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Theorem 3dvds2dec 16370
Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴, 𝐵 and 𝐶 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴, 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c 𝐶 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvds2dec (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2dec
StepHypRef Expression
1 3dvdsdec.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 3dvdsdec.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 23dec 14305 . . . 4 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
4 sq10e99m1 14304 . . . . . . . 8 (10↑2) = (99 + 1)
54oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 + 1) · 𝐴)
6 9nn0 12550 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
76, 6deccl 12748 . . . . . . . . 9 99 ∈ ℕ0
87nn0cni 12538 . . . . . . . 8 99 ∈ ℂ
9 ax-1cn 11213 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
101nn0cni 12538 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
118, 9, 10adddiri 11274 . . . . . . 7 ((99 + 1) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
1210mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
1312oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
145, 11, 133eqtri 2769 . . . . . 6 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
15 9p1e10 12735 . . . . . . . . 9 (9 + 1) = 10
1615eqcomi 2746 . . . . . . . 8 10 = (9 + 1)
1716oveq1i 7441 . . . . . . 7 (10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
18 9cn 12366 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
192nn0cni 12538 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℂ
2018, 9, 19adddiri 11274 . . . . . . 7 ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
2119mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · 𝐵) = 𝐵
2221oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2317, 20, 223eqtri 2769 . . . . . 6 (10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2414, 23oveq12i 7443 . . . . 5 (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
2524oveq1i 7441 . . . 4 ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
268, 10mulcli 11268 . . . . . 6 (99 · 𝐴) ∈ ℂ
2718, 19mulcli 11268 . . . . . 6 (9 · 𝐵) ∈ ℂ
28 add4 11482 . . . . . . 7 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
2928oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
3026, 10, 27, 19, 29mp4an 693 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
3126, 27addcli 11267 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
3210, 19addcli 11267 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
33 3dvds2dec.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
3433nn0cni 12538 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
3531, 32, 34addassi 11271 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
36 9t11e99 12863 . . . . . . . . . . 11 (9 · 11) = 99
3736eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 99 = (9 · 11)
3837oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (99 · 𝐴) = ((9 · 11) · 𝐴)
39 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4039, 39deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ0
4140nn0cni 12538 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℂ
4218, 41, 10mulassi 11272 . . . . . . . . 9 ((9 · 11) · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4338, 42eqtri 2765 . . . . . . . 8 (99 · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4443oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4541, 10mulcli 11268 . . . . . . . . 9 (11 · 𝐴) ∈ ℂ
4618, 45, 19adddii 11273 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4746eqcomi 2746 . . . . . . 7 ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
48 3t3e9 12433 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4948eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
5049oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
51 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5245, 19addcli 11267 . . . . . . . . 9 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
5351, 51, 52mulassi 11272 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5450, 53eqtri 2765 . . . . . . 7 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5544, 47, 543eqtri 2769 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5655oveq1i 7441 . . . . 5 (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5730, 35, 563eqtri 2769 . . . 4 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
583, 25, 573eqtri 2769 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5958breq2i 5151 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
60 3z 12650 . . 3 3 ∈ ℤ
611nn0zi 12642 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
622nn0zi 12642 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
63 zaddcl 12657 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
6461, 62, 63mp2an 692 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
6533nn0zi 12642 . . . 4 𝐶 ∈ ℤ
66 zaddcl 12657 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
6764, 65, 66mp2an 692 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
6840nn0zi 12642 . . . . . . . 8 11 ∈ ℤ
69 zmulcl 12666 . . . . . . . 8 ((11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (11 · 𝐴) ∈ ℤ)
7068, 61, 69mp2an 692 . . . . . . 7 (11 · 𝐴) ∈ ℤ
71 zaddcl 12657 . . . . . . 7 (((11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
7270, 62, 71mp2an 692 . . . . . 6 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
73 zmulcl 12666 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
7460, 72, 73mp2an 692 . . . . 5 (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
75 zmulcl 12666 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
7660, 74, 75mp2an 692 . . . 4 (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
77 dvdsmul1 16315 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
7860, 74, 77mp2an 692 . . . 4 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
7976, 78pm3.2i 470 . . 3 ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
80 dvdsadd2b 16343 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
8160, 67, 79, 80mp3an 1463 . 2 (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
8259, 81bitr4i 278 1 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  9c9 12328  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  cexp 14102  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  257prm  47548  139prmALT  47583  127prm  47586
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