Theorem lt4addmuld 46142

Description: If four real numbers are less than a fifth real number, the sum of the four real numbers is less than four times the fifth real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt4addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt4addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt4addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt4addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt4addmuld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
lt4addmuld.alte	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
lt4addmuld.blte	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
lt4addmuld.clte	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
lt4addmuld.dlte	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lt4addmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

Proof of Theorem lt4addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt4addmuld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt4addmuld.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt4addmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
6		lt4addmuld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		3re 12348	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
9		lt4addmuld.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐸) ∈ ℝ)
11		lt4addmuld.alte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐸)
12		lt4addmuld.blte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐸)
13		lt4addmuld.clte	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐸)
14	1, 2, 4, 9, 11, 12, 13	lt3addmuld 46137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐸))
15		lt4addmuld.dlte	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 𝐸)
16	5, 6, 10, 9, 14, 15	lt2addd 11864	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < ((3 · 𝐸) + 𝐸))
17		df-4 12332	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
19	18	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐸) = ((3 + 1) · 𝐸))
20	8	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
21	9	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	20, 21	adddirp1d 11262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 + 1) · 𝐸) = ((3 · 𝐸) + 𝐸))
23	19, 22	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐸) + 𝐸) = (4 · 𝐸))
24	16, 23	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) < (4 · 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270  3c3 12323  4c4 12324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332

This theorem is used by:  limclner  46482