Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnltalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnltalem 40479
Description: Lemma for fltnlta 40480. A lower bound for 𝐴 based on pwdif 15561. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltltc.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
fltnltalem (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))

Proof of Theorem fltnltalem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltltc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
21nnred 11971 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fltltc.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
4 eluzge3nn 12612 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 12257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
63, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
72, 6reexpcld 13862 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
86nn0red 12277 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9 fltltc.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nnred 11971 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110, 6reexpcld 13862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
128, 11remulcld 10989 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
137, 12readdcld 10988 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
14 fzofi 13675 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
162adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 elfzonn0 13413 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1916, 18reexpcld 13862 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
2010adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 fzonnsub 13393 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
23 nnm1nn0 12257 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
2520, 24reexpcld 13862 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
2619, 25remulcld 10989 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
2715, 26fsumrecl 15427 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
28 fltltc.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
29 fltltc.1 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
3028, 9, 1, 3, 29fltltc 40478 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
31 difrp 12750 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
3210, 2, 31syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
34 fzofi 13675 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
362adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
37 elfzonn0 13413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38reexpcld 13862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
4010adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 fzonnsub 13393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ)
4241nnnn0d 12276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
4440, 43reexpcld 13862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
4539, 44remulcld 10989 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
4635, 45fsumrecl 15427 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
47 fzofi 13675 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin)
4910adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 elfzonn0 13413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5249, 51reexpcld 13862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)))
54 1nn0 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
55 elfzoext 13425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
5653, 54, 55sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
57 nnnn0 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
583, 4, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
60 1cnd 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
6261, 60npcand 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑁 − 1) − 1) + 1) = (𝑁 − 1))
6362oveq2d 7284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
6556, 64eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6665, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
6749, 66reexpcld 13862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
6852, 67remulcld 10989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
6948, 68fsumrecl 15427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
70 sub1m1 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
72 uz3m2nn 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
7471, 73eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ)
7574nnnn0d 12276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
7610, 75reexpcld 13862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
7776, 10remulcld 10989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
7869, 77readdcld 10988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
792adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
8079, 51reexpcld 13862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
8180, 67remulcld 10989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
8248, 81fsumrecl 15427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
832, 75reexpcld 13862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
8483, 10remulcld 10989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
8582, 84readdcld 10988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
869nncnd 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87 uzuzle23 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
883, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
89 uz2m1nn 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
91 expm1t 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
9286, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
9392eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
9493oveq2d 7284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9561, 60subcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℂ)
9686, 6expcld 13845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9795, 96adddirp1d 10985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9862oveq1d 7283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9994, 97, 983eqtr2rd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
10012, 99eqled 11061 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
10137nn0cnd 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10361adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104102, 103pncan3d 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝑁 − 1))
105104oveq2d 7284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
106105sumeq2dv 15396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)))
10786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
108107, 66, 51expaddd 13847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
109108sumeq2dv 15396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
110 fsumconst 15483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
11148, 96, 110syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
112 hashfzo0 14126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
11375, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
114113oveq1d 7283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
115111, 114eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
116106, 109, 1153eqtr3d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
117116oveq1d 7283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
118100, 117breqtrrd 5106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
1199nnrpd 12752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
120119rpge0d 12758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ 𝐵)
12249, 66, 121expge0d 13863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
12310, 2, 30ltled 11106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐶)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵𝐶)
125 leexp1a 13874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐶𝑘))
12649, 79, 51, 121, 124, 125syl32anc 1376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐶𝑘))
12752, 80, 67, 122, 126lemul1ad 11897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
12848, 68, 81, 127fsumle 15492 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
1291nnrpd 12752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
130119, 129, 74, 30ltexp1dd 40303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) < (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
13176, 83, 119, 130ltmul1dd 12809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) < ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
13269, 77, 82, 84, 128, 131leltaddd 11580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
13312, 78, 85, 118, 132lelttrd 11116 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
13461, 60nncand 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)) = 1)
135134oveq2d 7284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = (𝐵↑1))
13686exp1d 13840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑1) = 𝐵)
137135, 136eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = 𝐵)
138137oveq2d 7284 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
139138oveq2d 7284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
140133, 139breqtrrd 5106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
141 0zd 12314 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142141peano2zd 12411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
143 0cn 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
144 ax-1cn 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
145143, 144, 144addassi 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 + 1) + 1) = (0 + (1 + 1))
146144, 144addcli 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℂ
147146addid2i 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (1 + 1)) = (1 + 1)
148 1p1e2 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
149145, 147, 1483eqtri 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 + 1) + 1) = 2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 + 1) + 1) = 2)
151150fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘((0 + 1) + 1)) = (ℤ‘2))
15288, 151eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((0 + 1) + 1)))
153 eluzp1m1 12590 . . . . . . . . . . . 12 (((0 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((0 + 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
154142, 152, 153syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
155 eluzp1m1 12590 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ‘0))
156141, 154, 155syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ‘0))
1571nncnd 11972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159158, 38expcld 13845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
16086adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
161160, 43expcld 13845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
162159, 161mulcld 10979 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
163 oveq2 7276 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐶𝑘) = (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
164 oveq2 7276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))
165164oveq2d 7284 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))
166163, 165oveq12d 7286 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))))
1676nn0zd 12406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
168156, 162, 166, 167fzosumm1 40198 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
169140, 168breqtrrd 5106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
17012, 46, 7, 169ltadd2dd 11117 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
17135, 162fsumcl 15426 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
172157, 6expcld 13845 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173171, 172addcomd 11160 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
174170, 173breqtrrd 5106 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
17559adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
176101adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
177 1cnd 10954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
178175, 176, 177sub32d 11347 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
179178oveq2d 7284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
180179oveq2d 7284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
181180sumeq2dv 15396 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
18259, 59, 60nnncand 11348 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = (𝑁𝑁))
18359subidd 11303 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
184182, 183eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
185184oveq2d 7284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
18686exp0d 13839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
187185, 186eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
188187oveq2d 7284 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1))
1897recnd 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
190189mulid1d 10976 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
191188, 190eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
192181, 191oveq12d 7286 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
193174, 192breqtrrd 5106 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
194 elnn0uz 12605 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
1956, 194sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
196157adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
197196, 18expcld 13845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
19886adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
199198, 24expcld 13845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
200197, 199mulcld 10979 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
201 oveq2 7276 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐶𝑘) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
202 oveq2 7276 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
203202oveq1d 7283 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
204203oveq2d 7284 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
205201, 204oveq12d 7286 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
20658nn0zd 12406 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
207195, 200, 205, 206fzosumm1 40198 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
208193, 207breqtrrd 5106 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
20913, 27, 33, 208ltmul2dd 12810 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
210 pwdif 15561 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
21158, 157, 86, 210syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
212209, 211breqtrrd 5106 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)))
21328nncnd 11972 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
214213, 58expcld 13845 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
21586, 58expcld 13845 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
216214, 215, 29mvlraddd 11368 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁) = ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)))
217212, 216breqtrrd 5106 1 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109   class class class wbr 5078  cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  cc 10853  cr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993  cle 10994  cmin 11188  cn 11956  2c2 12011  3c3 12012  0cn0 12216  cz 12302  cuz 12564  +crp 12712  ..^cfzo 13364  cexp 13763  chash 14025  Σcsu 15378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379
This theorem is referenced by:  fltnlta  40480
  Copyright terms: Public domain W3C validator