Theorem numma 12679

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numma	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
4	2, 3	oveq12i 7372	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12440	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7		numma.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		numma.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
11	8, 10	mulcli 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12		numma.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 12440	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
14	6, 11, 13	adddii 11148	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
15	6, 8, 10	mulassi 11147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
16	15	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
17	14, 16	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
18	17	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
19	6, 8	mulcli 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12440	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22	19, 21, 10	adddiri 11149	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
23	22	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
24	19, 10	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
25	6, 13	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
26	21, 10	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27		numma.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12440	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
29	24, 25, 26, 28	add4i 11362	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
30	23, 29	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
31	18, 30	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32		numma.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
33	32	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34		numma.10	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
35	33, 34	oveq12i 7372	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
36	4, 31, 35	3eqtr2i 2766	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   + caddc 11032   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nummac  12680  numadd  12682  decma  12686