MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem2 25944
Description: Lemma for abelth 25953. The peculiar region 𝑆, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing 1. Indeed, except for 1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem2 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑀   𝑧,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2 abelth.4 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
3 1cnd 11209 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 1 ∈ β„‚)
4 0le0 12313 . . . . 5 0 ≀ 0
5 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
65recnd 11242 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
76mul01d 11413 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
84, 7breqtrrid 5187 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 0 ≀ (𝑀 Β· 0))
9 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑧) = (1 βˆ’ 1))
10 1m1e0 12284 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 1) = 0
119, 10eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑧) = 0)
1211abs00bd 15238 . . . . . 6 (𝑧 = 1 β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) = 0)
13 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 β†’ (absβ€˜π‘§) = (absβ€˜1))
14 abs1 15244 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜1) = 1
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 β†’ (absβ€˜π‘§) = 1)
1615oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) = (1 βˆ’ 1))
1716, 10eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) = 0)
1817oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑧 = 1 β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) = (𝑀 Β· 0))
1912, 18breq12d 5162 . . . . 5 (𝑧 = 1 β†’ ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) ↔ 0 ≀ (𝑀 Β· 0)))
20 abelth.5 . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
2119, 20elrab2 3687 . . . 4 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 0 ≀ (𝑀 Β· 0)))
223, 8, 21sylanbrc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 1 ∈ 𝑆)
23 velsn 4645 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
2423necon3bbii 2989 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 β‰  1)
25 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
26 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„‚
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2827cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 0)))
2925, 26, 28sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 0)))
3025subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
3130fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘§))
3229, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘§))
3325abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
34 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
35 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
36 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((absβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3733, 35, 36sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
38 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
39 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4038, 25, 39sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4140abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
42 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
43 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
4435, 33, 43sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
4614oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((absβ€˜π‘§) βˆ’ (absβ€˜1)) = ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1)
47 abs2dif 15279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ (absβ€˜1)) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)))
4825, 38, 47sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ (absβ€˜1)) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)))
4946, 48eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)))
50 abssub 15273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)) = (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
5125, 38, 50sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 1)) = (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
5249, 51breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
53 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))
5437, 41, 45, 52, 53letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))
5533, 34, 45lesubaddd 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (((absβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) ↔ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1)))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1))
576adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
58 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5942, 33remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
6059recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
6157, 58, 60addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) = ((𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) + 1))
6233recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
6357, 58, 62subdid 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
6457mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
6564oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) = (𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
6663, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) = (𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
6766oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1) = ((𝑀 βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) + 1))
6861, 67eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) + 1))
6956, 68breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§))))
70 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7142, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7259, 33, 71leaddsub2d 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (((𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) + (absβ€˜π‘§)) ≀ (𝑀 + 1) ↔ (absβ€˜π‘§) ≀ ((𝑀 + 1) βˆ’ (𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)))))
7369, 72mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) + (absβ€˜π‘§)) ≀ (𝑀 + 1))
7457, 62adddirp1d 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) = ((𝑀 Β· (absβ€˜π‘§)) + (absβ€˜π‘§)))
7571recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
7675mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· 1) = (𝑀 + 1))
7773, 74, 763brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) ≀ ((𝑀 + 1) Β· 1))
78 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 ∈ ℝ)
79 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
8042ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
8178, 42, 71, 79, 80lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 < (𝑀 + 1))
82 lemul2 12067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 + 1))) β†’ ((absβ€˜π‘§) ≀ 1 ↔ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) ≀ ((𝑀 + 1) Β· 1)))
8333, 34, 71, 81, 82syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((absβ€˜π‘§) ≀ 1 ↔ ((𝑀 + 1) Β· (absβ€˜π‘§)) ≀ ((𝑀 + 1) Β· 1)))
8477, 83mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ 1)
8541, 45, 53lensymd 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ Β¬ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
87 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑧 β‰  1)
8887necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 β‰  𝑧)
89 subeq0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
9089necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 1 β‰  𝑧))
9138, 25, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 1 β‰  𝑧))
9288, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) β‰  0)
93 absgt0 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
9440, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
9592, 94mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 0 < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
9686, 95eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑀 Β· 0) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)))
97 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ (1 βˆ’ 1) = (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))
9810, 97eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ 0 = (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))
9998oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ (𝑀 Β· 0) = (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))
10099breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ ((𝑀 Β· 0) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
10196, 100syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (1 = (absβ€˜π‘§) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧))))
102101necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (Β¬ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))) < (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) β†’ 1 β‰  (absβ€˜π‘§)))
10385, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 1 β‰  (absβ€˜π‘§))
10433, 34, 84, 103leneltd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (absβ€˜π‘§) < 1)
10532, 104eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
106 cnxmet 24289 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
107 1xr 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
108 elbl3 23898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
109106, 107, 108mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
11026, 25, 109sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ (𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
111105, 110mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) ∧ 𝑧 β‰  1)) β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
112111expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§))))) β†’ (𝑧 β‰  1 β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1131123impb 1116 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ (𝑧 β‰  1 β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11424, 113biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ {1} β†’ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
115114orrd 862 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
116 elun 4149 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
117115, 116sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))) β†’ 𝑧 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
118117rabssdv 4073 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))} βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11920, 118eqsstrid 4031 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
120 ssundif 4488 . . . 4 (𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
121119, 120sylib 217 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
12222, 121jca 513 . 2 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1231, 2, 122syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  seqcseq 13966  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  abelthlem3  25945  abelthlem6  25948  abelthlem7  25950  abelthlem8  25951  abelthlem9  25952  abelth  25953
  Copyright terms: Public domain W3C validator