Theorem 3dvdsdec 16428

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g., 𝐴 = ;𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvdsdec	⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12743	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		9p1e10 12742	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4	3	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5		9cn 12369	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
6		ax-1cn 11186	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		3dvdsdec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12544	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	5, 6, 8	adddiri 11250	. . . . . 6 ⊢ ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
10	8	mullidi 11242	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
11	10	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
12	4, 9, 11	3eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
13	12	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
14	5, 8	mulcli 11244	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15		3dvdsdec.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0cni 12544	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 8, 16	addassi 11247	. . . 4 ⊢ (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
18	1, 13, 17	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
19	18	breq2i 5115	. 2 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		3z 12655	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
21	7	nn0zi 12647	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22	15	nn0zi 12647	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
23		zaddcl 12662	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25		9nn 12367	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
26	25	nnzi 12646	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
27		zmulcl 12671	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29		zmulcl 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
30	20, 21, 29	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31		dvdsmul1 16373	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
32	20, 30, 31	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33		3t3e9 12436	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36		3cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36, 8	mulassi 11248	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
38	35, 37	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
39	32, 38	breqtrri 5136	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (9 · 𝐴)
40	28, 39	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41		dvdsadd2b 16402	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
42	20, 24, 40, 41	mp3an 1490	. 2 ⊢ (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
43	19, 42	bitr4i 281	1 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  3c3 12324  9c9 12330  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ;cdc 12740   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-dvds 16349

This theorem is used by:  257prm  48472  139prmALT  48507  31prm  48508