Theorem 3dvds2dec 16352

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴, 𝐵 and 𝐶 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴, 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvds2dec	⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dvdsdec.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3dvdsdec.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	3dec 14284	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
4		sq10e99m1 14283	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;99 + 1)
5	4	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 + 1) · 𝐴)
6		9nn0 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ ;99 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12513	. . . . . . . 8 ⊢ ;99 ∈ ℂ
9		ax-1cn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	1	nn0cni 12513	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	adddiri 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 + 1) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
12	10	mullidi 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
13	12	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
14	5, 11, 13	3eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
15		9p1e10 12710	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 1) = ;10
16	15	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 = (9 + 1)
17	16	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
18		9cn 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
19	2	nn0cni 12513	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	18, 9, 19	adddiri 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
21	19	mullidi 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐵) = 𝐵
22	21	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
23	17, 20, 22	3eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
24	14, 23	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
25	24	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
26	8, 10	mulcli 11242	. . . . . 6 ⊢ (;99 · 𝐴) ∈ ℂ
27	18, 19	mulcli 11242	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐵) ∈ ℂ
28		add4 11456	. . . . . . 7 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
29	28	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
30	26, 10, 27, 19, 29	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
31	26, 27	addcli 11241	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
32	10, 19	addcli 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
33		3dvds2dec.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
34	33	nn0cni 12513	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
35	31, 32, 34	addassi 11245	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
36		9t11e99 12838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · ;11) = ;99
37	36	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;99 = (9 · ;11)
38	37	oveq1i 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (;99 · 𝐴) = ((9 · ;11) · 𝐴)
39		1nn0 12517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
40	39, 39	deccl 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	18, 41, 10	mulassi 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · ;11) · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
43	38, 42	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (;99 · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
44	43	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
45	41, 10	mulcli 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℂ
46	18, 45, 19	adddii 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
47	46	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
48		3t3e9 12407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
49	48	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
50	49	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
51		3cn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	45, 19	addcli 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
53	51, 51, 52	mulassi 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
54	50, 53	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
55	44, 47, 54	3eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
56	55	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
57	30, 35, 56	3eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
58	3, 25, 57	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
59	58	breq2i 5127	. 2 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
60		3z 12625	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
61	1	nn0zi 12617	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
62	2	nn0zi 12617	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
63		zaddcl 12632	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
64	61, 62, 63	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
65	33	nn0zi 12617	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
66		zaddcl 12632	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
67	64, 65, 66	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
68	40	nn0zi 12617	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℤ
69		zmulcl 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (;11 · 𝐴) ∈ ℤ)
70	68, 61, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℤ
71		zaddcl 12632	. . . . . . 7 ⊢ (((;11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
72	70, 62, 71	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
73		zmulcl 12641	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
74	60, 72, 73	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
75		zmulcl 12641	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
76	60, 74, 75	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
77		dvdsmul1 16297	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
78	60, 74, 77	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
79	76, 78	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
80		dvdsadd2b 16325	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
81	60, 67, 79, 80	mp3an 1463	. 2 ⊢ (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
82	59, 81	bitr4i 278	1 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  2c2 12295  3c3 12296  9c9 12302  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ;cdc 12708  ↑cexp 14079   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080  df-dvds 16273

This theorem is referenced by:  257prm  47575  139prmALT  47610  127prm  47613