Theorem numma 12751

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numma	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
4	2, 3	oveq12i 7412	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12507	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7		numma.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12507	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		numma.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12507	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
11	8, 10	mulcli 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12		numma.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 12507	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
14	6, 11, 13	adddii 11209	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
15	6, 8, 10	mulassi 11208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
16	15	oveq1i 7410	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
17	14, 16	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
18	17	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
19	6, 8	mulcli 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12507	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22	19, 21, 10	adddiri 11210	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
23	22	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
24	19, 10	mulcli 11204	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
25	6, 13	mulcli 11204	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
26	21, 10	mulcli 11204	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27		numma.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12507	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
29	24, 25, 26, 28	add4i 11423	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
30	23, 29	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
31	18, 30	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32		numma.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
33	32	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34		numma.10	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
35	33, 34	oveq12i 7412	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
36	4, 31, 35	3eqtr2i 2794	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-nn 12225  df-n0 12496

This theorem is referenced by:  nummac  12752  numadd  12754  decma  12758