MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq4sgn 26561
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 12373 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 26524 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 11306 . . . 4 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
43rexri 11348 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 12367 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 26518 . . . . 5 π ∈ ℝ
75, 6remulcli 11306 . . . 4 (2 · π) ∈ ℝ
87rexri 11348 . . 3 (2 · π) ∈ ℝ*
9 elioo2 13448 . . 3 (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π))))
104, 8, 9mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)))
11 df-3 12357 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 7458 . . . . . . . . . . 11 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13 2cn 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
14 ax-1cn 11242 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
152recni 11304 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℂ
1613, 14, 15adddiri 11303 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
176recni 11304 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
18 2ne0 12397 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
1917, 13, 18divcan2i 12037 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (π / 2)) = π
2015mullidi 11295 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2119, 20oveq12i 7460 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2773 . . . . . . . . . 10 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2322breq1i 5173 . . . . . . . . 9 ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 11764 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
2623, 25bitr3id 285 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27 ltsubadd 11760 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1453 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29 df-4 12358 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 7458 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
311recni 11304 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
3231, 14, 15adddiri 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
3320oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2773 . . . . . . . . . . 11 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35 4cn 12378 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
36 2cnne0 12503 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37 div12 11971 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39 4d2e2 12463 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . . 13 (π · (4 / 2)) = (π · 2)
4117, 13mulcomi 11298 . . . . . . . . . . . . 13 (π · 2) = (2 · π)
4240, 41eqtri 2768 . . . . . . . . . . . 12 (π · (4 / 2)) = (2 · π)
4338, 42eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 (4 · (π / 2)) = (2 · π)
4434, 43eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
4544breq2i 5174 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
4628, 45bitr2di 288 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
4726, 46anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48 resubcl 11600 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 11348 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
51 elioo2 13448 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53 sincosq3sgn 26560 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1163 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56553expib 1122 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 240 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5849resincld 16191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 11859 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
6059anbi1d 630 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 239 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62 recn 11274 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63 pncan3 11544 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 6924 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
6649recnd 11318 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67 coshalfpip 26554 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6965, 68eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
7069breq2d 5178 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
7164fveq2d 6924 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72 sinhalfpip 26552 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7366, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7471, 73eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7574breq1d 5176 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 631 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78773impib 1116 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
7978ancomd 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
8010, 79sylbi 217 1 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  *cxr 11323   < clt 11324  cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  (,)cioo 13407  sincsin 16111  cosccos 16112  πcpi 16114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator