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Theorem numma 12659
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
numma ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq1i 7364 . . 3 (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
42, 3oveq12i 7366 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
65nn0cni 12422 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
7 numma.2 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 12422 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
9 numma.8 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℕ0
109nn0cni 12422 . . . . . . 7 𝑃 ∈ ℂ
118, 10mulcli 11159 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12 numma.4 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
1312nn0cni 12422 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
146, 11, 13adddii 11164 . . . . 5 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
156, 8, 10mulassi 11163 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
1615oveq1i 7364 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
1714, 16eqtr4i 2767 . . . 4 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
1817oveq1i 7364 . . 3 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
196, 8mulcli 11159 . . . . . 6 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12422 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2219, 21, 10adddiri 11165 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
2322oveq1i 7364 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
2419, 10mulcli 11159 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
256, 13mulcli 11159 . . . . 5 (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
2621, 10mulcli 11159 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27 numma.5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
2827nn0cni 12422 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
2924, 25, 26, 28add4i 11376 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
3023, 29eqtr4i 2767 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
3118, 30eqtr4i 2767 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32 numma.9 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
3332oveq2i 7365 . . 3 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34 numma.10 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
3533, 34oveq12i 7366 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
364, 31, 353eqtr2i 2770 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7354   + caddc 11051   · cmul 11053  0cn0 12410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-nn 12151  df-n0 12411
This theorem is referenced by:  nummac  12660  numadd  12662  decma  12666
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