Theorem 3dvdsdec 15675

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g. 𝐴 = ;𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvdsdec	⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12095	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		9p1e10 12094	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2830	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4	3	oveq1i 7160	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5		9cn 11731	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
6		ax-1cn 10589	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		3dvdsdec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11903	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	5, 6, 8	adddiri 10648	. . . . . 6 ⊢ ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
10	8	mulid2i 10640	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
11	10	oveq2i 7161	. . . . . 6 ⊢ ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
12	4, 9, 11	3eqtri 2848	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
13	12	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
14	5, 8	mulcli 10642	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15		3dvdsdec.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0cni 11903	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 8, 16	addassi 10645	. . . 4 ⊢ (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
18	1, 13, 17	3eqtri 2848	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
19	18	breq2i 5066	. 2 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		3z 12009	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
21	7	nn0zi 12001	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22	15	nn0zi 12001	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
23		zaddcl 12016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
24	21, 22, 23	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25		9nn 11729	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
26	25	nnzi 12000	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
27		zmulcl 12025	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29		zmulcl 12025	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
30	20, 21, 29	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31		dvdsmul1 15625	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
32	20, 30, 31	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33		3t3e9 11798	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2830	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7160	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36		3cn 11712	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36, 8	mulassi 10646	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
38	35, 37	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
39	32, 38	breqtrri 5085	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (9 · 𝐴)
40	28, 39	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41		dvdsadd2b 15650	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
42	20, 24, 40, 41	mp3an 1457	. 2 ⊢ (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
43	19, 42	bitr4i 280	1 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  3c3 11687  9c9 11693  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ;cdc 12092   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  257prm  43717  139prmALT  43753  31prm  43754