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Theorem numma 12777
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
numma ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq1i 7441 . . 3 (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
42, 3oveq12i 7443 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
65nn0cni 12538 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
7 numma.2 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 12538 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
9 numma.8 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℕ0
109nn0cni 12538 . . . . . . 7 𝑃 ∈ ℂ
118, 10mulcli 11268 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12 numma.4 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
1312nn0cni 12538 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
146, 11, 13adddii 11273 . . . . 5 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
156, 8, 10mulassi 11272 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
1615oveq1i 7441 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
1714, 16eqtr4i 2768 . . . 4 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
1817oveq1i 7441 . . 3 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
196, 8mulcli 11268 . . . . . 6 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12538 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2219, 21, 10adddiri 11274 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
2322oveq1i 7441 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
2419, 10mulcli 11268 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
256, 13mulcli 11268 . . . . 5 (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
2621, 10mulcli 11268 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27 numma.5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
2827nn0cni 12538 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
2924, 25, 26, 28add4i 11486 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
3023, 29eqtr4i 2768 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
3118, 30eqtr4i 2768 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32 numma.9 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
3332oveq2i 7442 . . 3 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34 numma.10 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
3533, 34oveq12i 7443 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
364, 31, 353eqtr2i 2771 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  nummac  12778  numadd  12780  decma  12784
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