Theorem 3dvds2dec 16310

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴, 𝐵 and 𝐶 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴, 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvds2dec	⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dvdsdec.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3dvdsdec.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	3dec 14238	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
4		sq10e99m1 14237	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;99 + 1)
5	4	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 + 1) · 𝐴)
6		9nn0 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ;99 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12461	. . . . . . . 8 ⊢ ;99 ∈ ℂ
9		ax-1cn 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	1	nn0cni 12461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	adddiri 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 + 1) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
12	10	mullidi 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
13	12	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
14	5, 11, 13	3eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑2) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
15		9p1e10 12658	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 1) = ;10
16	15	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 = (9 + 1)
17	16	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
18		9cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
19	2	nn0cni 12461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	18, 9, 19	adddiri 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
21	19	mullidi 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐵) = 𝐵
22	21	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
23	17, 20, 22	3eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
24	14, 23	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
25	24	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
26	8, 10	mulcli 11188	. . . . . 6 ⊢ (;99 · 𝐴) ∈ ℂ
27	18, 19	mulcli 11188	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐵) ∈ ℂ
28		add4 11402	. . . . . . 7 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
29	28	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
30	26, 10, 27, 19, 29	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
31	26, 27	addcli 11187	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
32	10, 19	addcli 11187	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
33		3dvds2dec.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
34	33	nn0cni 12461	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
35	31, 32, 34	addassi 11191	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
36		9t11e99 12786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · ;11) = ;99
37	36	eqcomi 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;99 = (9 · ;11)
38	37	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (;99 · 𝐴) = ((9 · ;11) · 𝐴)
39		1nn0 12465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
40	39, 39	deccl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	18, 41, 10	mulassi 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · ;11) · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
43	38, 42	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (;99 · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
44	43	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
45	41, 10	mulcli 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℂ
46	18, 45, 19	adddii 11193	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
47	46	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
48		3t3e9 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
49	48	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
50	49	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
51		3cn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	45, 19	addcli 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
53	51, 51, 52	mulassi 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
54	50, 53	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
55	44, 47, 54	3eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
56	55	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
57	30, 35, 56	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
58	3, 25, 57	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
59	58	breq2i 5118	. 2 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
60		3z 12573	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
61	1	nn0zi 12565	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
62	2	nn0zi 12565	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
63		zaddcl 12580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
64	61, 62, 63	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
65	33	nn0zi 12565	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
66		zaddcl 12580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
67	64, 65, 66	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
68	40	nn0zi 12565	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℤ
69		zmulcl 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (;11 · 𝐴) ∈ ℤ)
70	68, 61, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℤ
71		zaddcl 12580	. . . . . . 7 ⊢ (((;11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
72	70, 62, 71	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
73		zmulcl 12589	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
74	60, 72, 73	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
75		zmulcl 12589	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
76	60, 74, 75	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
77		dvdsmul1 16254	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
78	60, 74, 77	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
79	76, 78	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
80		dvdsadd2b 16283	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
81	60, 67, 79, 80	mp3an 1463	. 2 ⊢ (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
82	59, 81	bitr4i 278	1 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  3c3 12249  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  257prm  47566  139prmALT  47601  127prm  47604