MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numma 12720
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numma.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
numma.9 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
numma.10 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
Assertion
Ref Expression
numma ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
21oveq1i 7412 . . 3 (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ)
3 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
42, 3oveq12i 7414 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
5 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12483 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
7 numma.2 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„•0
87nn0cni 12483 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
9 numma.8 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
109nn0cni 12483 . . . . . . 7 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
118, 10mulcli 11220 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
12 numma.4 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„•0
1312nn0cni 12483 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„‚
146, 11, 13adddii 11225 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
156, 8, 10mulassi 11224 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) = (๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ))
1615oveq1i 7412 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
1714, 16eqtr4i 2755 . . . 4 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
1817oveq1i 7412 . . 3 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท))
196, 8mulcli 11220 . . . . . 6 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
20 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
2120nn0cni 12483 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2219, 21, 10adddiri 11226 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ))
2322oveq1i 7412 . . . 4 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ)) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2419, 10mulcli 11220 . . . . 5 ((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
256, 13mulcli 11220 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚
2621, 10mulcli 11220 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
27 numma.5 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„•0
2827nn0cni 12483 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„‚
2924, 25, 26, 28add4i 11437 . . . 4 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ)) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
3023, 29eqtr4i 2755 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท))
3118, 30eqtr4i 2755 . 2 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
32 numma.9 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
3332oveq2i 7413 . . 3 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ)
34 numma.10 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
3533, 34oveq12i 7414 . 2 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
364, 31, 353eqtr2i 2758 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-n0 12472
This theorem is referenced by:  nummac  12721  numadd  12723  decma  12727
  Copyright terms: Public domain W3C validator