Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnltalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnltalem 41707
Description: Lemma for fltnlta 41708. A lower bound for 𝐴 based on pwdif 15819. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltltc.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
fltnltalem (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))

Proof of Theorem fltnltalem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltltc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
21nnred 12232 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fltltc.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
4 eluzge3nn 12879 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 12518 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
63, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
72, 6reexpcld 14133 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
86nn0red 12538 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9 fltltc.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nnred 12232 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110, 6reexpcld 14133 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
128, 11remulcld 11249 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
137, 12readdcld 11248 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
14 fzofi 13944 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
162adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 elfzonn0 13682 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1916, 18reexpcld 14133 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
2010adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 fzonnsub 13662 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
23 nnm1nn0 12518 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
2520, 24reexpcld 14133 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
2619, 25remulcld 11249 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
2715, 26fsumrecl 15685 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
28 fltltc.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
29 fltltc.1 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
3028, 9, 1, 3, 29fltltc 41706 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
31 difrp 13017 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
3210, 2, 31syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
34 fzofi 13944 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
362adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
37 elfzonn0 13682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38reexpcld 14133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
4010adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 fzonnsub 13662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ)
4241nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
4440, 43reexpcld 14133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
4539, 44remulcld 11249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
4635, 45fsumrecl 15685 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
47 fzofi 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin)
4910adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 elfzonn0 13682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5249, 51reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)))
54 1nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
55 elfzoext 13694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
5653, 54, 55sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
57 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
583, 4, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
60 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
6261, 60npcand 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑁 − 1) − 1) + 1) = (𝑁 − 1))
6362oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
6556, 64eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6665, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
6749, 66reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
6852, 67remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
6948, 68fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
70 sub1m1 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
72 uz3m2nn 12880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
7471, 73eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ)
7574nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
7610, 75reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
7776, 10remulcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
7869, 77readdcld 11248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
792adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
8079, 51reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
8180, 67remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
8248, 81fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
832, 75reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
8483, 10remulcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
8582, 84readdcld 11248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
869nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87 uzuzle23 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
883, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
89 uz2m1nn 12912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
91 expm1t 14061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
9286, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
9392eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
9493oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9561, 60subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℂ)
9686, 6expcld 14116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9795, 96adddirp1d 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9862oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9994, 97, 983eqtr2rd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
10012, 99eqled 11322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
10137nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10361adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104102, 103pncan3d 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝑁 − 1))
105104oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
106105sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)))
10786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
108107, 66, 51expaddd 14118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
109108sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
110 fsumconst 15741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
11148, 96, 110syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
112 hashfzo0 14395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
11375, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
114113oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
115111, 114eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
116106, 109, 1153eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
117116oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
118100, 117breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
1199nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
120119rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ 𝐵)
12249, 66, 121expge0d 14134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
12310, 2, 30ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐶)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵𝐶)
125 leexp1a 14145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐶𝑘))
12649, 79, 51, 121, 124, 125syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐶𝑘))
12752, 80, 67, 122, 126lemul1ad 12158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
12848, 68, 81, 127fsumle 15750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
1291nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
130119, 129, 74, 30ltexp1dd 41517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) < (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
13176, 83, 119, 130ltmul1dd 13076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) < ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
13269, 77, 82, 84, 128, 131leltaddd 11841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
13312, 78, 85, 118, 132lelttrd 11377 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
13461, 60nncand 11581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)) = 1)
135134oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = (𝐵↑1))
13686exp1d 14111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑1) = 𝐵)
137135, 136eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = 𝐵)
138137oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
139138oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
140133, 139breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
141 0zd 12575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142141peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
143 0cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
144 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
145143, 144, 144addassi 11229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 + 1) + 1) = (0 + (1 + 1))
146144, 144addcli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℂ
147146addlidi 11407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (1 + 1)) = (1 + 1)
148 1p1e2 12342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
149145, 147, 1483eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 + 1) + 1) = 2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 + 1) + 1) = 2)
151150fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘((0 + 1) + 1)) = (ℤ‘2))
15288, 151eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((0 + 1) + 1)))
153 eluzp1m1 12853 . . . . . . . . . . . 12 (((0 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((0 + 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
154142, 152, 153syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
155 eluzp1m1 12853 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ‘0))
156141, 154, 155syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ‘0))
1571nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159158, 38expcld 14116 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
16086adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
161160, 43expcld 14116 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
162159, 161mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
163 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐶𝑘) = (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
164 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))
165164oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))
166163, 165oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))))
1676nn0zd 12589 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
168156, 162, 166, 167fzosumm1 41375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
169140, 168breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
17012, 46, 7, 169ltadd2dd 11378 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
17135, 162fsumcl 15684 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
172157, 6expcld 14116 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173171, 172addcomd 11421 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
174170, 173breqtrrd 5176 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
17559adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
176101adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
177 1cnd 11214 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
178175, 176, 177sub32d 11608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
179178oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
180179oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
181180sumeq2dv 15654 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
18259, 59, 60nnncand 11609 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = (𝑁𝑁))
18359subidd 11564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
184182, 183eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
185184oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
18686exp0d 14110 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
187185, 186eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
188187oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1))
1897recnd 11247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
190189mulridd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
191188, 190eqtrd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
192181, 191oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
193174, 192breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
194 elnn0uz 12872 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
1956, 194sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
196157adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
197196, 18expcld 14116 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
19886adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
199198, 24expcld 14116 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
200197, 199mulcld 11239 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
201 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐶𝑘) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
202 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
203202oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
204203oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
205201, 204oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
20658nn0zd 12589 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
207195, 200, 205, 206fzosumm1 41375 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
208193, 207breqtrrd 5176 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
20913, 27, 33, 208ltmul2dd 13077 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
210 pwdif 15819 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
21158, 157, 86, 210syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
212209, 211breqtrrd 5176 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)))
21328nncnd 12233 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
214213, 58expcld 14116 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
21586, 58expcld 14116 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
216214, 215, 29mvlraddd 11629 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁) = ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)))
217212, 216breqtrrd 5176 1 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119   < clt 11253  cle 11254  cmin 11449  cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  0cn0 12477  cz 12563  cuz 12827  +crp 12979  ..^cfzo 13632  cexp 14032  chash 14295  Σcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  fltnlta  41708
  Copyright terms: Public domain W3C validator