Theorem numma 12778

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numma	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
4	2, 3	oveq12i 7435	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12534	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7		numma.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12534	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		numma.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12534	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
11	8, 10	mulcli 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12		numma.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 12534	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
14	6, 11, 13	adddii 11239	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
15	6, 8, 10	mulassi 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
16	15	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
17	14, 16	eqtr4i 2792	. . . 4 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
18	17	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
19	6, 8	mulcli 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12534	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22	19, 21, 10	adddiri 11240	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
23	22	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
24	19, 10	mulcli 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
25	6, 13	mulcli 11234	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
26	21, 10	mulcli 11234	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27		numma.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12534	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
29	24, 25, 26, 28	add4i 11453	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
30	23, 29	eqtr4i 2792	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
31	18, 30	eqtr4i 2792	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32		numma.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
33	32	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34		numma.10	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
35	33, 34	oveq12i 7435	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
36	4, 31, 35	3eqtr2i 2795	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-nn 12252  df-n0 12523

This theorem is used by:  nummac  12779  numadd  12781  decma  12785