Theorem lt4addmuld 45885

Description: If four real numbers are less than a fifth real number, the sum of the four real numbers is less than four times the fifth real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt4addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt4addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt4addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt4addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt4addmuld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
lt4addmuld.alte	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
lt4addmuld.blte	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
lt4addmuld.clte	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
lt4addmuld.dlte	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lt4addmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

Proof of Theorem lt4addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt4addmuld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt4addmuld.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt4addmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
6		lt4addmuld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		3re 12298	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
9		lt4addmuld.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐸) ∈ ℝ)
11		lt4addmuld.alte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
12		lt4addmuld.blte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
13		lt4addmuld.clte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
14	1, 2, 4, 9, 11, 12, 13	lt3addmuld 45880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐸))
15		lt4addmuld.dlte	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)
16	5, 6, 10, 9, 14, 15	lt2addd 11810	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < ((3 · 𝐸) + 𝐸))
17		df-4 12282	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
19	18	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐸) = ((3 + 1) · 𝐸))
20	8	recnd 11210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
21	9	recnd 11210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	20, 21	adddirp1d 11208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 + 1) · 𝐸) = ((3 · 𝐸) + 𝐸))
23	19, 22	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐸) + 𝐸) = (4 · 𝐸))
24	16, 23	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216  3c3 12273  4c4 12274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282

This theorem is referenced by:  limclner  46225