fltnltalem - Mathbox for Steven Nguyen

	Mathbox for Steven Nguyen		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fltnltalem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fltnltalem 42901

Description: Lemma for fltnlta 42902. A lower bound for 𝐴 based on pwdif 15791. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

**Assertion**
Ref	Expression
fltnltalem	⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem fltnltalem Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fltltc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
4		eluz3nn 12802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
7	2, 6	reexpcld 14086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
8	6	nn0red 12463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9		fltltc.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10, 6	reexpcld 14086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
13	7, 12	readdcld 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
14		fzofi 13897	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
16	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		elfzonn0 13623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
19	16, 18	reexpcld 14086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℝ)
20	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		fzonnsub 13600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
23		nnm1nn0 12442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
25	20, 24	reexpcld 14086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
26	19, 25	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
27	15, 26	fsumrecl 15657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
28		fltltc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
29		fltltc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
30	28, 9, 1, 3, 29	fltltc 42900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
31		difrp 12945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
32	10, 2, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
33	30, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺)
34		fzofi 13897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
36	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
37		elfzonn0 13623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℝ)
40	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
41		fzonnsub 13600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
44	40, 43	reexpcld 14086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
45	39, 44	remulcld 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
46	35, 45	fsumrecl 15657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
47		fzofi 13897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin)
49	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
50		elfzonn0 13623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
52	49, 51	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)))
54		1nn0 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
55		elfzoext 13638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∧ 1 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
57		nnnn0 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
58	3, 4, 57	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
59	58	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
60		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
61	59, 60	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
62	61, 60	npcand 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) − 1) + 1) = (𝑁 − 1))
63	62	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
65	56, 64	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
66	65, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
67	49, 66	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
68	52, 67	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
69	48, 68	fsumrecl 15657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
70		sub1m1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
71	59, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
72		uz3m2nn 12807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
73	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
74	71, 73	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ)
75	74	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
76	10, 75	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
77	76, 10	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
78	69, 77	readdcld 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
79	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
80	79, 51	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℝ)
81	80, 67	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
82	48, 81	fsumrecl 15657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
83	2, 75	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
84	83, 10	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
85	82, 84	readdcld 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
86	9	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
87		uzuzle23 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
88	3, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
89		uz2m1nn 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
91		expm1t 14013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
92	86, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
93	92	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
94	93	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
95	61, 60	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℂ)
96	86, 6	expcld 14069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
97	95, 96	adddirp1d 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
98	62	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
99	94, 97, 98	3eqtr2rd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
100	12, 99	eqled 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
101	37	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
102	65, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104	102, 103	pncan3d 11495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝑁 − 1))
105	104	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
106	105	sumeq2dv 15625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)))
107	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
108	107, 66, 51	expaddd 14071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
109	108	sumeq2dv 15625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
110		fsumconst 15713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
111	48, 96, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
112		hashfzo0 14353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
113	75, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
114	113	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
115	111, 114	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
116	106, 109, 115	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
117	116	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
118	100, 117	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
119	9	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpge0d 12953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ 𝐵)
122	49, 66, 121	expge0d 14087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
123	10, 2, 30	ltled 11281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
125		leexp1a 14098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝐵↑𝑘) ≤ (𝐶↑𝑘))
126	49, 79, 51, 121, 124, 125	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑𝑘) ≤ (𝐶↑𝑘))
127	52, 80, 67, 122, 126	lemul1ad 12081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
128	48, 68, 81, 127	fsumle 15722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
129	1	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
130	119, 129, 74, 30	ltexp1dd 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) < (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
131	76, 83, 119, 130	ltmul1dd 13004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) < ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
132	69, 77, 82, 84, 128, 131	leltaddd 11759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
133	12, 78, 85, 118, 132	lelttrd 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
134	61, 60	nncand 11497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)) = 1)
135	134	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = (𝐵↑1))
136	86	exp1d 14064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑1) = 𝐵)
137	135, 136	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = 𝐵)
138	137	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
139	138	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
140	133, 139	breqtrrd 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
141		0zd 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142	141	peano2zd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
143		0cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
144		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
145	143, 144, 144	addassi 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 + 1) + 1) = (0 + (1 + 1))
146	144, 144	addcli 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
147	146	addlidi 11321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + (1 + 1)) = (1 + 1)
148		1p1e2 12265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
149	145, 147, 148	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 + 1) + 1) = 2
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) + 1) = 2)
151	150	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘((0 + 1) + 1)) = (ℤ_≥‘2))
152	88, 151	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((0 + 1) + 1)))
153		eluzp1m1 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((0 + 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
154	142, 152, 153	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
155		eluzp1m1 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
156	141, 154, 155	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
157	1	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159	158, 38	expcld 14069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℂ)
160	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
161	160, 43	expcld 14069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
162	159, 161	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
163		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐶↑𝑘) = (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
164		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))
165	164	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))
166	163, 165	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))))
167	6	nn0zd 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
168	156, 162, 166, 167	fzosumm1 42501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
169	140, 168	breqtrrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
170	12, 46, 7, 169	ltadd2dd 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
171	35, 162	fsumcl 15656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
172	157, 6	expcld 14069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173	171, 172	addcomd 11335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
174	170, 173	breqtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
175	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
176	101	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
177		1cnd 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
178	175, 176, 177	sub32d 11524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
179	178	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
180	179	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
181	180	sumeq2dv 15625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
182	59, 59, 60	nnncand 11525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = (𝑁 − 𝑁))
183	59	subidd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
184	182, 183	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
185	184	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
186	86	exp0d 14063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
187	185, 186	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
188	187	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1))
189	7	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
190	189	mulridd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
191	188, 190	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
192	181, 191	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
193	174, 192	breqtrrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
194		elnn0uz 12792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
195	6, 194	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
196	157	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
197	196, 18	expcld 14069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℂ)
198	86	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
199	198, 24	expcld 14069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
200	197, 199	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
201		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐶↑𝑘) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
202		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
203	202	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
204	203	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
205	201, 204	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
206	58	nn0zd 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
207	195, 200, 205, 206	fzosumm1 42501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
208	193, 207	breqtrrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))
209	13, 27, 33, 208	ltmul2dd 13005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
210		pwdif 15791	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐶 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
211	58, 157, 86, 210	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐶 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
212	209, 211	breqtrrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)))
213	28	nncnd 12161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
214	213, 58	expcld 14069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
215	86, 58	expcld 14069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
216	214, 215, 29	mvlraddd 11547	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)))
217	212, 216	breqtrrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 Fincfn 8883 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 ℕcn 12145 2c2 12200 3c3 12201 ℕ₀cn0 12401 ℤcz 12488 ℤ_≥cuz 12751 ℝ⁺crp 12905 ..^cfzo 13570 ↑cexp 13984 ♯chash 14253 Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-oi 9415 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-ico 13267 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-seq 13925 df-exp 13985 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-clim 15411 df-sum 15610

This theorem is referenced by: fltnlta 42902

W3C validator