MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq4sgn 24780
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 11513 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 24743 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 10448 . . . 4 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
43rexri 10491 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 11507 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 24737 . . . . 5 π ∈ ℝ
75, 6remulcli 10448 . . . 4 (2 · π) ∈ ℝ
87rexri 10491 . . 3 (2 · π) ∈ ℝ*
9 elioo2 12588 . . 3 (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π))))
104, 8, 9mp2an 679 . 2 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)))
11 df-3 11497 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 6980 . . . . . . . . . . 11 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13 2cn 11508 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
14 ax-1cn 10385 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
152recni 10446 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℂ
1613, 14, 15adddiri 10445 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
176recni 10446 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
18 2ne0 11544 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
1917, 13, 18divcan2i 11176 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (π / 2)) = π
2015mulid2i 10437 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2119, 20oveq12i 6982 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2801 . . . . . . . . . 10 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2322breq1i 4930 . . . . . . . . 9 ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 10907 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1430 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
2623, 25syl5bbr 277 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27 ltsubadd 10903 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1432 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29 df-4 11498 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 6980 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
311recni 10446 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
3231, 14, 15adddiri 10445 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
3320oveq2i 6981 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2801 . . . . . . . . . . 11 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35 4cn 11519 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
36 2cnne0 11650 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37 div12 11113 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1440 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39 4d2e2 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 6981 . . . . . . . . . . . . 13 (π · (4 / 2)) = (π · 2)
4117, 13mulcomi 10440 . . . . . . . . . . . . 13 (π · 2) = (2 · π)
4240, 41eqtri 2796 . . . . . . . . . . . 12 (π · (4 / 2)) = (2 · π)
4338, 42eqtri 2796 . . . . . . . . . . 11 (4 · (π / 2)) = (2 · π)
4434, 43eqtri 2796 . . . . . . . . . 10 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
4544breq2i 4931 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
4628, 45syl6rbb 280 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
4726, 46anbi12d 621 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48 resubcl 10743 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 678 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 10491 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
51 elioo2 12588 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 679 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53 sincosq3sgn 24779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 227 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1143 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56553expib 1102 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 232 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5849resincld 15346 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 11002 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
6059anbi1d 620 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62 recn 10417 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63 pncan3 10686 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 578 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 6497 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
6649recnd 10460 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67 coshalfpip 24773 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6965, 68eqtr3d 2810 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
7069breq2d 4935 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
7164fveq2d 6497 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72 sinhalfpip 24771 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7366, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7471, 73eqtr3d 2810 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7574breq1d 4933 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 621 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 251 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78773impib 1096 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
7978ancomd 454 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
8010, 79sylbi 209 1 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  *cxr 10465   < clt 10466  cmin 10662  -cneg 10663   / cdiv 11090  2c2 11488  3c3 11489  4c4 11490  (,)cioo 12547  sincsin 15267  cosccos 15268  πcpi 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-pi 15276  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-limc 24157  df-dv 24158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator