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Theorem 3dvds2dec 16309
Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴, 𝐵 and 𝐶 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴, 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c 𝐶 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvds2dec (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2dec
StepHypRef Expression
1 3dvdsdec.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 3dvdsdec.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 23dec 14257 . . . 4 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
4 sq10e99m1 14256 . . . . . . . 8 (10↑2) = (99 + 1)
54oveq1i 7426 . . . . . . 7 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 + 1) · 𝐴)
6 9nn0 12526 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
76, 6deccl 12722 . . . . . . . . 9 99 ∈ ℕ0
87nn0cni 12514 . . . . . . . 8 99 ∈ ℂ
9 ax-1cn 11196 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
101nn0cni 12514 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
118, 9, 10adddiri 11257 . . . . . . 7 ((99 + 1) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
1210mullidi 11249 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
1312oveq2i 7427 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
145, 11, 133eqtri 2757 . . . . . 6 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
15 9p1e10 12709 . . . . . . . . 9 (9 + 1) = 10
1615eqcomi 2734 . . . . . . . 8 10 = (9 + 1)
1716oveq1i 7426 . . . . . . 7 (10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
18 9cn 12342 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
192nn0cni 12514 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℂ
2018, 9, 19adddiri 11257 . . . . . . 7 ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
2119mullidi 11249 . . . . . . . 8 (1 · 𝐵) = 𝐵
2221oveq2i 7427 . . . . . . 7 ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2317, 20, 223eqtri 2757 . . . . . 6 (10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2414, 23oveq12i 7428 . . . . 5 (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
2524oveq1i 7426 . . . 4 ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
268, 10mulcli 11251 . . . . . 6 (99 · 𝐴) ∈ ℂ
2718, 19mulcli 11251 . . . . . 6 (9 · 𝐵) ∈ ℂ
28 add4 11464 . . . . . . 7 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
2928oveq1d 7431 . . . . . 6 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
3026, 10, 27, 19, 29mp4an 691 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
3126, 27addcli 11250 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
3210, 19addcli 11250 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
33 3dvds2dec.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
3433nn0cni 12514 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
3531, 32, 34addassi 11254 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
36 9t11e99 12837 . . . . . . . . . . 11 (9 · 11) = 99
3736eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 99 = (9 · 11)
3837oveq1i 7426 . . . . . . . . 9 (99 · 𝐴) = ((9 · 11) · 𝐴)
39 1nn0 12518 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4039, 39deccl 12722 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ0
4140nn0cni 12514 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℂ
4218, 41, 10mulassi 11255 . . . . . . . . 9 ((9 · 11) · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4338, 42eqtri 2753 . . . . . . . 8 (99 · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4443oveq1i 7426 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4541, 10mulcli 11251 . . . . . . . . 9 (11 · 𝐴) ∈ ℂ
4618, 45, 19adddii 11256 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4746eqcomi 2734 . . . . . . 7 ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
48 3t3e9 12409 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4948eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
5049oveq1i 7426 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
51 3cn 12323 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5245, 19addcli 11250 . . . . . . . . 9 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
5351, 51, 52mulassi 11255 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5450, 53eqtri 2753 . . . . . . 7 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5544, 47, 543eqtri 2757 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5655oveq1i 7426 . . . . 5 (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5730, 35, 563eqtri 2757 . . . 4 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
583, 25, 573eqtri 2757 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5958breq2i 5151 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
60 3z 12625 . . 3 3 ∈ ℤ
611nn0zi 12617 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
622nn0zi 12617 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
63 zaddcl 12632 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
6461, 62, 63mp2an 690 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
6533nn0zi 12617 . . . 4 𝐶 ∈ ℤ
66 zaddcl 12632 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
6764, 65, 66mp2an 690 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
6840nn0zi 12617 . . . . . . . 8 11 ∈ ℤ
69 zmulcl 12641 . . . . . . . 8 ((11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (11 · 𝐴) ∈ ℤ)
7068, 61, 69mp2an 690 . . . . . . 7 (11 · 𝐴) ∈ ℤ
71 zaddcl 12632 . . . . . . 7 (((11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
7270, 62, 71mp2an 690 . . . . . 6 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
73 zmulcl 12641 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
7460, 72, 73mp2an 690 . . . . 5 (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
75 zmulcl 12641 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
7660, 74, 75mp2an 690 . . . 4 (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
77 dvdsmul1 16254 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
7860, 74, 77mp2an 690 . . . 4 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
7976, 78pm3.2i 469 . . 3 ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
80 dvdsadd2b 16282 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
8160, 67, 79, 80mp3an 1457 . 2 (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
8259, 81bitr4i 277 1 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  2c2 12297  3c3 12298  9c9 12304  0cn0 12502  cz 12588  cdc 12707  cexp 14058  cdvds 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059  df-dvds 16231
This theorem is referenced by:  257prm  46964  139prmALT  46999  127prm  47002
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