Theorem lt4addmuld 42735

Description: If four real numbers are less than a fifth real number, the sum of the four real numbers is less than four times the fifth real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt4addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt4addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt4addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt4addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt4addmuld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
lt4addmuld.alte	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
lt4addmuld.blte	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
lt4addmuld.clte	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
lt4addmuld.dlte	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lt4addmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

Proof of Theorem lt4addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt4addmuld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt4addmuld.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt4addmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 10935	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
6		lt4addmuld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		3re 11983	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
9		lt4addmuld.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 10936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐸) ∈ ℝ)
11		lt4addmuld.alte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
12		lt4addmuld.blte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
13		lt4addmuld.clte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
14	1, 2, 4, 9, 11, 12, 13	lt3addmuld 42730	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐸))
15		lt4addmuld.dlte	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)
16	5, 6, 10, 9, 14, 15	lt2addd 11528	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < ((3 · 𝐸) + 𝐸))
17		df-4 11968	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
19	18	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐸) = ((3 + 1) · 𝐸))
20	8	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
21	9	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	20, 21	adddirp1d 10932	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 + 1) · 𝐸) = ((3 · 𝐸) + 𝐸))
23	19, 22	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐸) + 𝐸) = (4 · 𝐸))
24	16, 23	breqtrd 5096	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940  3c3 11959  4c4 11960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968

This theorem is referenced by:  limclner  43082