chpdifbndlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem chpdifbndlem1 26137

Description: Lemma for chpdifbnd 26139. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
chpdifbnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
chpdifbnd.1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
chpdifbnd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
chpdifbnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1(,)+∞))
chpdifbnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)))

**Assertion**
Ref	Expression
chpdifbndlem1	⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))))

Distinct variable groups: 𝑧,𝑚,𝐶 𝑧,𝑋 𝑧,𝑌 𝑧,𝐵 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧,𝑚) 𝐴(𝑧,𝑚) 𝐵(𝑚) 𝑋(𝑚) 𝑌(𝑚)

Proof of Theorem chpdifbndlem1 Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdifbnd.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)))
2		ioossre 12786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
3		chpdifbnd.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1(,)+∞))
4	2, 3	sseldi 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		chpdifbnd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
6	5	rpred 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6, 4	remulcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
8		elicc2 12790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))))
9	4, 7, 8	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))))
10	1, 9	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋)))
11	10	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
12		chpcl 25709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (ψ‘𝑌) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑌) ∈ ℝ)
14		chpcl 25709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (ψ‘𝑋) ∈ ℝ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑋) ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ∈ ℝ)
17		0red 10633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18		1re 10630	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20		0lt1 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
22		eliooord 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑋 ∧ 𝑋 < +∞))
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑋 ∧ 𝑋 < +∞))
24	23	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
25	17, 19, 4, 21, 24	lttrd 10790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
26	4, 25	elrpd 12416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
27	26	relogcld 25214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
28	16, 27	remulcld 10660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
29		2re 11699	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	11, 4	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
31		remulcl 10611	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) → (2 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
33	32, 27	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
34		chpdifbnd.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 12419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	11, 4	readdcld 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ ℝ)
37	35, 36	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ∈ ℝ)
38	5	relogcld 25214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
39		remulcl 10611	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	29, 38, 39	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
41	40, 11	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ∈ ℝ)
42	37, 41	readdcld 10659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
43	33, 42	readdcld 10659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) ∈ ℝ)
44		chpdifbnd.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
45		peano2re 10802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
46	6, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
47	35, 46	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
48		remulcl 10611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
49	29, 6, 48	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
50	49, 38	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	47, 50	readdcld 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	44, 51	eqeltrid 2894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
53	52, 4	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℝ)
54	33, 53	readdcld 10659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)) ∈ ℝ)
55	13, 27	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
56		fzfid 13336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
57	10	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
58		flword2 13178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑋)))
59	4, 11, 57, 58	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑋)))
60		fzss2 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑋)) → (1...(⌊‘𝑋)) ⊆ (1...(⌊‘𝑌)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝑋)) ⊆ (1...(⌊‘𝑌)))
62	61	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌)))
63		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ)
64	63	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ)
65		vmacl 25703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
67		nndivre 11666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ)
68	4, 63, 67	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ)
69		chpcl 25709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ∈ ℝ)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ∈ ℝ)
71	66, 70	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
72	62, 71	syldan 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
73	56, 72	fsumrecl 15083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
74	55, 73	readdcld 10659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
75		remulcl 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑋) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
76	29, 27, 75	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
77	76, 35	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ∈ ℝ)
78	77, 4	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ∈ ℝ)
79	5, 26	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ⁺)
80	79	relogcld 25214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ)
81		remulcl 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ) → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) ∈ ℝ)
82	29, 80, 81	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) ∈ ℝ)
83	35, 82	readdcld 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
84	83, 11	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) ∈ ℝ)
85	15, 27	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
86	85, 73	readdcld 10659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
87	17, 4, 11, 25, 57	ltletrd 10789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
88	11, 87	elrpd 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
89	88	relogcld 25214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
90	13, 89	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
91		fzfid 13336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
92		nndivre 11666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ)
93	11, 63, 92	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ)
94		chpcl 25709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑌 / 𝑛)) ∈ ℝ)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑌 / 𝑛)) ∈ ℝ)
96	66, 95	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))) ∈ ℝ)
97	91, 96	fsumrecl 15083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))) ∈ ℝ)
98	90, 97	readdcld 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
99		chpge0 25711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑌))
100	11, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ψ‘𝑌))
101	26, 88	logled 25218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (log‘𝑋) ≤ (log‘𝑌)))
102	57, 101	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ≤ (log‘𝑌))
103	27, 89, 13, 100, 102	lemul2ad 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ≤ ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)))
104	91, 71	fsumrecl 15083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
105		vmage0 25706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
106	64, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
107		chpge0 25711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
108	68, 107	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
109	66, 70, 106, 108	mulge0d 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
110	91, 71, 109, 61	fsumless 15143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
111	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑋 ∈ ℝ)
112	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
113	64	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
114	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑋 ≤ 𝑌)
115	111, 112, 113, 114	lediv1dd 12477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑋 / 𝑛) ≤ (𝑌 / 𝑛))
116		chpwordi 25742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑋 / 𝑛) ≤ (𝑌 / 𝑛)) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ≤ (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
117	68, 93, 115, 116	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ≤ (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
118	70, 95, 66, 106, 117	lemul2ad 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
119	91, 71, 96, 118	fsumle 15146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
120	73, 104, 97, 110, 119	letrd 10786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
121	55, 73, 90, 97, 103, 120	le2addd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))))
122	98, 88	rerpdivcld 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ∈ ℝ)
123		remulcl 10611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
124	29, 89, 123	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
125	35, 124	readdcld 10659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℝ)
126	122, 124	resubcld 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℂ)
128	127	abscld 14788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ∈ ℝ)
129	126	leabsd 14766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))))
130		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (ψ‘𝑧) = (ψ‘𝑌))
131		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (log‘𝑧) = (log‘𝑌))
132	130, 131	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) = ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)))
133		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Λ‘𝑚) = (Λ‘𝑛))
134		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑚) = (𝑧 / 𝑛))
135	134	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ψ‘(𝑧 / 𝑚)) = (ψ‘(𝑧 / 𝑛)))
136	133, 135	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))))
137	136	cbvsumv 15045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛)))
138		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (⌊‘𝑧) = (⌊‘𝑌))
139	138	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (1...(⌊‘𝑧)) = (1...(⌊‘𝑌)))
140		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑧 = 𝑌)
141	140	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑧 / 𝑛)) = (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
142	141	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
143	139, 142	sumeq12rdv 15056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
144	137, 143	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
145	132, 144	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))))
146		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → 𝑧 = 𝑌)
147	145, 146	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) = ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌))
148	131	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2 · (log‘𝑧)) = (2 · (log‘𝑌)))
149	147, 148	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧))) = (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))))
150	149	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) = (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))))
151	150	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵 ↔ (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ≤ 𝐵))
152		chpdifbnd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
153	19, 4, 24	ltled 10777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
154	19, 4, 11, 153, 57	letrd 10786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
155		elicopnf 12823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑌 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌)))
156	18, 155	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌))
157	11, 154, 156	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1[,)+∞))
158	151, 152, 157	rspcdva 3573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ≤ 𝐵)
159	126, 128, 35, 129, 158	letrd 10786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ 𝐵)
160	122, 124, 35	lesubaddd 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ 𝐵 ↔ ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘𝑌)))))
161	159, 160	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))))
162	10	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))
163	88, 79	logled 25218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋) ↔ (log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋))))
164	162, 163	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)))
165		2pos 11728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
166	29, 165	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
168		lemul2 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ↔ (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
169	89, 80, 167, 168	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ↔ (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
170	164, 169	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))))
171	124, 82, 35, 170	leadd2dd 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
172	122, 125, 83, 161, 171	letrd 10786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
173	98, 83, 88	ledivmul2d 12473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) ↔ (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌)))
174	172, 173	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌))
175	74, 98, 84, 121, 174	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌))
176		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (ψ‘𝑧) = (ψ‘𝑋))
177		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (log‘𝑧) = (log‘𝑋))
178	176, 177	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) = ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)))
179		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (⌊‘𝑧) = (⌊‘𝑋))
180	179	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (1...(⌊‘𝑧)) = (1...(⌊‘𝑋)))
181		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑧 = 𝑋)
182	181	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (ψ‘(𝑧 / 𝑛)) = (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
183	182	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
184	180, 183	sumeq12rdv 15056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
185	137, 184	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
186	178, 185	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) = (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))))
187		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → 𝑧 = 𝑋)
188	186, 187	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) = ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋))
189	177	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (2 · (log‘𝑧)) = (2 · (log‘𝑋)))
190	188, 189	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧))) = (((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋))))
191	190	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) = (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))))
192	191	breq1d 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵 ↔ (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵))
193		elicopnf 12823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋)))
194	18, 193	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
195	4, 153, 194	sylanbrc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1[,)+∞))
196	192, 152, 195	rspcdva 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵)
197	86, 26	rerpdivcld 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∈ ℝ)
198	197, 76, 35	absdifled 14786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵 ↔ (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∧ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ≤ ((2 · (log‘𝑋)) + 𝐵))))
199	196, 198	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∧ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ≤ ((2 · (log‘𝑋)) + 𝐵)))
200	199	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋))
201	77, 86, 26	lemuldivd 12468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ≤ (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ↔ ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋)))
202	200, 201	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ≤ (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))))
203	74, 78, 84, 86, 175, 202	le2subd 11249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) ≤ (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)))
204	55	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
205	85	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
206	73	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℂ)
207	204, 205, 206	pnpcan2d 11024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) − ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋))))
208	13	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑌) ∈ ℂ)
209	15	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑋) ∈ ℂ)
210	27	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
211	208, 209, 210	subdird 11086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) − ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋))))
212	207, 211	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) = (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)))
213	76, 11	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) ∈ ℝ)
214	213	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) ∈ ℂ)
215	35, 40	readdcld 10659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
216	215, 11	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) ∈ ℝ)
217	216	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) ∈ ℂ)
218	76, 4	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) ∈ ℝ)
219	218	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) ∈ ℂ)
220	35, 4	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
221	220	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
222	221	negcld 10973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
223	214, 217, 219, 222	addsub4d 11033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)) − (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋))) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)) + (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋))))
224	38	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
225	5, 26	relogmuld 25216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝑋)))
226	224, 210, 225	comraddd 10843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝐴)))
227	226	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) = (2 · ((log‘𝑋) + (log‘𝐴))))
228		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
229	228, 210, 224	adddid 10654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((log‘𝑋) + (log‘𝐴))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴))))
230	227, 229	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴))))
231	230	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) = (𝐵 + ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴)))))
232	35	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
233	76	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
234	40	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
235	232, 233, 234	add12d 10855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴)))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))))
236	231, 235	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))))
237	236	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))) · 𝑌))
238	215	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) ∈ ℂ)
239	11	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
240	233, 238, 239	adddird 10655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)))
241	237, 240	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)))
242	4	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
243	233, 232, 242	subdird 11086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
244	219, 221	negsubd 10992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
245	243, 244	eqtr4d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋)))
246	241, 245	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)) − (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋))))
247	30	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
248	228, 247, 210	mul32d 10839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) = ((2 · (log‘𝑋)) · (𝑌 − 𝑋)))
249	233, 239, 242	subdid 11085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · (𝑌 − 𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)))
250	248, 249	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)))
251	35, 11	remulcld 10660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
252	251	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
253	41	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ∈ ℂ)
254	252, 221, 253	add32d 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑋)))
255	232, 239, 242	adddid 10654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
256	255	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)))
257	232, 234, 239	adddird 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)))
258	257	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑋)))
259	254, 256, 258	3eqtr4d 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
260	217, 221	subnegd 10993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
261	259, 260	eqtr4d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋)))
262	250, 261	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)) + (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋))))
263	223, 246, 262	3eqtr4d 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))))
264	203, 212, 263	3brtr3d 5061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))))
265	47, 4	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) ∈ ℝ)
266	50, 4	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) ∈ ℝ)
267	11, 7, 4, 162	leadd1dd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
268	6	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
269	268, 242	adddirp1d 10656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
270	267, 269	breqtrrd 5058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 + 1) · 𝑋))
271	46, 4	remulcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) ∈ ℝ)
272	36, 271, 34	lemul2d 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 + 1) · 𝑋) ↔ (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋))))
273	270, 272	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋)))
274	46	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
275	232, 274, 242	mulassd 10653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) = (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋)))
276	273, 275	breqtrrd 5058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋))
277	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
278		0le2 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
280		log1 25177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘1) = 0
281		chpdifbnd.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
282		1rp 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
283		logleb 25194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
284	282, 5, 283	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
285	281, 284	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
286	280, 285	eqbrtrrid 5066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
287	277, 38, 279, 286	mulge0d 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · (log‘𝐴)))
288	11, 7, 40, 287, 162	lemul2ad 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ≤ ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
289	49	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
290	289, 224, 242	mulassd 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) = ((2 · 𝐴) · ((log‘𝐴) · 𝑋)))
291	228, 268, 224, 242	mul4d 10841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · ((log‘𝐴) · 𝑋)) = ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
292	290, 291	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) = ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
293	288, 292	breqtrrd 5058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ≤ (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋))
294	37, 41, 265, 266, 276, 293	le2addd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
295	44	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) · 𝑋)
296	47	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
297	50	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
298	296, 297, 242	adddird 10655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
299	295, 298	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
300	294, 299	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ≤ (𝐶 · 𝑋))
301	42, 53, 33, 300	leadd2dd 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
302	28, 43, 54, 264, 301	letrd 10786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
303	32	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
304	4, 24	rplogcld 25220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ⁺)
305	4, 304	rerpdivcld 12450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
306	52, 305	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) ∈ ℝ)
307	306	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) ∈ ℂ)
308	303, 307, 210	adddird 10655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋))))
309	52	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
310	305	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
311	309, 310, 210	mulassd 10653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋)) = (𝐶 · ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋))))
312	304	rpne0d 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ≠ 0)
313	242, 210, 312	divcan1d 11406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋)) = 𝑋)
314	313	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋))) = (𝐶 · 𝑋))
315	311, 314	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋)) = (𝐶 · 𝑋))
316	315	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋))) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
317	308, 316	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
318	302, 317	breqtrrd 5058	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)))
319	32, 306	readdcld 10659	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) ∈ ℝ)
320	16, 319, 304	lemul1d 12462	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) ↔ (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋))))
321	318, 320	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ∀wral 3106 ⊆ wss 3881 class class class wbr 5030 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 +∞cpnf 10661 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 -cneg 10860 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℤ_≥cuz 12231 ℝ⁺crp 12377 (,)cioo 12726 [,)cico 12728 [,]cicc 12729 ...cfz 12885 ⌊cfl 13155 abscabs 14585 Σcsu 15034 logclog 25146 Λcvma 25677 ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-iin 4884 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-of 7389 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-supp 7814 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-ixp 8445 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fsupp 8818 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-dju 9314 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-ioo 12730 df-ioc 12731 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-fac 13630 df-bc 13659 df-hash 13687 df-shft 14418 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-ef 15413 df-sin 15415 df-cos 15416 df-pi 15418 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-prm 16006 df-pc 16164 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-ress 16483 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-sca 16573 df-vsca 16574 df-ip 16575 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-hom 16581 df-cco 16582 df-rest 16688 df-topn 16689 df-0g 16707 df-gsum 16708 df-topgen 16709 df-pt 16710 df-prds 16713 df-xrs 16767 df-qtop 16772 df-imas 16773 df-xps 16775 df-mre 16849 df-mrc 16850 df-acs 16852 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-submnd 17949 df-mulg 18217 df-cntz 18439 df-cmn 18900 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-fbas 20088 df-fg 20089 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cld 21624 df-ntr 21625 df-cls 21626 df-nei 21703 df-lp 21741 df-perf 21742 df-cn 21832 df-cnp 21833 df-haus 21920 df-tx 22167 df-hmeo 22360 df-fil 22451 df-fm 22543 df-flim 22544 df-flf 22545 df-xms 22927 df-ms 22928 df-tms 22929 df-cncf 23483 df-limc 24469 df-dv 24470 df-log 25148 df-vma 25683 df-chp 25684

This theorem is referenced by: chpdifbndlem2 26138

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