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Theorem abelthlem2 26491
Description: Lemma for abelth 26500. The peculiar region 𝑆, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing 1. Indeed, except for 1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem2 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑀   𝑧,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 abelth.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
3 1cnd 11254 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
4 0le0 12365 . . . . 5 0 ≤ 0
5 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
65recnd 11287 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
76mul01d 11458 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑀 · 0) = 0)
84, 7breqtrrid 5186 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
9 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 − 𝑧) = (1 − 1))
10 1m1e0 12336 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
119, 10eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (1 − 𝑧) = 0)
1211abs00bd 15327 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → (abs‘(1 − 𝑧)) = 0)
13 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (abs‘𝑧) = (abs‘1))
14 abs1 15333 . . . . . . . . . 10 (abs‘1) = 1
1513, 14eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (abs‘𝑧) = 1)
1615oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 1))
1716, 10eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (1 − (abs‘𝑧)) = 0)
1817oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = (𝑀 · 0))
1912, 18breq12d 5161 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
20 abelth.5 . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
2119, 20elrab2 3698 . . . 4 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
223, 8, 21sylanbrc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 1 ∈ 𝑆)
23 velsn 4647 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
2423necon3bbii 2986 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 ≠ 1)
25 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 0cn 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2827cnmetdval 24807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
2925, 26, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
3025subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
3130fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
3229, 31eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
3325abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
34 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ∈ ℝ)
35 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
36 resubcl 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑧) − 1) ∈ ℝ)
3733, 35, 36sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ∈ ℝ)
38 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
39 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
4038, 25, 39sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
4140abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ∈ ℝ)
42 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43 resubcl 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑧) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
4435, 33, 43sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ∈ ℝ)
4614oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) = ((abs‘𝑧) − 1)
47 abs2dif 15368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
4825, 38, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
4946, 48eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
50 abssub 15362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 1)) = (abs‘(1 − 𝑧)))
5125, 38, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(𝑧 − 1)) = (abs‘(1 − 𝑧)))
5249, 51breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (abs‘(1 − 𝑧)))
53 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
5437, 41, 45, 52, 53letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
5533, 34, 45lesubaddd 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (((abs‘𝑧) − 1) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ↔ (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1)))
5654, 55mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1))
576adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
58 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
5942, 33remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
6059recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (abs‘𝑧)) ∈ ℂ)
6157, 58, 60addsubd 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = ((𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))) + 1))
6233recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
6357, 58, 62subdid 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
6457mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
6564oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = (𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
6663, 65eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = (𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
6766oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1) = ((𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))) + 1))
6861, 67eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1))
6956, 68breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
70 peano2re 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7142, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7259, 33, 71leaddsub2d 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)) ≤ (𝑀 + 1) ↔ (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧)))))
7369, 72mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)) ≤ (𝑀 + 1))
7457, 62adddirp1d 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) = ((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)))
7571recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
7675mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
7773, 74, 763brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1))
78 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 ∈ ℝ)
79 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 ≤ 𝑀)
8042ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
8178, 42, 71, 79, 80lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 < (𝑀 + 1))
82 lemul2 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 + 1))) → ((abs‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1)))
8333, 34, 71, 81, 82syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1)))
8477, 83mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ 1)
8541, 45, 53lensymd 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ¬ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧)))
867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 0) = 0)
87 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ≠ 1)
8887necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ≠ 𝑧)
89 subeq0 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
9089necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
9138, 25, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
9288, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − 𝑧) ≠ 0)
93 absgt0 15360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − 𝑧) ∈ ℂ → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(1 − 𝑧))))
9440, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(1 − 𝑧))))
9592, 94mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 < (abs‘(1 − 𝑧)))
9686, 95eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 0) < (abs‘(1 − 𝑧)))
97 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 = (abs‘𝑧) → (1 − 1) = (1 − (abs‘𝑧)))
9810, 97eqtr3id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (abs‘𝑧) → 0 = (1 − (abs‘𝑧)))
9998oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = (abs‘𝑧) → (𝑀 · 0) = (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
10099breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = (abs‘𝑧) → ((𝑀 · 0) < (abs‘(1 − 𝑧)) ↔ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧))))
10196, 100syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 = (abs‘𝑧) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧))))
102101necon3bd 2952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (¬ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧)) → 1 ≠ (abs‘𝑧)))
10385, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ≠ (abs‘𝑧))
10433, 34, 84, 103leneltd 11413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) < 1)
10532, 104eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) < 1)
106 cnxmet 24809 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
107 1xr 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
108 elbl3 24418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
109106, 107, 108mpanl12 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
11026, 25, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
111105, 110mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
112111expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1131123impb 1114 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11424, 113biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (¬ 𝑧 ∈ {1} → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
115114orrd 863 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
116 elun 4163 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
117115, 116sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → 𝑧 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
118117rabssdv 4085 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11920, 118eqsstrid 4044 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
120 ssundif 4494 . . . 4 (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
121119, 120sylib 218 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
12222, 121jca 511 . 2 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1231, 2, 122syl2anc 584 1 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  seqcseq 14039  abscabs 15270  cli 15517  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  abelthlem3  26492  abelthlem6  26495  abelthlem7  26497  abelthlem8  26498  abelthlem9  26499  abelth  26500
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