Theorem lt4addmuld 46085

Description: If four real numbers are less than a fifth real number, the sum of the four real numbers is less than four times the fifth real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt4addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt4addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt4addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt4addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt4addmuld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
lt4addmuld.alte	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
lt4addmuld.blte	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
lt4addmuld.clte	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
lt4addmuld.dlte	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lt4addmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

Proof of Theorem lt4addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt4addmuld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt4addmuld.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt4addmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
6		lt4addmuld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		3re 12338	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
9		lt4addmuld.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐸) ∈ ℝ)
11		lt4addmuld.alte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
12		lt4addmuld.blte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
13		lt4addmuld.clte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
14	1, 2, 4, 9, 11, 12, 13	lt3addmuld 46080	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐸))
15		lt4addmuld.dlte	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)
16	5, 6, 10, 9, 14, 15	lt2addd 11854	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < ((3 · 𝐸) + 𝐸))
17		df-4 12322	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
19	18	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐸) = ((3 + 1) · 𝐸))
20	8	recnd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
21	9	recnd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	20, 21	adddirp1d 11252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 + 1) · 𝐸) = ((3 · 𝐸) + 𝐸))
23	19, 22	eqtr2d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐸) + 𝐸) = (4 · 𝐸))
24	16, 23	breqtrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260  3c3 12313  4c4 12314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322

This theorem is used by:  limclner  46425