Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnltalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnltalem 39616
Description: Lemma for fltnlta 39617. A lower bound for 𝐴 based on pwdif 15215. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltne.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltne.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
fltnltalem (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))

Proof of Theorem fltnltalem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltne.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
21nnred 11640 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fltne.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
4 eluzge3nn 12278 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11926 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
63, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
72, 6reexpcld 13523 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
86nn0red 11944 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9 fltne.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nnred 11640 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110, 6reexpcld 13523 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
128, 11remulcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
137, 12readdcld 10659 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
14 fzofi 13337 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
162adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 elfzonn0 13077 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1817adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1916, 18reexpcld 13523 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
2010adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 fzonnsub 13057 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
2221adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
23 nnm1nn0 11926 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
2520, 24reexpcld 13523 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
2619, 25remulcld 10660 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
2715, 26fsumrecl 15083 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
28 fltne.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
29 fltne.1 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
3028, 9, 1, 3, 29fltltc 39615 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
31 difrp 12415 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
3210, 2, 31syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
3330, 32mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
34 fzofi 13337 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
362adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
37 elfzonn0 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3936, 38reexpcld 13523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
4010adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 fzonnsub 13057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ)
4241nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
4342adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
4440, 43reexpcld 13523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
4539, 44remulcld 10660 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
4635, 45fsumrecl 15083 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
47 fzofi 13337 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin)
4910adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 elfzonn0 13077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5249, 51reexpcld 13523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
53 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)))
54 1nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
55 elfzoext 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
5653, 54, 55sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
57 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
583, 4, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
60 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
6261, 60npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑁 − 1) − 1) + 1) = (𝑁 − 1))
6362oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
6463adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
6556, 64eleqtrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6665, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
6749, 66reexpcld 13523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
6852, 67remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
6948, 68fsumrecl 15083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
70 sub1m1 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
72 uz3m2nn 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
7471, 73eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ)
7574nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
7610, 75reexpcld 13523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
7776, 10remulcld 10660 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
7869, 77readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
792adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
8079, 51reexpcld 13523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
8180, 67remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
8248, 81fsumrecl 15083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
832, 75reexpcld 13523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
8483, 10remulcld 10660 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
8582, 84readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
869nncnd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87 uzuzle23 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
883, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
89 uz2m1nn 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
91 expm1t 13453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
9286, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
9392eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
9493oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9561, 60subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℂ)
9686, 6expcld 13506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9795, 96adddirp1d 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9862oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
9994, 97, 983eqtr2rd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
10012, 99eqled 10732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
10137nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10361adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104102, 103pncan3d 10989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝑁 − 1))
105104oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
106105sumeq2dv 15052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)))
10786adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
108107, 66, 51expaddd 13508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
109108sumeq2dv 15052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
110 fsumconst 15137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
11148, 96, 110syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
112 hashfzo0 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
11375, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
114113oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
115111, 114eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
116106, 109, 1153eqtr3d 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
117116oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
118100, 117breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
1199nnrpd 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
120119rpge0d 12423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
121120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ 𝐵)
12249, 66, 121expge0d 13524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
12310, 2, 30ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐶)
124123adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵𝐶)
125 leexp1a 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐶𝑘))
12649, 79, 51, 121, 124, 125syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐶𝑘))
12752, 80, 67, 122, 126lemul1ad 11568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
12848, 68, 81, 127fsumle 15146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
1291nnrpd 12417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
130119, 129, 74, 30ltexp1dd 39497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) < (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
13176, 83, 119, 130ltmul1dd 12474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) < ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
13269, 77, 82, 84, 128, 131leltaddd 11251 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
13312, 78, 85, 118, 132lelttrd 10787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
13461, 60nncand 10991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)) = 1)
135134oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = (𝐵↑1))
13686exp1d 13501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵↑1) = 𝐵)
137135, 136eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = 𝐵)
138137oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
139138oveq2d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
140133, 139breqtrrd 5058 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
141 0zd 11981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142141peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
143 0cn 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
144 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
145143, 144, 144addassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 + 1) + 1) = (0 + (1 + 1))
146144, 144addcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℂ
147146addid2i 10817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (1 + 1)) = (1 + 1)
148 1p1e2 11750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
149145, 147, 1483eqtri 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 + 1) + 1) = 2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 + 1) + 1) = 2)
151150fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘((0 + 1) + 1)) = (ℤ‘2))
15288, 151eleqtrrd 2893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((0 + 1) + 1)))
153 eluzp1m1 12256 . . . . . . . . . . . 12 (((0 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((0 + 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
154142, 152, 153syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
155 eluzp1m1 12256 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ‘0))
156141, 154, 155syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ‘0))
1571nncnd 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
158157adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159158, 38expcld 13506 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
16086adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
161160, 43expcld 13506 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
162159, 161mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
163 oveq2 7143 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐶𝑘) = (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
164 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))
165164oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))
166163, 165oveq12d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))))
1676nn0zd 12073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
168156, 162, 166, 167fzosumm1 39419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
169140, 168breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
17012, 46, 7, 169ltadd2dd 10788 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
17135, 162fsumcl 15082 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
172157, 6expcld 13506 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173171, 172addcomd 10831 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
174170, 173breqtrrd 5058 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
17559adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
176101adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
177 1cnd 10625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
178175, 176, 177sub32d 11018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
179178oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
180179oveq2d 7151 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
181180sumeq2dv 15052 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
18259, 59, 60nnncand 11019 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = (𝑁𝑁))
18359subidd 10974 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
184182, 183eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
185184oveq2d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
18686exp0d 13500 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
187185, 186eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
188187oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1))
1897recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
190189mulid1d 10647 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
191188, 190eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
192181, 191oveq12d 7153 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
193174, 192breqtrrd 5058 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
194 elnn0uz 12271 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
1956, 194sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
196157adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
197196, 18expcld 13506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
19886adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
199198, 24expcld 13506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
200197, 199mulcld 10650 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
201 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐶𝑘) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
202 oveq2 7143 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
203202oveq1d 7150 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
204203oveq2d 7151 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
205201, 204oveq12d 7153 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
20658nn0zd 12073 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
207195, 200, 205, 206fzosumm1 39419 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
208193, 207breqtrrd 5058 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
20913, 27, 33, 208ltmul2dd 12475 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
210 pwdif 15215 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
21158, 157, 86, 210syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐶𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
212209, 211breqtrrd 5058 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)))
21328nncnd 11641 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
214213, 58expcld 13506 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
21586, 58expcld 13506 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
216214, 215, 29mvlraddd 11039 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁) = ((𝐶𝑁) − (𝐵𝑁)))
217212, 216breqtrrd 5058 1 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ..^cfzo 13028  cexp 13425  chash 13686  Σcsu 15034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035
This theorem is referenced by:  fltnlta  39617
  Copyright terms: Public domain W3C validator