Theorem 3dvdsdec 16279

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g., 𝐴 = ;𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvdsdec	⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12684	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		9p1e10 12683	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4	3	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5		9cn 12316	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
6		ax-1cn 11170	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		3dvdsdec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12488	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	5, 6, 8	adddiri 11231	. . . . . 6 ⊢ ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
10	8	mullidi 11223	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
11	10	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
12	4, 9, 11	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
13	12	oveq1i 7421	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
14	5, 8	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15		3dvdsdec.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0cni 12488	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 8, 16	addassi 11228	. . . 4 ⊢ (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
18	1, 13, 17	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
19	18	breq2i 5156	. 2 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		3z 12599	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
21	7	nn0zi 12591	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22	15	nn0zi 12591	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
23		zaddcl 12606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
24	21, 22, 23	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25		9nn 12314	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
26	25	nnzi 12590	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
27		zmulcl 12615	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29		zmulcl 12615	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
30	20, 21, 29	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31		dvdsmul1 16225	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
32	20, 30, 31	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33		3t3e9 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36		3cn 12297	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36, 8	mulassi 11229	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
38	35, 37	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
39	32, 38	breqtrri 5175	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (9 · 𝐴)
40	28, 39	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41		dvdsadd2b 16253	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
42	20, 24, 40, 41	mp3an 1461	. 2 ⊢ (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
43	19, 42	bitr4i 277	1 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  3c3 12272  9c9 12278  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ;cdc 12681   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  257prm  46528  139prmALT  46563  31prm  46564