MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numma 12663
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numma.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
numma.9 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
numma.10 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
Assertion
Ref Expression
numma ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
21oveq1i 7368 . . 3 (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ)
3 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
42, 3oveq12i 7370 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
5 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12426 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
7 numma.2 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„•0
87nn0cni 12426 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
9 numma.8 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
109nn0cni 12426 . . . . . . 7 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
118, 10mulcli 11163 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
12 numma.4 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„•0
1312nn0cni 12426 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„‚
146, 11, 13adddii 11168 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
156, 8, 10mulassi 11167 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) = (๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ))
1615oveq1i 7368 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
1714, 16eqtr4i 2768 . . . 4 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
1817oveq1i 7368 . . 3 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท))
196, 8mulcli 11163 . . . . . 6 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
20 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
2120nn0cni 12426 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2219, 21, 10adddiri 11169 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ))
2322oveq1i 7368 . . . 4 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ)) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2419, 10mulcli 11163 . . . . 5 ((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
256, 13mulcli 11163 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚
2621, 10mulcli 11163 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
27 numma.5 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„•0
2827nn0cni 12426 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„‚
2924, 25, 26, 28add4i 11380 . . . 4 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ)) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
3023, 29eqtr4i 2768 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท))
3118, 30eqtr4i 2768 . 2 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
32 numma.9 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
3332oveq2i 7369 . . 3 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ)
34 numma.10 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
3533, 34oveq12i 7370 . 2 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
364, 31, 353eqtr2i 2771 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358   + caddc 11055   ยท cmul 11057  โ„•0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  nummac  12664  numadd  12666  decma  12670
  Copyright terms: Public domain W3C validator