chpdifbndlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem chpdifbndlem1 27790

Description: Lemma for chpdifbnd 27792. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
chpdifbnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
chpdifbnd.1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
chpdifbnd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
chpdifbnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1(,)+∞))
chpdifbnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)))

**Assertion**
Ref	Expression
chpdifbndlem1	⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))))

Distinct variable groups: 𝑧,𝑚,𝐶 𝑧,𝑋 𝑧,𝑌 𝑧,𝐵 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧, 𝑚) 𝐴(𝑧, 𝑚) 𝐵(𝑚) 𝑋(𝑚) 𝑌(𝑚)

Proof of Theorem chpdifbndlem1 Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdifbnd.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)))
2		ioossre 13461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
3		chpdifbnd.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1(,)+∞))
4	2, 3	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		chpdifbnd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
6	5	rpred 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6, 4	remulcld 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
8		elicc2 13465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))))
9	4, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))))
10	1, 9	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋)))
11	10	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
12		chpcl 27361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (ψ‘𝑌) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑌) ∈ ℝ)
14		chpcl 27361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (ψ‘𝑋) ∈ ℝ)
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑋) ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ∈ ℝ)
17		0red 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18		1re 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20		0lt1 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
22		eliooord 13459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑋 ∧ 𝑋 < +∞))
23	3, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑋 ∧ 𝑋 < +∞))
24	23	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
25	17, 19, 4, 21, 24	lttrd 11396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
26	4, 25	elrpd 13084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
27	26	relogcld 26861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
28	16, 27	remulcld 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
29		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	11, 4	resubcld 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
31		remulcl 11210	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) → (2 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
33	32, 27	remulcld 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
34		chpdifbnd.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 13087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	11, 4	readdcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ ℝ)
37	35, 36	remulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ∈ ℝ)
38	5	relogcld 26861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
39		remulcl 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	29, 38, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
41	40, 11	remulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ∈ ℝ)
42	37, 41	readdcld 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
43	33, 42	readdcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) ∈ ℝ)
44		chpdifbnd.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
45		peano2re 11408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
46	6, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
47	35, 46	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
48		remulcl 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
49	29, 6, 48	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
50	49, 38	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	47, 50	readdcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	44, 51	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
53	52, 4	remulcld 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℝ)
54	33, 53	readdcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)) ∈ ℝ)
55	13, 27	remulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
56		fzfid 14038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
57	10	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
58		flword2 13875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑋)))
59	4, 11, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑋)))
60		fzss2 13620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑋)) → (1...(⌊‘𝑋)) ⊆ (1...(⌊‘𝑌)))
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝑋)) ⊆ (1...(⌊‘𝑌)))
62	61	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌)))
63		elfznn 13609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ)
64	63	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ)
65		vmacl 27355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
67		nndivre 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ)
68	4, 63, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ)
69		chpcl 27361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ∈ ℝ)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ∈ ℝ)
71	66, 70	remulcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
72	62, 71	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
73	56, 72	fsumrecl 15821	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
74	55, 73	readdcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
75		remulcl 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑋) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
76	29, 27, 75	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
77	76, 35	resubcld 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ∈ ℝ)
78	77, 4	remulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ∈ ℝ)
79	5, 26	rpmulcld 13103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ⁺)
80	79	relogcld 26861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ)
81		remulcl 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ) → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) ∈ ℝ)
82	29, 80, 81	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) ∈ ℝ)
83	35, 82	readdcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
84	83, 11	remulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) ∈ ℝ)
85	15, 27	remulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
86	85, 73	readdcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
87	17, 4, 11, 25, 57	ltletrd 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
88	11, 87	elrpd 13084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
89	88	relogcld 26861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
90	13, 89	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
91		fzfid 14038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
92		nndivre 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ)
93	11, 63, 92	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ)
94		chpcl 27361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑌 / 𝑛)) ∈ ℝ)
95	93, 94	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑌 / 𝑛)) ∈ ℝ)
96	66, 95	remulcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))) ∈ ℝ)
97	91, 96	fsumrecl 15821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))) ∈ ℝ)
98	90, 97	readdcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
99		chpge0 27363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑌))
100	11, 99	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ψ‘𝑌))
101	26, 88	logled 26865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (log‘𝑋) ≤ (log‘𝑌)))
102	57, 101	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ≤ (log‘𝑌))
103	27, 89, 13, 100, 102	lemul2ad 12180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ≤ ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)))
104	91, 71	fsumrecl 15821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
105		vmage0 27358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
106	64, 105	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
107		chpge0 27363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
108	68, 107	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
109	66, 70, 106, 108	mulge0d 11816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
110	91, 71, 109, 61	fsumless 15884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
111	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑋 ∈ ℝ)
112	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
113	64	nnrpd 13085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
114	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑋 ≤ 𝑌)
115	111, 112, 113, 114	lediv1dd 13145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑋 / 𝑛) ≤ (𝑌 / 𝑛))
116		chpwordi 27394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑋 / 𝑛) ≤ (𝑌 / 𝑛)) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ≤ (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
117	68, 93, 115, 116	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ≤ (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
118	70, 95, 66, 106, 117	lemul2ad 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
119	91, 71, 96, 118	fsumle 15887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
120	73, 104, 97, 110, 119	letrd 11392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
121	55, 73, 90, 97, 103, 120	le2addd 11858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))))
122	98, 88	rerpdivcld 13118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ∈ ℝ)
123		remulcl 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
124	29, 89, 123	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
125	35, 124	readdcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℝ)
126	122, 124	resubcld 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℂ)
128	127	abscld 15527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ∈ ℝ)
129	126	leabsd 15503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))))
130		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (ψ‘𝑧) = (ψ‘𝑌))
131		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (log‘𝑧) = (log‘𝑌))
132	130, 131	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) = ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)))
133		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Λ‘𝑚) = (Λ‘𝑛))
134		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑚) = (𝑧 / 𝑛))
135	134	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ψ‘(𝑧 / 𝑚)) = (ψ‘(𝑧 / 𝑛)))
136	133, 135	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))))
137	136	cbvsumv 15784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛)))
138		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (⌊‘𝑧) = (⌊‘𝑌))
139	138	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (1...(⌊‘𝑧)) = (1...(⌊‘𝑌)))
140		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑧 = 𝑌)
141	140	fvoveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑧 / 𝑛)) = (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
142	141	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
143	139, 142	sumeq12rdv 15794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
144	137, 143	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
145	132, 144	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))))
146		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → 𝑧 = 𝑌)
147	145, 146	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) = ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌))
148	131	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2 · (log‘𝑧)) = (2 · (log‘𝑌)))
149	147, 148	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧))) = (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))))
150	149	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) = (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))))
151	150	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵 ↔ (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ≤ 𝐵))
152		chpdifbnd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
153	19, 4, 24	ltled 11383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
154	19, 4, 11, 153, 57	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
155		elicopnf 13499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑌 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌)))
156	18, 155	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌))
157	11, 154, 156	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1[,)+∞))
158	151, 152, 157	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ≤ 𝐵)
159	126, 128, 35, 129, 158	letrd 11392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ 𝐵)
160	122, 124, 35	lesubaddd 11836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ 𝐵 ↔ ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘𝑌)))))
161	159, 160	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))))
162	10	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))
163	88, 79	logled 26865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋) ↔ (log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋))))
164	162, 163	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)))
165		2pos 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
166	29, 165	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
168		lemul2 12093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ↔ (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
169	89, 80, 167, 168	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ↔ (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
170	164, 169	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))))
171	124, 82, 35, 170	leadd2dd 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
172	122, 125, 83, 161, 171	letrd 11392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
173	98, 83, 88	ledivmul2d 13141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) ↔ (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌)))
174	172, 173	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌))
175	74, 98, 84, 121, 174	letrd 11392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌))
176		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (ψ‘𝑧) = (ψ‘𝑋))
177		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (log‘𝑧) = (log‘𝑋))
178	176, 177	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) = ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)))
179		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (⌊‘𝑧) = (⌊‘𝑋))
180	179	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (1...(⌊‘𝑧)) = (1...(⌊‘𝑋)))
181		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑧 = 𝑋)
182	181	fvoveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (ψ‘(𝑧 / 𝑛)) = (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
183	182	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
184	180, 183	sumeq12rdv 15794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
185	137, 184	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
186	178, 185	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) = (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))))
187		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → 𝑧 = 𝑋)
188	186, 187	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) = ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋))
189	177	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (2 · (log‘𝑧)) = (2 · (log‘𝑋)))
190	188, 189	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧))) = (((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋))))
191	190	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) = (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))))
192	191	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵 ↔ (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵))
193		elicopnf 13499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋)))
194	18, 193	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
195	4, 153, 194	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1[,)+∞))
196	192, 152, 195	rspcdva 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵)
197	86, 26	rerpdivcld 13118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∈ ℝ)
198	197, 76, 35	absdifled 15525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵 ↔ (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∧ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ≤ ((2 · (log‘𝑋)) + 𝐵))))
199	196, 198	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∧ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ≤ ((2 · (log‘𝑋)) + 𝐵)))
200	199	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋))
201	77, 86, 26	lemuldivd 13136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ≤ (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ↔ ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋)))
202	200, 201	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ≤ (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))))
203	74, 78, 84, 86, 175, 202	le2subd 11859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) ≤ (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)))
204	55	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
205	85	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
206	73	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℂ)
207	204, 205, 206	pnpcan2d 11632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) − ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋))))
208	13	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑌) ∈ ℂ)
209	15	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑋) ∈ ℂ)
210	27	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
211	208, 209, 210	subdird 11696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) − ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋))))
212	207, 211	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) = (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)))
213	76, 11	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) ∈ ℝ)
214	213	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) ∈ ℂ)
215	35, 40	readdcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
216	215, 11	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) ∈ ℝ)
217	216	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) ∈ ℂ)
218	76, 4	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) ∈ ℝ)
219	218	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) ∈ ℂ)
220	35, 4	remulcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
221	220	recnd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
222	221	negcld 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
223	214, 217, 219, 222	addsub4d 11641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)) − (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋))) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)) + (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋))))
224	38	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
225	5, 26	relogmuld 26863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝑋)))
226	224, 210, 225	comraddd 11449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝐴)))
227	226	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) = (2 · ((log‘𝑋) + (log‘𝐴))))
228		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
229	228, 210, 224	adddid 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((log‘𝑋) + (log‘𝐴))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴))))
230	227, 229	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴))))
231	230	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) = (𝐵 + ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴)))))
232	35	recnd 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
233	76	recnd 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
234	40	recnd 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
235	232, 233, 234	add12d 11462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴)))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))))
236	231, 235	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))))
237	236	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))) · 𝑌))
238	215	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) ∈ ℂ)
239	11	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
240	233, 238, 239	adddird 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)))
241	237, 240	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)))
242	4	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
243	233, 232, 242	subdird 11696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
244	219, 221	negsubd 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
245	243, 244	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋)))
246	241, 245	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)) − (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋))))
247	30	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
248	228, 247, 210	mul32d 11445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) = ((2 · (log‘𝑋)) · (𝑌 − 𝑋)))
249	233, 239, 242	subdid 11695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · (𝑌 − 𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)))
250	248, 249	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)))
251	35, 11	remulcld 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
252	251	recnd 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
253	41	recnd 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ∈ ℂ)
254	252, 221, 253	add32d 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑋)))
255	232, 239, 242	adddid 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
256	255	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)))
257	232, 234, 239	adddird 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)))
258	257	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑋)))
259	254, 256, 258	3eqtr4d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
260	217, 221	subnegd 11601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
261	259, 260	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋)))
262	250, 261	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)) + (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋))))
263	223, 246, 262	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))))
264	203, 212, 263	3brtr3d 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))))
265	47, 4	remulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) ∈ ℝ)
266	50, 4	remulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) ∈ ℝ)
267	11, 7, 4, 162	leadd1dd 11853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
268	6	recnd 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
269	268, 242	adddirp1d 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
270	267, 269	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 + 1) · 𝑋))
271	46, 4	remulcld 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) ∈ ℝ)
272	36, 271, 34	lemul2d 13131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 + 1) · 𝑋) ↔ (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋))))
273	270, 272	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋)))
274	46	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
275	232, 274, 242	mulassd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) = (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋)))
276	273, 275	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋))
277	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
278		0le2 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
280		log1 26823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘1) = 0
281		chpdifbnd.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
282		1rp 13047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
283		logleb 26841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
284	282, 5, 283	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
285	281, 284	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
286	280, 285	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
287	277, 38, 279, 286	mulge0d 11816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · (log‘𝐴)))
288	11, 7, 40, 287, 162	lemul2ad 12180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ≤ ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
289	49	recnd 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
290	289, 224, 242	mulassd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) = ((2 · 𝐴) · ((log‘𝐴) · 𝑋)))
291	228, 268, 224, 242	mul4d 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · ((log‘𝐴) · 𝑋)) = ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
292	290, 291	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) = ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
293	288, 292	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ≤ (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋))
294	37, 41, 265, 266, 276, 293	le2addd 11858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
295	44	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) · 𝑋)
296	47	recnd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
297	50	recnd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
298	296, 297, 242	adddird 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
299	295, 298	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
300	294, 299	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ≤ (𝐶 · 𝑋))
301	42, 53, 33, 300	leadd2dd 11854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
302	28, 43, 54, 264, 301	letrd 11392	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
303	32	recnd 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
304	4, 24	rplogcld 26867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ⁺)
305	4, 304	rerpdivcld 13118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
306	52, 305	remulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) ∈ ℝ)
307	306	recnd 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) ∈ ℂ)
308	303, 307, 210	adddird 11259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋))))
309	52	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
310	305	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
311	309, 310, 210	mulassd 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋)) = (𝐶 · ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋))))
312	304	rpne0d 13092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ≠ 0)
313	242, 210, 312	divcan1d 12017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋)) = 𝑋)
314	313	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋))) = (𝐶 · 𝑋))
315	311, 314	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋)) = (𝐶 · 𝑋))
316	315	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋))) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
317	308, 316	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)) = (((2 · (𝑌 − 𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
318	302, 317	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)))
319	32, 306	readdcld 11263	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) ∈ ℝ)
320	16, 319, 304	lemul1d 13130	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) ↔ (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋))))
321	318, 320	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌 − 𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∀wral 3076 ⊆ wss 3899 class class class wbr 5103 ‘cfv 6533 (class class class)co 7414 ℝcr 11124 0cc0 11125 1c1 11126 + caddc 11128 · cmul 11130 +∞cpnf 11265 < clt 11268 ≤ cle 11269 − cmin 11466 -cneg 11467 / cdiv 11896 ℕcn 12258 2c2 12320 ℤ_≥cuz 12888 ℝ⁺crp 13043 (,)cioo 13399 [,)cico 13401 [,]cicc 13402 ...cfz 13562 ⌊cfl 13852 abscabs 15322 Σcsu 15774 logclog 26792 Λcvma 27329 ψcchp 27330

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7737 ax-inf2 9621 ax-cnex 11181 ax-resscn 11182 ax-1cn 11183 ax-icn 11184 ax-addcl 11185 ax-addrcl 11186 ax-mulcl 11187 ax-mulrcl 11188 ax-mulcom 11189 ax-addass 11190 ax-mulass 11191 ax-distr 11192 ax-i2m1 11193 ax-1ne0 11194 ax-1rid 11195 ax-rnegex 11196 ax-rrecex 11197 ax-cnre 11198 ax-pre-lttri 11199 ax-pre-lttrn 11200 ax-pre-ltadd 11201 ax-pre-mulgt0 11202 ax-pre-sup 11203 ax-addf 11204

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7371 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8160 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8361 df-rdg 8400 df-1o 8456 df-2o 8457 df-oadd 8460 df-er 8697 df-map 8829 df-pm 8830 df-ixp 8906 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9333 df-fi 9382 df-sup 9413 df-inf 9414 df-oi 9483 df-dju 9907 df-card 9945 df-pnf 11270 df-mnf 11271 df-xr 11272 df-ltxr 11273 df-le 11274 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11897 df-nn 12259 df-2 12328 df-3 12329 df-4 12330 df-5 12331 df-6 12332 df-7 12333 df-8 12334 df-9 12335 df-n0 12530 df-z 12617 df-dec 12738 df-uz 12889 df-q 12999 df-rp 13044 df-xneg 13164 df-xadd 13165 df-xmul 13166 df-ioo 13403 df-ioc 13404 df-ico 13405 df-icc 13406 df-fz 13563 df-fzo 13711 df-fl 13854 df-mod 13932 df-seq 14067 df-exp 14127 df-fac 14339 df-bc 14368 df-hash 14396 df-shft 15141 df-cj 15187 df-re 15188 df-im 15189 df-sqrt 15323 df-abs 15324 df-limsup 15559 df-clim 15576 df-rlim 15577 df-sum 15775 df-ef 16154 df-sin 16156 df-cos 16157 df-pi 16159 df-dvds 16344 df-gcd 16586 df-prm 16763 df-pc 16930 df-struct 17240 df-sets 17257 df-slot 17275 df-ndx 17287 df-base 17303 df-ress 17324 df-plusg 17356 df-mulr 17357 df-starv 17358 df-sca 17359 df-vsca 17360 df-ip 17361 df-tset 17362 df-ple 17363 df-ds 17365 df-unif 17366 df-hom 17367 df-cco 17368 df-rest 17508 df-topn 17509 df-0g 17527 df-gsum 17528 df-topgen 17529 df-pt 17530 df-prds 17533 df-xrs 17589 df-qtop 17594 df-imas 17595 df-xps 17597 df-mre 17671 df-mrc 17672 df-acs 17674 df-mgm 18731 df-sgrp 18822 df-mnd 18838 df-submnd 18893 df-mulg 19192 df-cntz 19445 df-cmn 19910 df-psmet 21578 df-xmet 21579 df-met 21580 df-bl 21581 df-mopn 21582 df-fbas 21583 df-fg 21584 df-cnfld 21587 df-top 23120 df-topon 23137 df-topsp 23159 df-bases 23172 df-cld 23245 df-ntr 23246 df-cls 23247 df-nei 23324 df-lp 23362 df-perf 23363 df-cn 23453 df-cnp 23454 df-haus 23541 df-tx 23789 df-hmeo 23982 df-fil 24073 df-fm 24165 df-flim 24166 df-flf 24167 df-xms 24547 df-ms 24548 df-tms 24549 df-cncf 25107 df-limc 26094 df-dv 26095 df-log 26794 df-vma 27335 df-chp 27336

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