Theorem 3dvds2dec 16091

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴, 𝐵 and 𝐶 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴, 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvds2dec	⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dvdsdec.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3dvdsdec.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	3dec 14030	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
4		sq10e99m1 14029	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;99 + 1)
5	4	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 + 1) · 𝐴)
6		9nn0 12307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ ;99 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12295	. . . . . . . 8 ⊢ ;99 ∈ ℂ
9		ax-1cn 10979	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	1	nn0cni 12295	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	adddiri 11038	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 + 1) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
12	10	mulid2i 11030	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
13	12	oveq2i 7318	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
14	5, 11, 13	3eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
15		9p1e10 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 1) = ;10
16	15	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 = (9 + 1)
17	16	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
18		9cn 12123	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
19	2	nn0cni 12295	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	18, 9, 19	adddiri 11038	. . . . . . 7 ⊢ ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
21	19	mulid2i 11030	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐵) = 𝐵
22	21	oveq2i 7318	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
23	17, 20, 22	3eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
24	14, 23	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
25	24	oveq1i 7317	. . . 4 ⊢ ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
26	8, 10	mulcli 11032	. . . . . 6 ⊢ (;99 · 𝐴) ∈ ℂ
27	18, 19	mulcli 11032	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐵) ∈ ℂ
28		add4 11245	. . . . . . 7 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
29	28	oveq1d 7322	. . . . . 6 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
30	26, 10, 27, 19, 29	mp4an 691	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
31	26, 27	addcli 11031	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
32	10, 19	addcli 11031	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
33		3dvds2dec.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
34	33	nn0cni 12295	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
35	31, 32, 34	addassi 11035	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
36		9t11e99 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · ;11) = ;99
37	36	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;99 = (9 · ;11)
38	37	oveq1i 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (;99 · 𝐴) = ((9 · ;11) · 𝐴)
39		1nn0 12299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
40	39, 39	deccl 12502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	18, 41, 10	mulassi 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · ;11) · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
43	38, 42	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (;99 · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
44	43	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
45	41, 10	mulcli 11032	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℂ
46	18, 45, 19	adddii 11037	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
47	46	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
48		3t3e9 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
49	48	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
50	49	oveq1i 7317	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
51		3cn 12104	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	45, 19	addcli 11031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
53	51, 51, 52	mulassi 11036	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
54	50, 53	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
55	44, 47, 54	3eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
56	55	oveq1i 7317	. . . . 5 ⊢ (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
57	30, 35, 56	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
58	3, 25, 57	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
59	58	breq2i 5089	. 2 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
60		3z 12403	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
61	1	nn0zi 12395	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
62	2	nn0zi 12395	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
63		zaddcl 12410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
64	61, 62, 63	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
65	33	nn0zi 12395	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
66		zaddcl 12410	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
67	64, 65, 66	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
68	40	nn0zi 12395	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℤ
69		zmulcl 12419	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (;11 · 𝐴) ∈ ℤ)
70	68, 61, 69	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℤ
71		zaddcl 12410	. . . . . . 7 ⊢ (((;11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
72	70, 62, 71	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
73		zmulcl 12419	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
74	60, 72, 73	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
75		zmulcl 12419	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
76	60, 74, 75	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
77		dvdsmul1 16036	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
78	60, 74, 77	mp2an 690	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
79	76, 78	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
80		dvdsadd2b 16064	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
81	60, 67, 79, 80	mp3an 1461	. 2 ⊢ (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
82	59, 81	bitr4i 278	1 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926  2c2 12078  3c3 12079  9c9 12085  ℕ₀cn0 12283  ℤcz 12369  ;cdc 12487  ↑cexp 13832   ∥ cdvds 16012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-seq 13772  df-exp 13833  df-dvds 16013

This theorem is referenced by:  257prm  45257  139prmALT  45292  127prm  45295