MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldmulg 20127
Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmulg ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem cnfldmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (0(.g‘ℂfld)𝐵))
2 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
31, 2eqeq12d 2817 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵)))
4 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
5 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
64, 5eqeq12d 2817 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵))
8 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
97, 8eqeq12d 2817 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
11 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
1210, 11eqeq12d 2817 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵))
14 oveq1 7146 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1513, 14eqeq12d 2817 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16 cnfldbas 20099 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
17 cnfld0 20119 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
18 eqid 2801 . . . . 5 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1916, 17, 18mulg0 18227 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = 0)
20 mul02 10811 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2119, 20eqtr4d 2839 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵))
22 oveq1 7146 . . . . 5 ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
23 cnring 20117 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
24 ringmnd 19304 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 fld ∈ Mnd
26 cnfldadd 20100 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
2716, 18, 26mulgnn0p1 18235 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
2825, 27mp3an1 1445 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
29 nn0cn 11899 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3230, 31adddirp1d 10660 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
3328, 32eqeq12d 2817 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵)))
3422, 33syl5ibr 249 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
3534expcom 417 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
36 fveq2 6649 . . . . 5 ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
37 eqid 2801 . . . . . . 7 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
3816, 18, 37mulgnegnn 18234 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)))
39 nncn 11637 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
40 mulneg1 11069 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
4139, 40sylan 583 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
42 mulcl 10614 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
4339, 42sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
44 cnfldneg 20121 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
4641, 45eqtr4d 2839 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
4738, 46eqeq12d 2817 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵))))
4836, 47syl5ibr 249 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
4948expcom 417 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
503, 6, 9, 12, 15, 21, 35, 49zindd 12075 . 2 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
5150impcom 411 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  -cneg 10864  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  Mndcmnd 17907  invgcminusg 18100  .gcmg 18220  Ringcrg 19294  fldccnfld 20095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mulg 18221  df-cmn 18904  df-mgp 19237  df-ring 19296  df-cring 19297  df-cnfld 20096
This theorem is referenced by:  zsssubrg  20153  zringmulg  20175  zringcyg  20188  mulgrhm2  20196  remulg  20300  amgmlem  25579  cnzh  31325  rezh  31326
  Copyright terms: Public domain W3C validator