Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnltalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnltalem 41706
Description: Lemma for fltnlta 41707. A lower bound for ๐ด based on pwdif 15818. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
fltltc.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
fltltc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
fltltc.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
fltltc.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
Assertion
Ref Expression
fltnltalem (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem fltnltalem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltltc.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
21nnred 12231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3 fltltc.n . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
4 eluzge3nn 12878 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 nnm1nn0 12517 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
63, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
72, 6reexpcld 14132 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
86nn0red 12537 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9 fltltc.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
109nnred 12231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110, 6reexpcld 14132 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
128, 11remulcld 11248 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
137, 12readdcld 11247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
14 fzofi 13943 . . . . . 6 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
1514a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
162adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
17 elfzonn0 13681 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1817adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1916, 18reexpcld 14132 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2010adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21 fzonnsub 13661 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2221adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
23 nnm1nn0 12517 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2520, 24reexpcld 14132 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2619, 25remulcld 11248 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
2715, 26fsumrecl 15684 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
28 fltltc.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
29 fltltc.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
3028, 9, 1, 3, 29fltltc 41705 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ถ)
31 difrp 13016 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
3210, 2, 31syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+)
34 fzofi 13943 . . . . . . . . . 10 (0..^(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0..^(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
362adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
37 elfzonn0 13681 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3837adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3936, 38reexpcld 14132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
4010adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
41 fzonnsub 13661 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4241nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4440, 43reexpcld 14132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4539, 44remulcld 11248 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„)
4635, 45fsumrecl 15684 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„)
47 fzofi 13943 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ Fin
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
4910adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
50 elfzonn0 13681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5249, 51reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
53 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))
54 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„•0
55 elfzoext 13693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0..^(((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)))
5653, 54, 55sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0..^(((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)))
57 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
583, 4, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5958nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
60 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6159, 60subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
6261, 60npcand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
6362oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (0..^(((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)) = (0..^(๐‘ โˆ’ 1)))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (0..^(((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)) = (0..^(๐‘ โˆ’ 1)))
6556, 64eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1)))
6665, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
6749, 66reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
6852, 67remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„)
6948, 68fsumrecl 15684 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„)
70 sub1m1 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 2))
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 2))
72 uz3m2nn 12879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (๐‘ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•)
7471, 73eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7574nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7610, 75reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
7776, 10remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
7869, 77readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
792adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8079, 51reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
8180, 67remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„)
8248, 81fsumrecl 15684 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„)
832, 75reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
8483, 10remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
8582, 84readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
869nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87 uzuzle23 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
883, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
89 uz2m1nn 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
91 expm1t 14060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
9286, 90, 91syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
9392eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
9493oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) = ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9561, 60subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
9686, 6expcld 14115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9795, 96adddirp1d 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9862oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9994, 97, 983eqtr2rd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
10012, 99eqled 11321 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
10137nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
10361adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
104102, 103pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ + ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)) = (๐‘ โˆ’ 1))
105104oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
106105sumeq2dv 15653 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))(๐ตโ†‘(๐‘˜ + ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))(๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
10786adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108107, 66, 51expaddd 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
109108sumeq2dv 15653 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))(๐ตโ†‘(๐‘˜ + ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
110 fsumconst 15740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ Fin โˆง (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))(๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((โ™ฏโ€˜(0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
11148, 96, 110syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))(๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((โ™ฏโ€˜(0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
112 hashfzo0 14394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))
11375, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))
114113oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
115111, 114eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))(๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
116106, 109, 1153eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = (((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
117116oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) = ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
118100, 117breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
1199nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
120119rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
121120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
12249, 66, 121expge0d 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)))
12310, 2, 30ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
124123adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
125 leexp1a 14144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ถโ†‘๐‘˜))
12649, 79, 51, 121, 124, 125syl32anc 1376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ถโ†‘๐‘˜))
12752, 80, 67, 122, 126lemul1ad 12157 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โ‰ค ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
12848, 68, 81, 127fsumle 15749 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
1291nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
130119, 129, 74, 30ltexp1dd 41516 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) < (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))
13176, 83, 119, 130ltmul1dd 13075 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) < ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
13269, 77, 82, 84, 128, 131leltaddd 11840 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
13312, 78, 85, 118, 132lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
13461, 60nncand 11580 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) = 1)
135134oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) = (๐ตโ†‘1))
13686exp1d 14110 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
137135, 136eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) = ๐ต)
138137oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))) = ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
139138oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
140133, 139breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))))))
141 0zd 12574 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
142141peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 + 1) โˆˆ โ„ค)
143 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ โ„‚
144 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„‚
145143, 144, 144addassi 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 + 1) + 1) = (0 + (1 + 1))
146144, 144addcli 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) โˆˆ โ„‚
147146addlidi 11406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (1 + 1)) = (1 + 1)
148 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
149145, 147, 1483eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 + 1) + 1) = 2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((0 + 1) + 1) = 2)
151150fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((0 + 1) + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
15288, 151eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((0 + 1) + 1)))
153 eluzp1m1 12852 . . . . . . . . . . . 12 (((0 + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((0 + 1) + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1)))
154142, 152, 153syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1)))
155 eluzp1m1 12852 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
156141, 154, 155syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
1571nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
158157adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
159158, 38expcld 14115 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
16086adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
161160, 43expcld 14115 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
162159, 161mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
163 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) = (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))
164 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))
165164oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))))
166163, 165oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))))
1676nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
168156, 162, 166, 167fzosumm1 41374 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))))))
169140, 168breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
17012, 46, 7, 169ltadd2dd 11377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)))))
17135, 162fsumcl 15683 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
172157, 6expcld 14115 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
173171, 172addcomd 11420 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)))))
174170, 173breqtrrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
17559adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
176101adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
177 1cnd 11213 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
178175, 176, 177sub32d 11607 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))
179178oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜)))
180179oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
181180sumeq2dv 15653 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))))
18259, 59, 60nnncand 11608 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ ๐‘))
18359subidd 11563 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0)
184182, 183eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = 0)
185184oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘0))
18686exp0d 14109 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
187185, 186eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)) = 1)
188187oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 1))
1897recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
190189mulridd 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 1) = (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
191188, 190eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))) = (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
192181, 191oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))) + (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
193174, 192breqtrrd 5175 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))))
194 elnn0uz 12871 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
1956, 194sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
196157adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
197196, 18expcld 14115 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19886adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
199198, 24expcld 14115 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
200197, 199mulcld 11238 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
201 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘˜) = (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
202 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))
203202oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
204203oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
205201, 204oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
20658nn0zd 12588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
207195, 200, 205, 206fzosumm1 41374 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^(๐‘ โˆ’ 1))((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))))
208193, 207breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
20913, 27, 33, 208ltmul2dd 13076 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
210 pwdif 15818 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
21158, 157, 86, 210syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ถโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
212209, 211breqtrrd 5175 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < ((๐ถโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)))
21328nncnd 12232 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
214213, 58expcld 14115 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
21586, 58expcld 14115 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
216214, 215, 29mvlraddd 11628 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = ((๐ถโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)))
217212, 216breqtrrd 5175 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  ..^cfzo 13631  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  fltnlta  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator