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Theorem numma 12775
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
numma ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq1i 7441 . . 3 (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
42, 3oveq12i 7443 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
65nn0cni 12536 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
7 numma.2 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 12536 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
9 numma.8 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℕ0
109nn0cni 12536 . . . . . . 7 𝑃 ∈ ℂ
118, 10mulcli 11266 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12 numma.4 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
1312nn0cni 12536 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
146, 11, 13adddii 11271 . . . . 5 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
156, 8, 10mulassi 11270 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
1615oveq1i 7441 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
1714, 16eqtr4i 2766 . . . 4 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
1817oveq1i 7441 . . 3 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
196, 8mulcli 11266 . . . . . 6 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12536 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2219, 21, 10adddiri 11272 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
2322oveq1i 7441 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
2419, 10mulcli 11266 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
256, 13mulcli 11266 . . . . 5 (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
2621, 10mulcli 11266 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27 numma.5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
2827nn0cni 12536 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
2924, 25, 26, 28add4i 11484 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
3023, 29eqtr4i 2766 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
3118, 30eqtr4i 2766 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32 numma.9 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
3332oveq2i 7442 . . 3 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34 numma.10 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
3533, 34oveq12i 7443 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
364, 31, 353eqtr2i 2769 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431   + caddc 11156   · cmul 11158  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  nummac  12776  numadd  12778  decma  12782
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