MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldmulg 20977
Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmulg ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem cnfldmulg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (0(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต))
2 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
31, 2eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฅ ยท ๐ต) โ†” (0(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (0 ยท ๐ต)))
4 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต))
5 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต))
64, 5eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฅ ยท ๐ต) โ†” (๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต)))
7 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต))
8 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต))
97, 8eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฅ ยท ๐ต) โ†” ((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต)))
10 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (-๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต))
11 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (-๐‘ฆ ยท ๐ต))
1210, 11eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฅ ยท ๐ต) โ†” (-๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (-๐‘ฆ ยท ๐ต)))
13 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐ด(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต))
14 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1513, 14eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฅ ยท ๐ต) โ†” (๐ด(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)))
16 cnfldbas 20948 . . . . 5 โ„‚ = (Baseโ€˜โ„‚fld)
17 cnfld0 20969 . . . . 5 0 = (0gโ€˜โ„‚fld)
18 eqid 2733 . . . . 5 (.gโ€˜โ„‚fld) = (.gโ€˜โ„‚fld)
1916, 17, 18mulg0 18957 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (0(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = 0)
20 mul02 11392 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2119, 20eqtr4d 2776 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (0(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (0 ยท ๐ต))
22 oveq1 7416 . . . . 5 ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) + ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + ๐ต))
23 cnring 20967 . . . . . . . 8 โ„‚fld โˆˆ Ring
24 ringmnd 20066 . . . . . . . 8 (โ„‚fld โˆˆ Ring โ†’ โ„‚fld โˆˆ Mnd)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 โ„‚fld โˆˆ Mnd
26 cnfldadd 20949 . . . . . . . 8 + = (+gโ€˜โ„‚fld)
2716, 18, 26mulgnn0p1 18965 . . . . . . 7 ((โ„‚fld โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) + ๐ต))
2825, 27mp3an1 1449 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) + ๐ต))
29 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
31 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3230, 31adddirp1d 11240 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + ๐ต))
3328, 32eqeq12d 2749 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) โ†” ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) + ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + ๐ต)))
3422, 33imbitrrid 245 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต)))
3534expcom 415 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1)(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต))))
36 fveq2 6892 . . . . 5 ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต)) = ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐ต)))
37 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgโ€˜โ„‚fld) = (invgโ€˜โ„‚fld)
3816, 18, 37mulgnegnn 18964 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต)))
39 nncn 12220 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
40 mulneg1 11650 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐ต) = -(๐‘ฆ ยท ๐ต))
4139, 40sylan 581 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐ต) = -(๐‘ฆ ยท ๐ต))
42 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4339, 42sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
44 cnfldneg 20971 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐ต)) = -(๐‘ฆ ยท ๐ต))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐ต)) = -(๐‘ฆ ยท ๐ต))
4641, 45eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐ต) = ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐ต)))
4738, 46eqeq12d 2749 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (-๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†” ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต)) = ((invgโ€˜โ„‚fld)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐ต))))
4836, 47imbitrrid 245 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (-๐‘ฆ ยท ๐ต)))
4948expcom 415 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (-๐‘ฆ ยท ๐ต))))
503, 6, 9, 12, 15, 21, 35, 49zindd 12663 . 2 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)))
5150impcom 409 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด(.gโ€˜โ„‚fld)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  Mndcmnd 18625  invgcminusg 18820  .gcmg 18950  Ringcrg 20056  โ„‚fldccnfld 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-cring 20059  df-cnfld 20945
This theorem is referenced by:  zsssubrg  21003  zringmulg  21026  zringcyg  21039  mulgrhm2  21048  remulg  21160  amgmlem  26494  1fldgenq  32412  cnzh  32950  rezh  32951
  Copyright terms: Public domain W3C validator