MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq4sgn 26410
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 12308 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 26373 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 11246 . . . 4 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ
43rexri 11288 . . 3 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 12302 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 26367 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ
75, 6remulcli 11246 . . . 4 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
87rexri 11288 . . 3 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
9 elioo2 13383 . . 3 (((3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€))))
104, 8, 9mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
11 df-3 12292 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· (Ο€ / 2)) = ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2))
13 2cn 12303 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
14 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
152recni 11244 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
1613, 14, 15adddiri 11243 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
176recni 11244 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
18 2ne0 12332 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
1917, 13, 18divcan2i 11973 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· (Ο€ / 2)) = Ο€
2015mullidi 11235 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
2119, 20oveq12i 7426 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = (Ο€ + (Ο€ / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2760 . . . . . . . . . 10 (Ο€ + (Ο€ / 2)) = (3 Β· (Ο€ / 2))
2322breq1i 5149 . . . . . . . . 9 ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 11704 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1448 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
2623, 25bitr3id 285 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
27 ltsubadd 11700 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
29 df-4 12293 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2))
311recni 11244 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
3231, 14, 15adddiri 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
3320oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2760 . . . . . . . . . . 11 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (4 Β· (Ο€ / 2))
35 4cn 12313 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„‚
36 2cnne0 12438 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
37 div12 11910 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2))
39 4d2e2 12398 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (Ο€ Β· 2)
4117, 13mulcomi 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· 2) = (2 Β· Ο€)
4240, 41eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (2 Β· Ο€)
4338, 42eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4434, 43eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4544breq2i 5150 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < (2 Β· Ο€))
4628, 45bitr2di 288 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (2 Β· Ο€) ↔ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
4726, 46anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) ↔ (Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
48 resubcl 11540 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 11288 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ*
51 elioo2 13383 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
53 sincosq3sgn 26409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1161 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
56553expib 1120 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5849resincld 16105 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 11799 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
6059anbi1d 629 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 238 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
62 recn 11214 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
63 pncan3 11484 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜π΄))
6649recnd 11258 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
67 coshalfpip 26403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6965, 68eqtr3d 2769 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7069breq2d 5154 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
7164fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (sinβ€˜π΄))
72 sinhalfpip 26401 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7366, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7471, 73eqtr3d 2769 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7574breq1d 5152 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ↔ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 630 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0)))
78773impib 1114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0))
7978ancomd 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
8010, 79sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129  β„*cxr 11263   < clt 11264   βˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  (,)cioo 13342  sincsin 16025  cosccos 16026  Ο€cpi 16028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator