Theorem 3dvds2dec 16023

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴, 𝐵 and 𝐶 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴, 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvds2dec	⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dvdsdec.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3dvdsdec.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	3dec 13961	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
4		sq10e99m1 13960	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;99 + 1)
5	4	oveq1i 7278	. . . . . . 7 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 + 1) · 𝐴)
6		9nn0 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ ;99 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12228	. . . . . . . 8 ⊢ ;99 ∈ ℂ
9		ax-1cn 10913	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	1	nn0cni 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	adddiri 10972	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 + 1) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
12	10	mulid2i 10964	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
13	12	oveq2i 7279	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
14	5, 11, 13	3eqtri 2771	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
15		9p1e10 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 1) = ;10
16	15	eqcomi 2748	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 = (9 + 1)
17	16	oveq1i 7278	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
18		9cn 12056	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
19	2	nn0cni 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	18, 9, 19	adddiri 10972	. . . . . . 7 ⊢ ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
21	19	mulid2i 10964	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐵) = 𝐵
22	21	oveq2i 7279	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
23	17, 20, 22	3eqtri 2771	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
24	14, 23	oveq12i 7280	. . . . 5 ⊢ (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
25	24	oveq1i 7278	. . . 4 ⊢ ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
26	8, 10	mulcli 10966	. . . . . 6 ⊢ (;99 · 𝐴) ∈ ℂ
27	18, 19	mulcli 10966	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐵) ∈ ℂ
28		add4 11178	. . . . . . 7 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
29	28	oveq1d 7283	. . . . . 6 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
30	26, 10, 27, 19, 29	mp4an 689	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
31	26, 27	addcli 10965	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
32	10, 19	addcli 10965	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
33		3dvds2dec.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
34	33	nn0cni 12228	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
35	31, 32, 34	addassi 10969	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
36		9t11e99 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · ;11) = ;99
37	36	eqcomi 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;99 = (9 · ;11)
38	37	oveq1i 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ (;99 · 𝐴) = ((9 · ;11) · 𝐴)
39		1nn0 12232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
40	39, 39	deccl 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	18, 41, 10	mulassi 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · ;11) · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
43	38, 42	eqtri 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (;99 · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
44	43	oveq1i 7278	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
45	41, 10	mulcli 10966	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℂ
46	18, 45, 19	adddii 10971	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
47	46	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
48		3t3e9 12123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
49	48	eqcomi 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
50	49	oveq1i 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
51		3cn 12037	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	45, 19	addcli 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
53	51, 51, 52	mulassi 10970	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
54	50, 53	eqtri 2767	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
55	44, 47, 54	3eqtri 2771	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
56	55	oveq1i 7278	. . . . 5 ⊢ (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
57	30, 35, 56	3eqtri 2771	. . . 4 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
58	3, 25, 57	3eqtri 2771	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
59	58	breq2i 5086	. 2 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
60		3z 12336	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
61	1	nn0zi 12328	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
62	2	nn0zi 12328	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
63		zaddcl 12343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
64	61, 62, 63	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
65	33	nn0zi 12328	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
66		zaddcl 12343	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
67	64, 65, 66	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
68	40	nn0zi 12328	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℤ
69		zmulcl 12352	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (;11 · 𝐴) ∈ ℤ)
70	68, 61, 69	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℤ
71		zaddcl 12343	. . . . . . 7 ⊢ (((;11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
72	70, 62, 71	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
73		zmulcl 12352	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
74	60, 72, 73	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
75		zmulcl 12352	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
76	60, 74, 75	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
77		dvdsmul1 15968	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
78	60, 74, 77	mp2an 688	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
79	76, 78	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
80		dvdsadd2b 15996	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
81	60, 67, 79, 80	mp3an 1459	. 2 ⊢ (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
82	59, 81	bitr4i 277	1 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  2c2 12011  3c3 12012  9c9 12018  ℕ₀cn0 12216  ℤcz 12302  ;cdc 12419  ↑cexp 13763   ∥ cdvds 15944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764  df-dvds 15945

This theorem is referenced by:  257prm  44965  139prmALT  45000  127prm  45003