fltnltalem - Mathbox for Steven Nguyen

	Mathbox for Steven Nguyen		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fltnltalem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fltnltalem 43627

Description: Lemma for fltnlta 43628. A lower bound for 𝐴 based on pwdif 16017. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

**Assertion**
Ref	Expression
fltnltalem	⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem fltnltalem Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fltltc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
4		eluz3nn 12997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
7	2, 6	reexpcld 14286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
8	6	nn0red 12649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9		fltltc.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10, 6	reexpcld 14286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
13	7, 12	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
14		fzofi 14097	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
16	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		elfzonn0 13822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
19	16, 18	reexpcld 14286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℝ)
20	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		fzonnsub 13799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
23		nnm1nn0 12628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
25	20, 24	reexpcld 14286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
26	19, 25	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
27	15, 26	fsumrecl 15880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈ ℝ)
28		fltltc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
29		fltltc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
30	28, 9, 1, 3, 29	fltltc 43626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
31		difrp 13141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
32	10, 2, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
33	30, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺)
34		fzofi 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
36	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
37		elfzonn0 13822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℝ)
40	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
41		fzonnsub 13799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 12648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
44	40, 43	reexpcld 14286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
45	39, 44	remulcld 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
46	35, 45	fsumrecl 15880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
47		fzofi 14097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin)
49	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
50		elfzonn0 13822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
52	49, 51	reexpcld 14286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)))
54		1nn0 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
55		elfzoext 13837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∧ 1 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
56	53, 54, 55	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)))
57		nnnn0 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
58	3, 4, 57	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
59	58	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
60		1cnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
61	59, 60	subcld 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
62	61, 60	npcand 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) − 1) + 1) = (𝑁 − 1))
63	62	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (0..^(((𝑁 − 1) − 1) + 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
65	56, 64	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
66	65, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
67	49, 66	reexpcld 14286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℝ)
68	52, 67	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
69	48, 68	fsumrecl 15880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
70		sub1m1 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
71	59, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
72		uz3m2nn 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
73	3, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
74	71, 73	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ)
75	74	nnnn0d 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
76	10, 75	reexpcld 14286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
77	76, 10	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
78	69, 77	readdcld 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
79	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
80	79, 51	reexpcld 14286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℝ)
81	80, 67	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
82	48, 81	fsumrecl 15880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℝ)
83	2, 75	reexpcld 14286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) ∈ ℝ)
84	83, 10	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) ∈ ℝ)
85	82, 84	readdcld 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) ∈ ℝ)
86	9	nncnd 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
87		uzuzle23 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
88	3, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
89		uz2m1nn 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
90	88, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
91		expm1t 14213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
92	86, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
93	92	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
94	93	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
95	61, 60	subcld 11650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℂ)
96	86, 6	expcld 14269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
97	95, 96	adddirp1d 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + (𝐵↑(𝑁 − 1))))
98	62	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) − 1) + 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
99	94, 97, 98	3eqtr2rd 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
100	12, 99	eqled 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
101	37	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
102	65, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104	102, 103	pncan3d 11653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝑁 − 1))
105	104	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
106	105	sumeq2dv 15849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)))
107	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
108	107, 66, 51	expaddd 14271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
109	108	sumeq2dv 15849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑘 + ((𝑁 − 1) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
110		fsumconst 15936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0..^((𝑁 − 1) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
111	48, 96, 110	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
112		hashfzo0 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
113	75, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) = ((𝑁 − 1) − 1))
114	113	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^((𝑁 − 1) − 1))) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
115	111, 114	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))(𝐵↑(𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
116	106, 109, 115	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
117	116	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) = ((((𝑁 − 1) − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
118	100, 117	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
119	9	nnrpd 13143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpge0d 13149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
121	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ 𝐵)
122	49, 66, 121	expge0d 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 0 ≤ (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
123	10, 2, 30	ltled 11439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
124	123	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
125		leexp1a 14298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝐵↑𝑘) ≤ (𝐶↑𝑘))
126	49, 79, 51, 121, 124, 125	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑𝑘) ≤ (𝐶↑𝑘))
127	52, 80, 67, 122, 126	lemul1ad 12237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
128	48, 68, 81, 127	fsumle 15946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
129	1	nnrpd 13143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
130	119, 129, 74, 30	ltexp1dd 14384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) < (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
131	76, 83, 119, 130	ltmul1dd 13200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵) < ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
132	69, 77, 82, 84, 128, 131	leltaddd 11919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐵↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐵↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
133	12, 78, 85, 118, 132	lelttrd 11449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
134	61, 60	nncand 11655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)) = 1)
135	134	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = (𝐵↑1))
136	86	exp1d 14264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑1) = 𝐵)
137	135, 136	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))) = 𝐵)
138	137	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵))
139	138	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · 𝐵)))
140	133, 139	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
141		0zd 12686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142	141	peano2zd 12787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
143		0cn 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
144		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
145	143, 144, 144	addassi 11300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 + 1) + 1) = (0 + (1 + 1))
146	144, 144	addcli 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
147	146	addlidi 11479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + (1 + 1)) = (1 + 1)
148		1p1e2 12447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
149	145, 147, 148	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 + 1) + 1) = 2
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) + 1) = 2)
151	150	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘((0 + 1) + 1)) = (ℤ_≥‘2))
152	88, 151	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((0 + 1) + 1)))
153		eluzp1m1 12972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((0 + 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
154	142, 152, 153	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
155		eluzp1m1 12972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
156	141, 154, 155	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
157	1	nncnd 12332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159	158, 38	expcld 14269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℂ)
160	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
161	160, 43	expcld 14269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
162	159, 161	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
163		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐶↑𝑘) = (𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)))
164		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))
165	164	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))
166	163, 165	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 − 1) − 1) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1)))))
167	6	nn0zd 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
168	156, 162, 166, 167	fzosumm1 43269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^((𝑁 − 1) − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + ((𝐶↑((𝑁 − 1) − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − ((𝑁 − 1) − 1))))))
169	140, 168	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) < Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
170	12, 46, 7, 169	ltadd2dd 11450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
171	35, 162	fsumcl 15879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) ∈ ℂ)
172	157, 6	expcld 14269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173	171, 172	addcomd 11493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))))
174	170, 173	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
175	59	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
176	101	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
177		1cnd 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
178	175, 176, 177	sub32d 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
179	178	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘)))
180	179	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
181	180	sumeq2dv 15849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))))
182	59, 59, 60	nnncand 11683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = (𝑁 − 𝑁))
183	59	subidd 11638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
184	182, 183	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
185	184	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
186	86	exp0d 14263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
187	185, 186	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
188	187	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1))
189	7	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
190	189	mulridd 11307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · 1) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
191	188, 190	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
192	181, 191	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 1) − 𝑘))) + (𝐶↑(𝑁 − 1))))
193	174, 192	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
194		elnn0uz 12987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
195	6, 194	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
196	157	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
197	196, 18	expcld 14269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶↑𝑘) ∈ ℂ)
198	86	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
199	198, 24	expcld 14269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
200	197, 199	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
201		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐶↑𝑘) = (𝐶↑(𝑁 − 1)))
202		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
203	202	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
204	203	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
205	201, 204	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
206	58	nn0zd 12699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
207	195, 200, 205, 206	fzosumm1 43269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐶↑(𝑁 − 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
208	193, 207	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))
209	13, 27, 33, 208	ltmul2dd 13201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
210		pwdif 16017	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐶 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
211	58, 157, 86, 210	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐶 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐶↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
212	209, 211	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)))
213	28	nncnd 12332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
214	213, 58	expcld 14269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
215	86, 58	expcld 14269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
216	214, 215, 29	mvlraddd 11705	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)))
217	212, 216	breqtrrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 class class class wbr 5103 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 Fincfn 8957 ℂcc 11179 ℝcr 11180 0cc0 11181 1c1 11182 + caddc 11184 · cmul 11186 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11522 ℕcn 12316 2c2 12378 3c3 12379 ℕ₀cn0 12587 ℤcz 12674 ℤ_≥cuz 12946 ℝ⁺crp 13101 ..^cfzo 13768 ↑cexp 14184 ♯chash 14454 Σcsu 15833

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-inf2 9626 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258 ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8460 df-er 8701 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9418 df-oi 9488 df-card 10001 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-n0 12588 df-z 12675 df-uz 12947 df-rp 13102 df-ico 13463 df-fz 13621 df-fzo 13769 df-seq 14125 df-exp 14185 df-hash 14455 df-cj 15246 df-re 15247 df-im 15248 df-sqrt 15382 df-abs 15383 df-clim 15635 df-sum 15834

This theorem is used by: fltnlta 43628

W3C validator