MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq4sgn 24548
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 11354 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 24511 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 10312 . . . 4 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
43rexri 10353 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 11348 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 24505 . . . . 5 π ∈ ℝ
75, 6remulcli 10312 . . . 4 (2 · π) ∈ ℝ
87rexri 10353 . . 3 (2 · π) ∈ ℝ*
9 elioo2 12421 . . 3 (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π))))
104, 8, 9mp2an 683 . 2 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)))
11 df-3 11338 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 6854 . . . . . . . . . . 11 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13 2cn 11349 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
14 ax-1cn 10249 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
152recni 10310 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℂ
1613, 14, 15adddiri 10309 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
176recni 10310 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
18 2ne0 11385 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
1917, 13, 18divcan2i 11024 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (π / 2)) = π
2015mulid2i 10301 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2119, 20oveq12i 6856 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2792 . . . . . . . . . 10 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2322breq1i 4818 . . . . . . . . 9 ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 10758 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1575 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
2623, 25syl5bbr 276 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27 ltsubadd 10754 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1577 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29 df-4 11339 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 6854 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
311recni 10310 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
3231, 14, 15adddiri 10309 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
3320oveq2i 6855 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2792 . . . . . . . . . . 11 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35 4cn 11360 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
36 2cnne0 11490 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37 div12 10963 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1585 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39 4d2e2 11450 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (π · (4 / 2)) = (π · 2)
4117, 13mulcomi 10304 . . . . . . . . . . . . 13 (π · 2) = (2 · π)
4240, 41eqtri 2787 . . . . . . . . . . . 12 (π · (4 / 2)) = (2 · π)
4338, 42eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 (4 · (π / 2)) = (2 · π)
4434, 43eqtri 2787 . . . . . . . . . 10 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
4544breq2i 4819 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
4628, 45syl6rbb 279 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
4726, 46anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48 resubcl 10601 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 682 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 10353 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
51 elioo2 12421 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 683 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53 sincosq3sgn 24547 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 226 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1202 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56553expib 1152 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5849resincld 15158 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 10853 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
6059anbi1d 623 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 230 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62 recn 10281 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63 pncan3 10545 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 6381 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
6649recnd 10324 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67 coshalfpip 24541 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6965, 68eqtr3d 2801 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
7069breq2d 4823 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
7164fveq2d 6381 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72 sinhalfpip 24539 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7366, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7471, 73eqtr3d 2801 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7574breq1d 4821 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 624 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 250 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78773impib 1144 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
7978ancomd 453 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
8010, 79sylbi 208 1 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  *cxr 10329   < clt 10330  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  2c2 11329  3c3 11330  4c4 11331  (,)cioo 12380  sincsin 15079  cosccos 15080  πcpi 15082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-ef 15083  df-sin 15085  df-cos 15086  df-pi 15088  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator