Theorem ang180lem2 26791

Description: Lemma for ang180 26795. Show that the revolution number 𝑁 is strictly between -2 and 1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 26549, but the resulting bound gives only 𝑁 ≤ 1 for the upper bound. The case 𝑁 = 1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments 𝐴, 1 / (1 − 𝐴), (𝐴 − 1) / 𝐴 must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if 𝐴 is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ang180lem1.2	⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
ang180lem1.3	⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))

Assertion

Ref	Expression
ang180lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12232	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		1re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12402	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	recni 11158	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5	1, 4	negsubdii 11478	. . . . . 6 ⊢ -(2 − (1 / 2)) = (-2 + (1 / 2))
6		4div2e2 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 2) = 2
7	6	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 / 2) − (1 / 2)) = (2 − (1 / 2))
8		4cn 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cnne0 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
11		divsubdir 11847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 2) = ((4 / 2) − (1 / 2)))
12	8, 9, 10, 11	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 − 1) / 2) = ((4 / 2) − (1 / 2))
13		4m1e3 12281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 − 1) = 3
14	13	oveq1i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 − 1) / 2) = (3 / 2)
15	12, 14	eqtr3i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 / 2) − (1 / 2)) = (3 / 2)
16	7, 15	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (2 − (1 / 2)) = (3 / 2)
17	16	negeqi 11385	. . . . . 6 ⊢ -(2 − (1 / 2)) = -(3 / 2)
18	5, 17	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ (-2 + (1 / 2)) = -(3 / 2)
19		3re 12237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
20	19	rehalfcli 12402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
21	20	recni 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
22		picn 26438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
23	21, 1, 22	mulassi 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 / 2) · 2) · π) = ((3 / 2) · (2 · π))
24		3cn 12238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
25		2ne0 12261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
26	24, 1, 25	divcan1i 11897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
27	26	oveq1i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 / 2) · 2) · π) = (3 · π)
28	23, 27	eqtr3i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 / 2) · (2 · π)) = (3 · π)
29	28	negeqi 11385	. . . . . . . 8 ⊢ -((3 / 2) · (2 · π)) = -(3 · π)
30		2re 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
31		pire 26437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
32	30, 31	remulcli 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
33	32	recni 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
34	21, 33	mulneg1i 11595	. . . . . . . 8 ⊢ (-(3 / 2) · (2 · π)) = -((3 / 2) · (2 · π))
35	24, 22	mulneg2i 11596	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · -π) = -(3 · π)
36	29, 34, 35	3eqtr4i 2770	. . . . . . 7 ⊢ (-(3 / 2) · (2 · π)) = (3 · -π)
37	31	renegcli 11454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
38	30, 37	remulcli 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · -π) ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · -π) ∈ ℝ)
40	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π ∈ ℝ)
41		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		subcl 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
43	9, 41, 42	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
44		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
45	44	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
46		subeq0 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
47	9, 41, 46	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
48	47	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
49	45, 48	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
50	43, 49	reccld 11922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
51	43, 49	recne0d 11923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
52	50, 51	logcld 26550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
53		subcl 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
54	41, 9, 53	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
55		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
56	54, 41, 55	divcld 11929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
57		subeq0 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
58	41, 9, 57	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
59	58	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
60	44, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
61	54, 41, 60, 55	divne0d 11945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
62	56, 61	logcld 26550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
63	52, 62	addcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
64	63	imcld 15130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℝ)
65		logcl 26548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
66	65	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
67	66	imcld 15130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
68	52	imcld 15130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ∈ ℝ)
69	62	imcld 15130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℝ)
70	50, 51	logimcld 26551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ≤ π))
71	70	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π < (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))))
72	56, 61	logimcld 26551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π < (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ≤ π))
73	72	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π < (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))
74	40, 40, 68, 69, 71, 73	lt2addd 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
75		negpicn 26442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℂ
76	75	2timesi 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · -π) = (-π + -π)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · -π) = (-π + -π))
78	52, 62	imaddd 15150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
79	74, 77, 78	3brtr4d 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · -π) < (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
80		logimcl 26549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
81	80	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
82	81	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
83	39, 40, 64, 67, 79, 82	lt2addd 11772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((2 · -π) + -π) < ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
84		df-3 12221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
85	84	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · -π) = ((2 + 1) · -π)
86	1, 9, 75	adddiri 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · -π) = ((2 · -π) + (1 · -π))
87	75	mullidi 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · -π) = -π
88	87	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · -π) + (1 · -π)) = ((2 · -π) + -π)
89	85, 86, 88	3eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · -π) = ((2 · -π) + -π)
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · -π) = ((2 · -π) + -π))
91		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
92	91	fveq2i 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ‘𝑇) = (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)))
93	63, 66	imaddd 15150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
94	92, 93	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘𝑇) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
95	83, 90, 94	3brtr4d 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · -π) < (ℑ‘𝑇))
96	63, 66	addcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
97	91, 96	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ ℂ)
98		imval 15042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑇) = (ℜ‘(𝑇 / i)))
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘𝑇) = (ℜ‘(𝑇 / i)))
100		ang.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
101		ang180lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
102	100, 91, 101	ang180lem1 26790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
103	102	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℝ)
104	103	rered 15159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℜ‘(𝑇 / i)) = (𝑇 / i))
105	99, 104	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘𝑇) = (𝑇 / i))
106	95, 105	breqtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · -π) < (𝑇 / i))
107	36, 106	eqbrtrid 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-(3 / 2) · (2 · π)) < (𝑇 / i))
108	20	renegcli 11454	. . . . . . . 8 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
109	108	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(3 / 2) ∈ ℝ)
110	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℝ)
111		2pos 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
112		pipos 26439	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
113	30, 31, 111, 112	mulgt0ii 11278	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2 · π)
114	113	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 0 < (2 · π))
115		ltmuldiv 12027	. . . . . . 7 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → ((-(3 / 2) · (2 · π)) < (𝑇 / i) ↔ -(3 / 2) < ((𝑇 / i) / (2 · π))))
116	109, 103, 110, 114, 115	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((-(3 / 2) · (2 · π)) < (𝑇 / i) ↔ -(3 / 2) < ((𝑇 / i) / (2 · π))))
117	107, 116	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(3 / 2) < ((𝑇 / i) / (2 · π)))
118	18, 117	eqbrtrid 5135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 + (1 / 2)) < ((𝑇 / i) / (2 · π)))
119	30	renegcli 11454	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℝ
120	119	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 ∈ ℝ)
121	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / 2) ∈ ℝ)
122	32, 113	gt0ne0ii 11685	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ≠ 0
123	122	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ≠ 0)
124	103, 110, 123	redivcld 11981	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℝ)
125	120, 121, 124	ltaddsubd 11749	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((-2 + (1 / 2)) < ((𝑇 / i) / (2 · π)) ↔ -2 < (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))))
126	118, 125	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)))
127	126, 101	breqtrrdi 5142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < 𝑁)
128	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → π ∈ ℝ)
129	70	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ≤ π)
130	72	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ≤ π)
131	68, 69, 128, 128, 129, 130	le2addd 11768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (π + π))
132	22	2timesi 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) = (π + π))
134	131, 78, 133	3brtr4d 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (2 · π))
135	81	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
136	64, 67, 110, 128, 134, 135	le2addd 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((2 · π) + π))
137	105, 94	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
138	84	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · π) = ((2 + 1) · π)
139	1, 9, 22	adddiri 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · π) = ((2 · π) + (1 · π))
140	22	mullidi 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
141	140	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · π) + (1 · π)) = ((2 · π) + π)
142	138, 139, 141	3eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · π) = ((2 · π) + π)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · π) = ((2 · π) + π))
144	136, 137, 143	3brtr4d 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ≤ (3 · π))
145	33	subid1i 11465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) − 0) = (2 · π)
146	145, 122	eqnetri 3003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − 0) ≠ 0
147		negsub 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
148	9, 41, 147	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
150		1rp 12921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ+
151	143, 137	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = (((2 · π) + π) − ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴)))))
152	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℂ)
153	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → π ∈ ℂ)
154	64	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℂ)
155	67	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
156	152, 153, 154, 155	addsub4d 11551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((2 · π) + π) − ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
157	151, 156	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
159	19, 31	remulcli 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (3 · π) ∈ ℝ
160	159	recni 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 · π) ∈ ℂ
161		ax-icn 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ i ∈ ℂ
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ∈ ℂ)
163		ine0 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ i ≠ 0
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ≠ 0)
165	97, 162, 164	divcld 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
166		subeq0 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((3 · π) ∈ ℂ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℂ) → (((3 · π) − (𝑇 / i)) = 0 ↔ (3 · π) = (𝑇 / i)))
167	160, 165, 166	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((3 · π) − (𝑇 / i)) = 0 ↔ (3 · π) = (𝑇 / i)))
168	167	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = 0)
169	158, 168	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0)
170		resubcl 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℝ) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ∈ ℝ)
171	32, 64, 170	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ∈ ℝ)
172		subge0 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ↔ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (2 · π)))
173	32, 64, 172	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ↔ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (2 · π)))
174	134, 173	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))))
175		resubcl 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
176	31, 67, 175	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
177		subge0 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
178	31, 67, 177	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
179	135, 178	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))))
180		add20 11661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))) ∧ ((π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))))) → ((((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0 ↔ (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0)))
181	171, 174, 176, 179, 180	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0 ↔ (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0)))
182	181	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0) → (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0))
183	169, 182	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0))
184	183	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0)
185	155	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
186		subeq0 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0 ↔ π = (ℑ‘(log‘𝐴))))
187	22, 185, 186	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0 ↔ π = (ℑ‘(log‘𝐴))))
188	184, 187	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → π = (ℑ‘(log‘𝐴)))
189	188	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π)
190		lognegb 26570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
191	190	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
192	191	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
193	189, 192	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
194		rpaddcl 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (1 + -𝐴) ∈ ℝ+)
195	150, 193, 194	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 + -𝐴) ∈ ℝ+)
196	149, 195	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
197	196	rpreccld 12971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
198	197	relogcld 26603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℝ)
199		negsubdi2 11452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
200	41, 9, 199	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
201	200	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-(𝐴 − 1) / -𝐴) = ((1 − 𝐴) / -𝐴))
202	54, 41, 55	div2negd 11944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-(𝐴 − 1) / -𝐴) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
203	201, 202	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) / -𝐴) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
204	203	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((1 − 𝐴) / -𝐴) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
205	196, 193	rpdivcld 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((1 − 𝐴) / -𝐴) ∈ ℝ+)
206	204, 205	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
207	206	relogcld 26603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℝ)
208	198, 207	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℝ)
209	208	reim0d 15160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = 0)
210	209	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = ((2 · π) − 0))
211	183	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0)
212	210, 211	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((2 · π) − 0) = 0)
213	212	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((3 · π) = (𝑇 / i) → ((2 · π) − 0) = 0))
214	213	necon3d 2954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((2 · π) − 0) ≠ 0 → (3 · π) ≠ (𝑇 / i)))
215	146, 214	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · π) ≠ (𝑇 / i))
216		ltlen 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 / i) ∈ ℝ ∧ (3 · π) ∈ ℝ) → ((𝑇 / i) < (3 · π) ↔ ((𝑇 / i) ≤ (3 · π) ∧ (3 · π) ≠ (𝑇 / i))))
217	103, 159, 216	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) < (3 · π) ↔ ((𝑇 / i) ≤ (3 · π) ∧ (3 · π) ≠ (𝑇 / i))))
218	144, 215, 217	mpbir2and 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) < (3 · π))
219	218, 28	breqtrrdi 5142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) < ((3 / 2) · (2 · π)))
220	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 / 2) ∈ ℝ)
221		ltdivmul2 12031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 / i) ∈ ℝ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) < (3 / 2) ↔ (𝑇 / i) < ((3 / 2) · (2 · π))))
222	103, 220, 110, 114, 221	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) < (3 / 2) ↔ (𝑇 / i) < ((3 / 2) · (2 · π))))
223	219, 222	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) < (3 / 2))
224	84	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) = ((2 + 1) / 2)
225	1, 9, 1, 25	divdiri 11910	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 2) = ((2 / 2) + (1 / 2))
226		2div2e1 12293	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
227	226	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2 / 2) + (1 / 2)) = (1 + (1 / 2))
228	224, 225, 227	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (3 / 2) = (1 + (1 / 2))
229	223, 228	breqtrdi 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) < (1 + (1 / 2)))
230	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
231	124, 121, 230	ltsubaddd 11745	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) < 1 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) < (1 + (1 / 2))))
232	229, 231	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) < 1)
233	101, 232	eqbrtrid 5135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < 1)
234	127, 233	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  ℜcre 15032  ℑcim 15033  πcpi 16001  logclog 26534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19013  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-fbas 21321  df-fg 21322  df-cnfld 21325  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cld 22978  df-ntr 22979  df-cls 22980  df-nei 23057  df-lp 23095  df-perf 23096  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-haus 23274  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-fil 23805  df-fm 23897  df-flim 23898  df-flf 23899  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281  df-cncf 24842  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26536

This theorem is referenced by:  ang180lem3  26792