Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt4addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If four real numbers are less than a fifth real number, the sum of the four real numbers is less than four times the fifth real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
lt4addmuld (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

StepHypRef Expression
1 lt4addmuld.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt4addmuld.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10659 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 lt4addmuld.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 10659 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
6 lt4addmuld.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 3re 11706 . . . . 5 3 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
9 lt4addmuld.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10660 . . 3 (𝜑 → (3 · 𝐸) ∈ ℝ)
11 lt4addmuld.alte . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐸)
12 lt4addmuld.blte . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐸)
13 lt4addmuld.clte . . . 4 (𝜑𝐶 < 𝐸)
141, 2, 4, 9, 11, 12, 13lt3addmuld 41433 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐸))
15 lt4addmuld.dlte . . 3 (𝜑𝐷 < 𝐸)
165, 6, 10, 9, 14, 15lt2addd 11252 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < ((3 · 𝐸) + 𝐸))
17 df-4 11691 . . . . 5 4 = (3 + 1)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 = (3 + 1))
1918oveq1d 7163 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐸) = ((3 + 1) · 𝐸))
208recnd 10658 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
219recnd 10658 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2220, 21adddirp1d 10656 . . 3 (𝜑 → ((3 + 1) · 𝐸) = ((3 · 𝐸) + 𝐸))
2319, 22eqtr2d 2862 . 2 (𝜑 → ((3 · 𝐸) + 𝐸) = (4 · 𝐸))
2416, 23breqtrd 5089 1 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  3c3 11682  4c4 11683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691 This theorem is referenced by:  limclner  41797
 Copyright terms: Public domain W3C validator