MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem2 25951
Description: Lemma for abelth 25960. The peculiar region 𝑆, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing 1. Indeed, except for 1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem2 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑀   𝑧,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2 abelth.4 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
3 1cnd 11211 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 1 ∈ β„‚)
4 0le0 12315 . . . . 5 0 ≀ 0
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
65recnd 11244 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
76mul01d 11415 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
84, 7breqtrrid 5186 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 0 ≀ (𝑀 Β· 0))
9 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑧) = (1 βˆ’ 1))
10 1m1e0 12286 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 1) = 0
119, 10eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑧) = 0)
1211abs00bd 15240 . . . . . 6 (𝑧 = 1 β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) = 0)
13 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 β†’ (absβ€˜π‘§) = (absβ€˜1))
14 abs1 15246 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜1) = 1
1513, 14eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 β†’ (absβ€˜π‘§) = 1)
1615oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) = (1 βˆ’ 1))
1716, 10eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) = 0)
1817oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑧 = 1 β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) = (𝑀 Β· 0))
1912, 18breq12d 5161 . . . . 5 (𝑧 = 1 β†’ ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) ↔ 0 ≀ (𝑀 Β· 0)))
20 abelth.5 . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
2119, 20elrab2 3686 . . . 4 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 0 ≀ (𝑀 Β· 0)))
223, 8, 21sylanbrc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 1 ∈ 𝑆)
23 velsn 4644 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
2423necon3bbii 2988 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 β‰  1)
25 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
26 0cn 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„‚
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2827cnmetdval 24294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 0)))
2925, 26, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 0)))
3025subid1d 11562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
3130fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘§))
3229, 31eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘§))
3325abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
34 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
35 1re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
36 resubcl 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((absβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3733, 35, 36sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
38 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
39 subcl 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4038, 25, 39sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4140abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
42 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
43 resubcl 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
4435, 33, 43sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
4614oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((absβ€˜π‘§) βˆ’ (absβ€˜1)) = ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1)
47 abs2dif 15281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ (absβ€˜1)) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)))
4825, 38, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ (absβ€˜1)) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)))
4946, 48eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)))
50 abssub 15275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)) = (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
5125, 38, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)) = (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
5249, 51breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
53 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))
5437, 41, 45, 52, 53letrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))
5533, 34, 45lesubaddd 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) ↔ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1)))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1))
576adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
58 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5942, 33remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
6059recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
6157, 58, 60addsubd 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) = ((𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) + 1))
6233recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
6357, 58, 62subdid 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
6457mulridd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
6564oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) = (𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
6663, 65eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) = (𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
6766oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1) = ((𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) + 1))
6861, 67eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1))
6956, 68breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
70 peano2re 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7142, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7259, 33, 71leaddsub2d 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (((𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) + (absβ€˜π‘§)) ≀ (𝑀 + 1) ↔ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)))))
7369, 72mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) + (absβ€˜π‘§)) ≀ (𝑀 + 1))
7457, 62adddirp1d 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) = ((𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) + (absβ€˜π‘§)))
7571recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
7675mulridd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· 1) = (𝑀 + 1))
7773, 74, 763brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) ≀ ((𝑀 + 1) Β· 1))
78 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 ∈ ℝ)
79 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
8042ltp1d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
8178, 42, 71, 79, 80lelttrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 < (𝑀 + 1))
82 lemul2 12069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 + 1))) β†’ ((absβ€˜π‘§) ≀ 1 ↔ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) ≀ ((𝑀 + 1) Β· 1)))
8333, 34, 71, 81, 82syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) ≀ 1 ↔ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) ≀ ((𝑀 + 1) Β· 1)))
8477, 83mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ 1)
8541, 45, 53lensymd 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ Β¬ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
87 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑧 β‰  1)
8887necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 β‰  𝑧)
89 subeq0 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
9089necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 1 β‰  𝑧))
9138, 25, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 1 β‰  𝑧))
9288, 91mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) β‰  0)
93 absgt0 15273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
9440, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
9592, 94mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
9686, 95eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· 0) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
97 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ (1 βˆ’ 1) = (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))
9810, 97eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ 0 = (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))
9998oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ (𝑀 Β· 0) = (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))
10099breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ ((𝑀 Β· 0) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
10196, 100syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
102101necon3bd 2954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (Β¬ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) β†’ 1 β‰  (absβ€˜π‘§)))
10385, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 β‰  (absβ€˜π‘§))
10433, 34, 84, 103leneltd 11370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) < 1)
10532, 104eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
106 cnxmet 24296 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
107 1xr 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
108 elbl3 23905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
109106, 107, 108mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
11026, 25, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
111105, 110mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
112111expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))) β†’ (𝑧 β‰  1 β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1131123impb 1115 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ (𝑧 β‰  1 β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11424, 113biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ {1} β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
115114orrd 861 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
116 elun 4148 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
117115, 116sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ 𝑧 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
118117rabssdv 4072 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))} βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11920, 118eqsstrid 4030 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
120 ssundif 4487 . . . 4 (𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
121119, 120sylib 217 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
12222, 121jca 512 . 2 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1231, 2, 122syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„•0cn0 12474  seqcseq 13968  abscabs 15183   ⇝ cli 15430  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945
This theorem is referenced by:  abelthlem3  25952  abelthlem6  25955  abelthlem7  25957  abelthlem8  25958  abelthlem9  25959  abelth  25960
  Copyright terms: Public domain W3C validator