Theorem sincosq4sgn 26408

Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq4sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12208	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		halfpire 26371	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	remulcli 11131	. . . 4 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
4	3	rexri 11173	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5		2re 12202	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 26364	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 11131	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
8	7	rexri 11173	. . 3 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
9		elioo2 13289	. . 3 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
10	4, 8, 9	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
11		df-3 12192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	11	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13		2cn 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	2	recni 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16	13, 14, 15	adddiri 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
17	6	recni 11129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
18		2ne0 12232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
19	17, 13, 18	divcan2i 11867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
20	15	mullidi 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
21	19, 20	oveq12i 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
22	12, 16, 21	3eqtrri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
23	22	breq1i 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24		ltaddsub 11594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
25	6, 2, 24	mp3an12 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
26	23, 25	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27		ltsubadd 11590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
28	2, 3, 27	mp3an23 1455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29		df-4 12193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
30	29	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
31	1	recni 11129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31, 14, 15	adddiri 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
33	20	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
34	30, 32, 33	3eqtrri 2757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35		4cn 12213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cnne0 12333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37		div12 11801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
38	35, 17, 36, 37	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39		4d2e2 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 2) = 2
40	39	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · (4 / 2)) = (π · 2)
41	17, 13	mulcomi 11123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · 2) = (2 · π)
42	40, 41	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · (4 / 2)) = (2 · π)
43	38, 42	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (π / 2)) = (2 · π)
44	34, 43	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
45	44	breq2i 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
46	28, 45	bitr2di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
47	26, 46	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48		resubcl 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
49	2, 48	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
50	6	rexri 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
51		elioo2 13289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
52	50, 4, 51	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53		sincosq3sgn 26407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
54	52, 53	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
55	49, 54	syl3an1 1163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56	55	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
57	47, 56	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
58	49	resincld 16052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
59	58	lt0neg1d 11689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
60	59	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
61	57, 60	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62		recn 11099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63		pncan3 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
64	15, 62, 63	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
65	64	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
66	49	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67		coshalfpip 26401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
69	65, 68	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
70	69	breq2d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
71	64	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72		sinhalfpip 26399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
73	66, 72	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
74	71, 73	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
75	74	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
76	70, 75	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
77	61, 76	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78	77	3impib 1116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
79	78	ancomd 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
80	10, 79	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  (,)cioo 13248  sincsin 15970  cosccos 15971  πcpi 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766

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