 31, 32mp2an 690 . . . . . . . . 9 (10โ†‘30) โˆˆ โ„•
342, 33nnmulcli 12233 . . . . . . . 8 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„•
3534nnrei 12217 . . . . . . 7 (8 ยท (10โ†‘30)) โˆˆ โ„
3628, 35ltaddposi 11759 . . . . . 6 (0 < (8 ยท (10โ†‘29)) โ†” (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
3727, 36mpbi 229 . . . . 5 (8 ยท (10โ†‘30)) < ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
38 dfdec10 12676 . . . . . . 7 88 = ((10 ยท 8) + 8)
3938oveq1i 7415 . . . . . 6 (88 ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29))
404, 2nnmulcli 12233 . . . . . . . 8 (10 ยท 8) โˆˆ โ„•
4140nncni 12218 . . . . . . 7 (10 ยท 8) โˆˆ โ„‚
42 8cn 12305 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„‚
439nncni 12218 . . . . . . 7 (10โ†‘29) โˆˆ โ„‚
4441, 42, 43adddiri 11223 . . . . . 6 (((10 ยท 8) + 8) ยท (10โ†‘29)) = (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
4541, 43mulcomi 11218 . . . . . . . . 9 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
464nncni 12218 . . . . . . . . . 10 10 โˆˆ โ„‚
4743, 46, 42mulassi 11221 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘29) ยท (10 ยท 8))
48 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 10 โˆˆ โ„‚)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 โˆˆ โ„• โ†’ 29 โˆˆ โ„•0)
5048, 49expp1d 14108 . . . . . . . . . . . 12 (10 โˆˆ โ„• โ†’ (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10โ†‘(29 + 1)) = ((10โ†‘29) ยท 10)
5251eqcomi 2741 . . . . . . . . . 10 ((10โ†‘29) ยท 10) = (10โ†‘(29 + 1))
5352oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘29) ยท 10) ยท 8) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2766 . . . . . . . 8 ((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) = ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8)
5554oveq1i 7415 . . . . . . 7 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
56 2p1e3 12350 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 12714 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 (10โ†‘(29 + 1)) = (10โ†‘30)
6059oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) = ((10โ†‘30) ยท 8)
6160oveq1i 7415 . . . . . . 7 (((10โ†‘(29 + 1)) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6233nncni 12218 . . . . . . . 8 (10โ†‘30) โˆˆ โ„‚
63 mulcom 11192 . . . . . . . . 9 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((10โ†‘30) ยท 8) = (8 ยท (10โ†‘30)))
6463oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((10โ†‘30) โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29))))
6562, 42, 64mp2an 690 . . . . . . 7 (((10โ†‘30) ยท 8) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6655, 61, 653eqtri 2764 . . . . . 6 (((10 ยท 8) ยท (10โ†‘29)) + (8 ยท (10โ†‘29))) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6739, 44, 663eqtri 2764 . . . . 5 (88 ยท (10โ†‘29)) = ((8 ยท (10โ†‘30)) + (8 ยท (10โ†‘29)))
6837, 67breqtrri 5174 . . . 4 (8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29))
6925, 68jctil 520 . . 3 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ ((8 ยท (10โ†‘30)) < (88 ยท (10โ†‘29)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (88 ยท (10โ†‘29))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7011, 18, 69rspcedvd 3614 . 2 ((88 ยท (10โ†‘29)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd )))
7110, 70ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((8 ยท (10โ†‘30)) < ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Odd ((7 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244  โ„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  7c7 12268  8c8 12269  9c9 12270  โ„•0cn0 12468  cdc 12673  โ†‘cexp 14023   Odd codd 46279   GoldbachOdd cgbo 46401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-bgbltosilva 46464  ax-hgprmladder 46468
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605  df-iccp 46068  df-even 46280  df-odd 46281  df-gbe 46402  df-gbo 46404
This theorem is referenced by:  tgoldbach  46471
  Copyright terms: Public domain W3C validator