abelthlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > abelthlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem abelthlem2 26370

Description: Lemma for abelth 26379. The peculiar region 𝑆, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing 1. Indeed, except for 1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem2	⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))

Distinct variable groups: 𝑧,𝑀 𝑧,𝐴 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝑆(𝑧)

**Proof of Theorem abelthlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		abelth.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
3		1cnd 11114	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
4		0le0 12233	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
7	6	mul01d 11319	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑀 · 0) = 0)
8	4, 7	breqtrrid 5131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
9		oveq2 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (1 − 𝑧) = (1 − 1))
10		1m1e0 12204	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (1 − 𝑧) = 0)
12	11	abs00bd 15200	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → (abs‘(1 − 𝑧)) = 0)
13		fveq2 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (abs‘𝑧) = (abs‘1))
14		abs1 15206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (abs‘𝑧) = 1)
16	15	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 1))
17	16, 10	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (1 − (abs‘𝑧)) = 0)
18	17	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = (𝑀 · 0))
19	12, 18	breq12d 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
20		abelth.5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
21	19, 20	elrab2 3646	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
22	3, 8, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 1 ∈ 𝑆)
23		velsn 4591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
24	23	necon3bbii 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 ≠ 1)
25		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		0cn 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
28	27	cnmetdval 24686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
29	25, 26, 28	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
30	25	subid1d 11468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
31	30	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
32	29, 31	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
33	25	abscld 15348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
34		1red 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ∈ ℝ)
35		1re 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
36		resubcl 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑧) − 1) ∈ ℝ)
37	33, 35, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ∈ ℝ)
38		ax-1cn 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		subcl 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
40	38, 25, 39	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ∈ ℝ)
42		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43		resubcl 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑧) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
44	35, 33, 43	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ∈ ℝ)
46	14	oveq2i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) = ((abs‘𝑧) − 1)
47		abs2dif 15242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
48	25, 38, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
49	46, 48	eqbrtrrid 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
50		abssub 15236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 1)) = (abs‘(1 − 𝑧)))
51	25, 38, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(𝑧 − 1)) = (abs‘(1 − 𝑧)))
52	49, 51	breqtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (abs‘(1 − 𝑧)))
53		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
54	37, 41, 45, 52, 53	letrd 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
55	33, 34, 45	lesubaddd 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (((abs‘𝑧) − 1) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ↔ (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1)))
56	54, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1))
57	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
58		1cnd 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
59	42, 33	remulcld 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (abs‘𝑧)) ∈ ℂ)
61	57, 58, 60	addsubd 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = ((𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))) + 1))
62	33	recnd 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
63	57, 58, 62	subdid 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
64	57	mulridd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
65	64	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = (𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
66	63, 65	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = (𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
67	66	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1) = ((𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))) + 1))
68	61, 67	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1))
69	56, 68	breqtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
70		peano2re 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
71	42, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
72	59, 33, 71	leaddsub2d 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)) ≤ (𝑀 + 1) ↔ (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧)))))
73	69, 72	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)) ≤ (𝑀 + 1))
74	57, 62	adddirp1d 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) = ((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)))
75	71	recnd 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
77	73, 74, 76	3brtr4d 5125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1))
78		0red 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 ∈ ℝ)
79		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 ≤ 𝑀)
80	42	ltp1d 12059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
81	78, 42, 71, 79, 80	lelttrd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 < (𝑀 + 1))
82		lemul2 11981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 + 1))) → ((abs‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1)))
83	33, 34, 71, 81, 82	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1)))
84	77, 83	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ 1)
85	41, 45, 53	lensymd 11271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ¬ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧)))
86	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 0) = 0)
87		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ≠ 1)
88	87	necomd 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ≠ 𝑧)
89		subeq0 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
90	89	necon3bid 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
91	38, 25, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
92	88, 91	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − 𝑧) ≠ 0)
93		absgt0 15234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 − 𝑧) ∈ ℂ → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(1 − 𝑧))))
94	40, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(1 − 𝑧))))
95	92, 94	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 < (abs‘(1 − 𝑧)))
96	86, 95	eqbrtrd 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 0) < (abs‘(1 − 𝑧)))
97		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 = (abs‘𝑧) → (1 − 1) = (1 − (abs‘𝑧)))
98	10, 97	eqtr3id 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 = (abs‘𝑧) → 0 = (1 − (abs‘𝑧)))
99	98	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = (abs‘𝑧) → (𝑀 · 0) = (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
100	99	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = (abs‘𝑧) → ((𝑀 · 0) < (abs‘(1 − 𝑧)) ↔ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧))))
101	96, 100	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 = (abs‘𝑧) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧))))
102	101	necon3bd 2943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (¬ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧)) → 1 ≠ (abs‘𝑧)))
103	85, 102	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ≠ (abs‘𝑧))
104	33, 34, 84, 103	leneltd 11274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) < 1)
105	32, 104	eqbrtrd 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) < 1)
106		cnxmet 24688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
107		1xr 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
108		elbl3 24308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ^*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
109	106, 107, 108	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
110	26, 25, 109	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
111	105, 110	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
112	111	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
113	112	3impb 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
114	24, 113	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (¬ 𝑧 ∈ {1} → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
115	114	orrd 863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
116		elun 4102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
117	115, 116	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → 𝑧 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
118	117	rabssdv 4023	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
119	20, 118	eqsstrid 3969	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
120		ssundif 4437	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
121	119, 120	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
122	22, 121	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
123	1, 2, 122	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 {crab 3396 ∖ cdif 3895 ∪ cun 3896 ⊆ wss 3898 {csn 4575 class class class wbr 5093 dom cdm 5619 ∘ ccom 5623 ⟶wf 6482 ‘cfv 6486 (class class class)co 7352 ℂcc 11011 ℝcr 11012 0cc0 11013 1c1 11014 + caddc 11016 · cmul 11018 ℝ^*cxr 11152 < clt 11153 ≤ cle 11154 − cmin 11351 ℕ₀cn0 12388 seqcseq 13910 abscabs 15143 ⇝ cli 15393 ∞Metcxmet 21278 ballcbl 21280

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5305 ax-pr 5372 ax-un 7674 ax-cnex 11069 ax-resscn 11070 ax-1cn 11071 ax-icn 11072 ax-addcl 11073 ax-addrcl 11074 ax-mulcl 11075 ax-mulrcl 11076 ax-mulcom 11077 ax-addass 11078 ax-mulass 11079 ax-distr 11080 ax-i2m1 11081 ax-1ne0 11082 ax-1rid 11083 ax-rnegex 11084 ax-rrecex 11085 ax-cnre 11086 ax-pre-lttri 11087 ax-pre-lttrn 11088 ax-pre-ltadd 11089 ax-pre-mulgt0 11090 ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4576 df-pr 4578 df-op 4582 df-uni 4859 df-iun 4943 df-br 5094 df-opab 5156 df-mpt 5175 df-tr 5201 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7309 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-om 7803 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8297 df-rdg 8335 df-er 8628 df-map 8758 df-en 8876 df-dom 8877 df-sdom 8878 df-sup 9333 df-pnf 11155 df-mnf 11156 df-xr 11157 df-ltxr 11158 df-le 11159 df-sub 11353 df-neg 11354 df-div 11782 df-nn 12133 df-2 12195 df-3 12196 df-n0 12389 df-z 12476 df-uz 12739 df-rp 12893 df-xadd 13014 df-seq 13911 df-exp 13971 df-cj 15008 df-re 15009 df-im 15010 df-sqrt 15144 df-abs 15145 df-psmet 21285 df-xmet 21286 df-met 21287 df-bl 21288

This theorem is referenced by: abelthlem3 26371 abelthlem6 26374 abelthlem7 26376 abelthlem8 26377 abelthlem9 26378 abelth 26379

W3C validator