MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq4sgn 25874
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 12240 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 25837 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 11178 . . . 4 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ
43rexri 11220 . . 3 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 12234 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 25831 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ
75, 6remulcli 11178 . . . 4 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
87rexri 11220 . . 3 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
9 elioo2 13312 . . 3 (((3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€))))
104, 8, 9mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
11 df-3 12224 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· (Ο€ / 2)) = ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2))
13 2cn 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
14 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
152recni 11176 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
1613, 14, 15adddiri 11175 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
176recni 11176 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
18 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
1917, 13, 18divcan2i 11905 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· (Ο€ / 2)) = Ο€
2015mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
2119, 20oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = (Ο€ + (Ο€ / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2770 . . . . . . . . . 10 (Ο€ + (Ο€ / 2)) = (3 Β· (Ο€ / 2))
2322breq1i 5117 . . . . . . . . 9 ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 11636 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
2623, 25bitr3id 285 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
27 ltsubadd 11632 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
29 df-4 12225 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2))
311recni 11176 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
3231, 14, 15adddiri 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
3320oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2770 . . . . . . . . . . 11 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (4 Β· (Ο€ / 2))
35 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„‚
36 2cnne0 12370 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
37 div12 11842 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2))
39 4d2e2 12330 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (Ο€ Β· 2)
4117, 13mulcomi 11170 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· 2) = (2 Β· Ο€)
4240, 41eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (2 Β· Ο€)
4338, 42eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4434, 43eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4544breq2i 5118 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < (2 Β· Ο€))
4628, 45bitr2di 288 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (2 Β· Ο€) ↔ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
4726, 46anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) ↔ (Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
48 resubcl 11472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 11220 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ*
51 elioo2 13312 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
53 sincosq3sgn 25873 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1164 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
56553expib 1123 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5849resincld 16032 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 11731 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
6059anbi1d 631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 238 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
62 recn 11148 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
63 pncan3 11416 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜π΄))
6649recnd 11190 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
67 coshalfpip 25867 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6965, 68eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7069breq2d 5122 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
7164fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (sinβ€˜π΄))
72 sinhalfpip 25865 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7366, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7471, 73eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7574breq1d 5120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ↔ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0)))
78773impib 1117 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0))
7978ancomd 463 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
8010, 79sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  (,)cioo 13271  sincsin 15953  cosccos 15954  Ο€cpi 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator