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Theorem abelthlem2 24708
Description: Lemma for abelth 24717. The peculiar region 𝑆, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing 1. Indeed, except for 1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem2 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑀   𝑧,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 abelth.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
3 1cnd 10487 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
4 0le0 11591 . . . . 5 0 ≤ 0
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
65recnd 10520 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
76mul01d 10691 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑀 · 0) = 0)
84, 7breqtrrid 5004 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
9 oveq2 7029 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 − 𝑧) = (1 − 1))
10 1m1e0 11562 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
119, 10syl6eq 2847 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (1 − 𝑧) = 0)
1211abs00bd 14490 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → (abs‘(1 − 𝑧)) = 0)
13 fveq2 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (abs‘𝑧) = (abs‘1))
14 abs1 14496 . . . . . . . . . 10 (abs‘1) = 1
1513, 14syl6eq 2847 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (abs‘𝑧) = 1)
1615oveq2d 7037 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 1))
1716, 10syl6eq 2847 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (1 − (abs‘𝑧)) = 0)
1817oveq2d 7037 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = (𝑀 · 0))
1912, 18breq12d 4979 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
20 abelth.5 . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
2119, 20elrab2 3622 . . . 4 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
223, 8, 21sylanbrc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 1 ∈ 𝑆)
23 velsn 4492 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
2423necon3bbii 3031 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 ≠ 1)
25 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 0cn 10484 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
27 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2827cnmetdval 23067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
2925, 26, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
3025subid1d 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
3130fveq2d 6547 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
3229, 31eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
3325abscld 14635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
34 1red 10493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ∈ ℝ)
35 1re 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
36 resubcl 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑧) − 1) ∈ ℝ)
3733, 35, 36sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ∈ ℝ)
38 ax-1cn 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
39 subcl 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
4038, 25, 39sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
4140abscld 14635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ∈ ℝ)
42 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43 resubcl 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑧) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
4435, 33, 43sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ∈ ℝ)
4614oveq2i 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) = ((abs‘𝑧) − 1)
47 abs2dif 14531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
4825, 38, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
4946, 48eqbrtrrid 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (abs‘(𝑧 − 1)))
50 abssub 14525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 1)) = (abs‘(1 − 𝑧)))
5125, 38, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(𝑧 − 1)) = (abs‘(1 − 𝑧)))
5249, 51breqtrd 4992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (abs‘(1 − 𝑧)))
53 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
5437, 41, 45, 52, 53letrd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) − 1) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
5533, 34, 45lesubaddd 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (((abs‘𝑧) − 1) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) ↔ (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1)))
5654, 55mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1))
576adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
58 1cnd 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
5942, 33remulcld 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
6059recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (abs‘𝑧)) ∈ ℂ)
6157, 58, 60addsubd 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = ((𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))) + 1))
6233recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
6357, 58, 62subdid 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
6457mulid1d 10509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
6564oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = (𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
6663, 65eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) = (𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
6766oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1) = ((𝑀 − (𝑀 · (abs‘𝑧))) + 1))
6861, 67eqtr4d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))) = ((𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) + 1))
6956, 68breqtrrd 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧))))
70 peano2re 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7142, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7259, 33, 71leaddsub2d 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)) ≤ (𝑀 + 1) ↔ (abs‘𝑧) ≤ ((𝑀 + 1) − (𝑀 · (abs‘𝑧)))))
7369, 72mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)) ≤ (𝑀 + 1))
7457, 62adddirp1d 10518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) = ((𝑀 · (abs‘𝑧)) + (abs‘𝑧)))
7571recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
7675mulid1d 10509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
7773, 74, 763brtr4d 4998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1))
78 0red 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 ∈ ℝ)
79 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 ≤ 𝑀)
8042ltp1d 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
8178, 42, 71, 79, 80lelttrd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 < (𝑀 + 1))
82 lemul2 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 + 1))) → ((abs‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1)))
8333, 34, 71, 81, 82syl112anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((abs‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((𝑀 + 1) · (abs‘𝑧)) ≤ ((𝑀 + 1) · 1)))
8477, 83mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) ≤ 1)
8541, 45, 53lensymd 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ¬ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧)))
867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 0) = 0)
87 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ≠ 1)
8887necomd 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ≠ 𝑧)
89 subeq0 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
9089necon3bid 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
9138, 25, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
9288, 91mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 − 𝑧) ≠ 0)
93 absgt0 14523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − 𝑧) ∈ ℂ → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(1 − 𝑧))))
9440, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(1 − 𝑧))))
9592, 94mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 0 < (abs‘(1 − 𝑧)))
9686, 95eqbrtrd 4988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑀 · 0) < (abs‘(1 − 𝑧)))
97 oveq2 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 = (abs‘𝑧) → (1 − 1) = (1 − (abs‘𝑧)))
9810, 97syl5eqr 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (abs‘𝑧) → 0 = (1 − (abs‘𝑧)))
9998oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = (abs‘𝑧) → (𝑀 · 0) = (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))
10099breq1d 4976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = (abs‘𝑧) → ((𝑀 · 0) < (abs‘(1 − 𝑧)) ↔ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧))))
10196, 100syl5ibcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (1 = (abs‘𝑧) → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧))))
102101necon3bd 2998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (¬ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))) < (abs‘(1 − 𝑧)) → 1 ≠ (abs‘𝑧)))
10385, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 1 ≠ (abs‘𝑧))
10433, 34, 84, 103leneltd 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (abs‘𝑧) < 1)
10532, 104eqbrtrd 4988 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧(abs ∘ − )0) < 1)
106 cnxmet 23069 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
107 1xr 10552 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
108 elbl3 22690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
109106, 107, 108mpanl12 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
11026, 25, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < 1))
111105, 110mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) ∧ 𝑧 ≠ 1)) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
112111expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1131123impb 1108 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11424, 113syl5bi 243 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (¬ 𝑧 ∈ {1} → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
115114orrd 858 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
116 elun 4050 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
117115, 116sylibr 235 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))) → 𝑧 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
118117rabssdv 3976 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11920, 118eqsstrid 3940 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
120 ssundif 4351 . . . 4 (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
121119, 120sylib 219 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
12222, 121jca 512 . 2 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1231, 2, 122syl2anc 584 1 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  {crab 3109  cdif 3860  cun 3861  wss 3863  {csn 4476   class class class wbr 4966  dom cdm 5448  ccom 5452  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393  *cxr 10525   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722  0cn0 11750  seqcseq 13224  abscabs 14432  cli 14680  ∞Metcxmet 20217  ballcbl 20219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-sup 8757  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-xadd 12363  df-seq 13225  df-exp 13285  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227
This theorem is referenced by:  abelthlem3  24709  abelthlem6  24712  abelthlem7  24714  abelthlem8  24715  abelthlem9  24716  abelth  24717
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