MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180lem2 26697
Description: Lemma for ang180 26701. Show that the revolution number ๐‘ is strictly between -2 and 1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 26458, but the resulting bound gives only ๐‘ โ‰ค 1 for the upper bound. The case ๐‘ = 1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments ๐ด, 1 / (1 โˆ’ ๐ด), (๐ด โˆ’ 1) / ๐ด must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if ๐ด is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
ang180lem1.2 ๐‘‡ = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
ang180lem1.3 ๐‘ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
ang180lem2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-2 < ๐‘ โˆง ๐‘ < 1))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 12291 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
2 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
32rehalfcli 12465 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„
43recni 11232 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
51, 4negsubdii 11549 . . . . . 6 -(2 โˆ’ (1 / 2)) = (-2 + (1 / 2))
6 4d2e2 12386 . . . . . . . . 9 (4 / 2) = 2
76oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((4 / 2) โˆ’ (1 / 2)) = (2 โˆ’ (1 / 2))
8 4cn 12301 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
9 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
10 2cnne0 12426 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
11 divsubdir 11912 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((4 โˆ’ 1) / 2) = ((4 / 2) โˆ’ (1 / 2)))
128, 9, 10, 11mp3an 1457 . . . . . . . . 9 ((4 โˆ’ 1) / 2) = ((4 / 2) โˆ’ (1 / 2))
13 4m1e3 12345 . . . . . . . . . 10 (4 โˆ’ 1) = 3
1413oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((4 โˆ’ 1) / 2) = (3 / 2)
1512, 14eqtr3i 2756 . . . . . . . 8 ((4 / 2) โˆ’ (1 / 2)) = (3 / 2)
167, 15eqtr3i 2756 . . . . . . 7 (2 โˆ’ (1 / 2)) = (3 / 2)
1716negeqi 11457 . . . . . 6 -(2 โˆ’ (1 / 2)) = -(3 / 2)
185, 17eqtr3i 2756 . . . . 5 (-2 + (1 / 2)) = -(3 / 2)
19 3re 12296 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
2019rehalfcli 12465 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 2) โˆˆ โ„
2120recni 11232 . . . . . . . . . . 11 (3 / 2) โˆˆ โ„‚
22 picn 26349 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„‚
2321, 1, 22mulassi 11229 . . . . . . . . . 10 (((3 / 2) ยท 2) ยท ฯ€) = ((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€))
24 3cn 12297 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
25 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
2624, 1, 25divcan1i 11962 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 2) ยท 2) = 3
2726oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (((3 / 2) ยท 2) ยท ฯ€) = (3 ยท ฯ€)
2823, 27eqtr3i 2756 . . . . . . . . 9 ((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = (3 ยท ฯ€)
2928negeqi 11457 . . . . . . . 8 -((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = -(3 ยท ฯ€)
30 2re 12290 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
31 pire 26348 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„
3230, 31remulcli 11234 . . . . . . . . . 10 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„
3332recni 11232 . . . . . . . . 9 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
3421, 33mulneg1i 11664 . . . . . . . 8 (-(3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = -((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€))
3524, 22mulneg2i 11665 . . . . . . . 8 (3 ยท -ฯ€) = -(3 ยท ฯ€)
3629, 34, 353eqtr4i 2764 . . . . . . 7 (-(3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = (3 ยท -ฯ€)
3731renegcli 11525 . . . . . . . . . . . 12 -ฯ€ โˆˆ โ„
3830, 37remulcli 11234 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท -ฯ€) โˆˆ โ„
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท -ฯ€) โˆˆ โ„)
4037a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„)
41 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
439, 41, 42sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
44 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  1)
4544necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
46 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
479, 41, 46sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
4847necon3bid 2979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ด))
4945, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
5043, 49reccld 11987 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5143, 49recne0d 11988 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
5250, 51logcld 26459 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
53 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5441, 9, 53sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
55 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  0)
5654, 41, 55divcld 11994 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
57 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) = 0 โ†” ๐ด = 1))
5841, 9, 57sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) = 0 โ†” ๐ด = 1))
5958necon3bid 2979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  1))
6044, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰  0)
6154, 41, 60, 55divne0d 12010 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โ‰  0)
6256, 61logcld 26459 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6352, 62addcld 11237 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
6463imcld 15148 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โˆˆ โ„)
65 logcl 26457 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
66653adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6766imcld 15148 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
6852imcld 15148 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ โ„)
6962imcld 15148 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„)
7050, 51logimcld 26460 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) โ‰ค ฯ€))
7170simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))))
7256, 61logimcld 26460 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โ‰ค ฯ€))
7372simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))
7440, 40, 68, 69, 71, 73lt2addd 11841 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-ฯ€ + -ฯ€) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
75 negpicn 26352 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„‚
76752timesi 12354 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + -ฯ€)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + -ฯ€))
7852, 62imaddd 15168 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
7974, 77, 783brtr4d 5173 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท -ฯ€) < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
80 logimcl 26458 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
81803adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
8281simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
8339, 40, 64, 67, 79, 82lt2addd 11841 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((2 ยท -ฯ€) + -ฯ€) < ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
84 df-3 12280 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
8584oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 (3 ยท -ฯ€) = ((2 + 1) ยท -ฯ€)
861, 9, 75adddiri 11231 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) ยท -ฯ€) = ((2 ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€))
8775mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท -ฯ€) = -ฯ€
8887oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = ((2 ยท -ฯ€) + -ฯ€)
8985, 86, 883eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 (3 ยท -ฯ€) = ((2 ยท -ฯ€) + -ฯ€)
9089a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (3 ยท -ฯ€) = ((2 ยท -ฯ€) + -ฯ€))
91 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
9291fveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 (โ„‘โ€˜๐‘‡) = (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)))
9363, 66imaddd 15168 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
9492, 93eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘‡) = ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
9583, 90, 943brtr4d 5173 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (3 ยท -ฯ€) < (โ„‘โ€˜๐‘‡))
9663, 66addcld 11237 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9791, 96eqeltrid 2831 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
98 imval 15060 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘‡) = (โ„œโ€˜(๐‘‡ / i)))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘‡) = (โ„œโ€˜(๐‘‡ / i)))
100 ang.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
101 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
102100, 91, 101ang180lem1 26696 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„))
103102simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„)
104103rered 15177 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘‡ / i)) = (๐‘‡ / i))
10599, 104eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘‡) = (๐‘‡ / i))
10695, 105breqtrd 5167 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (3 ยท -ฯ€) < (๐‘‡ / i))
10736, 106eqbrtrid 5176 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-(3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) < (๐‘‡ / i))
10820renegcli 11525 . . . . . . . 8 -(3 / 2) โˆˆ โ„
109108a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(3 / 2) โˆˆ โ„)
11032a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
111 2pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 2
112 pipos 26350 . . . . . . . . 9 0 < ฯ€
11330, 31, 111, 112mulgt0ii 11351 . . . . . . . 8 0 < (2 ยท ฯ€)
114113a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 0 < (2 ยท ฯ€))
115 ltmuldiv 12091 . . . . . . 7 ((-(3 / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2 ยท ฯ€))) โ†’ ((-(3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) < (๐‘‡ / i) โ†” -(3 / 2) < ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€))))
116109, 103, 110, 114, 115syl112anc 1371 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((-(3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) < (๐‘‡ / i) โ†” -(3 / 2) < ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€))))
117107, 116mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(3 / 2) < ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
11818, 117eqbrtrid 5176 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-2 + (1 / 2)) < ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
11930renegcli 11525 . . . . . 6 -2 โˆˆ โ„
120119a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -2 โˆˆ โ„)
1213a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
12232, 113gt0ne0ii 11754 . . . . . . 7 (2 ยท ฯ€) โ‰  0
123122a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
124103, 110, 123redivcld 12046 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
125120, 121, 124ltaddsubd 11818 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((-2 + (1 / 2)) < ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โ†” -2 < (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))))
126118, 125mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -2 < (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)))
127126, 101breqtrrdi 5183 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -2 < ๐‘)
12831a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
12970simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) โ‰ค ฯ€)
13072simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โ‰ค ฯ€)
13168, 69, 128, 128, 129, 130le2addd 11837 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โ‰ค (ฯ€ + ฯ€))
132222timesi 12354 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท ฯ€) = (ฯ€ + ฯ€)
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) = (ฯ€ + ฯ€))
134131, 78, 1333brtr4d 5173 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โ‰ค (2 ยท ฯ€))
13581simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
13664, 67, 110, 128, 134, 135le2addd 11837 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((2 ยท ฯ€) + ฯ€))
137105, 94eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) = ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
13884oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 (3 ยท ฯ€) = ((2 + 1) ยท ฯ€)
1391, 9, 22adddiri 11231 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) ยท ฯ€) = ((2 ยท ฯ€) + (1 ยท ฯ€))
14022mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท ฯ€) = ฯ€
141140oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ฯ€) + (1 ยท ฯ€)) = ((2 ยท ฯ€) + ฯ€)
142138, 139, 1413eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 (3 ยท ฯ€) = ((2 ยท ฯ€) + ฯ€)
143142a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (3 ยท ฯ€) = ((2 ยท ฯ€) + ฯ€))
144136, 137, 1433brtr4d 5173 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) โ‰ค (3 ยท ฯ€))
14533subid1i 11536 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ฯ€) โˆ’ 0) = (2 ยท ฯ€)
146145, 122eqnetri 3005 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ฯ€) โˆ’ 0) โ‰  0
147 negsub 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
1489, 41, 147sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
150 1rp 12984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„+
151143, 137oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((3 ยท ฯ€) โˆ’ (๐‘‡ / i)) = (((2 ยท ฯ€) + ฯ€) โˆ’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
15233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
15322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
15464recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
15567recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
156152, 153, 154, 155addsub4d 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((2 ยท ฯ€) + ฯ€) โˆ’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
157151, 156eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((3 ยท ฯ€) โˆ’ (๐‘‡ / i)) = (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((3 ยท ฯ€) โˆ’ (๐‘‡ / i)) = (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
15919, 31remulcli 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (3 ยท ฯ€) โˆˆ โ„
160159recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
161 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 i โˆˆ โ„‚
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
163 ine0 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 i โ‰  0
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ i โ‰  0)
16597, 162, 164divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„‚)
166 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((3 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ฯ€) โˆ’ (๐‘‡ / i)) = 0 โ†” (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)))
167160, 165, 166sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((3 ยท ฯ€) โˆ’ (๐‘‡ / i)) = 0 โ†” (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)))
168167biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((3 ยท ฯ€) โˆ’ (๐‘‡ / i)) = 0)
169158, 168eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = 0)
170 resubcl 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) โˆˆ โ„)
17132, 64, 170sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) โˆˆ โ„)
172 subge0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) โ†” (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โ‰ค (2 ยท ฯ€)))
17332, 64, 172sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) โ†” (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) โ‰ค (2 ยท ฯ€)))
174134, 173mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))))
175 resubcl 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
17631, 67, 175sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
177 subge0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
17831, 67, 177sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (0 โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
179135, 178mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 0 โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
180 add20 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))) โˆง ((ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = 0 โ†” (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) = 0 โˆง (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0)))
181171, 174, 176, 179, 180syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = 0 โ†” (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) = 0 โˆง (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0)))
182181biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) + (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = 0) โ†’ (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) = 0 โˆง (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0))
183169, 182syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) = 0 โˆง (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0))
184183simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0)
185155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
186 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0 โ†” ฯ€ = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
18722, 185, 186sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((ฯ€ โˆ’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = 0 โ†” ฯ€ = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
188184, 187mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ฯ€ = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
189188eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) = ฯ€)
190 lognegb 26479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„+ โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) = ฯ€))
1911903adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„+ โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) = ฯ€))
192191adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„+ โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) = ฯ€))
193189, 192mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„+)
194 rpaddcl 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง -๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (1 + -๐ด) โˆˆ โ„+)
195150, 193, 194sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (1 + -๐ด) โˆˆ โ„+)
196149, 195eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
197196rpreccld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
198197relogcld 26512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
199 negsubdi2 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ด โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ๐ด))
20041, 9, 199sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(๐ด โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ๐ด))
201200oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-(๐ด โˆ’ 1) / -๐ด) = ((1 โˆ’ ๐ด) / -๐ด))
20254, 41, 55div2negd 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-(๐ด โˆ’ 1) / -๐ด) = ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))
203201, 202eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) / -๐ด) = ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) / -๐ด) = ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))
205196, 193rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) / -๐ด) โˆˆ โ„+)
206204, 205eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
207206relogcld 26512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) โˆˆ โ„)
208198, 207readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„)
209208reim0d 15178 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = 0)
210209oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) = ((2 ยท ฯ€) โˆ’ 0))
211183simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆ’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))) = 0)
212210, 211eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง (3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i)) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆ’ 0) = 0)
213212ex 412 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((3 ยท ฯ€) = (๐‘‡ / i) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆ’ 0) = 0))
214213necon3d 2955 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((2 ยท ฯ€) โˆ’ 0) โ‰  0 โ†’ (3 ยท ฯ€) โ‰  (๐‘‡ / i)))
215146, 214mpi 20 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (3 ยท ฯ€) โ‰  (๐‘‡ / i))
216 ltlen 11319 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ / i) โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ฯ€) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘‡ / i) < (3 ยท ฯ€) โ†” ((๐‘‡ / i) โ‰ค (3 ยท ฯ€) โˆง (3 ยท ฯ€) โ‰  (๐‘‡ / i))))
217103, 159, 216sylancl 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) < (3 ยท ฯ€) โ†” ((๐‘‡ / i) โ‰ค (3 ยท ฯ€) โˆง (3 ยท ฯ€) โ‰  (๐‘‡ / i))))
218144, 215, 217mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) < (3 ยท ฯ€))
219218, 28breqtrrdi 5183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) < ((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)))
22020a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (3 / 2) โˆˆ โ„)
221 ltdivmul2 12095 . . . . . . 7 (((๐‘‡ / i) โˆˆ โ„ โˆง (3 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2 ยท ฯ€))) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) < (3 / 2) โ†” (๐‘‡ / i) < ((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€))))
222103, 220, 110, 114, 221syl112anc 1371 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) < (3 / 2) โ†” (๐‘‡ / i) < ((3 / 2) ยท (2 ยท ฯ€))))
223219, 222mpbird 257 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) < (3 / 2))
22484oveq1i 7415 . . . . . 6 (3 / 2) = ((2 + 1) / 2)
2251, 9, 1, 25divdiri 11975 . . . . . 6 ((2 + 1) / 2) = ((2 / 2) + (1 / 2))
226 2div2e1 12357 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
227226oveq1i 7415 . . . . . 6 ((2 / 2) + (1 / 2)) = (1 + (1 / 2))
228224, 225, 2273eqtri 2758 . . . . 5 (3 / 2) = (1 + (1 / 2))
229223, 228breqtrdi 5182 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) < (1 + (1 / 2)))
2302a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
231124, 121, 230ltsubaddd 11814 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) < 1 โ†” ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) < (1 + (1 / 2))))
232229, 231mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) < 1)
233101, 232eqbrtrid 5176 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ < 1)
234127, 233jca 511 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-2 < ๐‘ โˆง ๐‘ < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  โ„คcz 12562  โ„+crp 12980  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  ฯ€cpi 16016  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  ang180lem3  26698
  Copyright terms: Public domain W3C validator