Theorem cnfldmulg 21340

Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmulg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem cnfldmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (0(.g‘ℂfld)𝐵))
2		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
5		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵))
8		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
11		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵))
14		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		cnfldbas 21295	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		cnfld0 21329	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
18		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
19	16, 17, 18	mulg0 18987	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = 0)
20		mul02 11291	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
21	19, 20	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵))
22		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
23		cnring 21327	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		ringmnd 20161	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
26		cnfldadd 21297	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
27	16, 18, 26	mulgnn0p1 18998	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
28	25, 27	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
29		nn0cn 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	30, 31	adddirp1d 11138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
33	28, 32	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵)))
34	22, 33	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
35	34	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
36		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
37		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
38	16, 18, 37	mulgnegnn 18997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)))
39		nncn 12133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
40		mulneg1 11553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
41	39, 40	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
42		mulcl 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
43	39, 42	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
44		cnfldneg 21332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
46	41, 45	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
47	38, 46	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵))))
48	36, 47	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
49	48	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
50	3, 6, 9, 12, 15, 21, 35, 49	zindd 12574	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
51	50	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  Mndcmnd 18642  inv_gcminusg 18847  ._gcmg 18980  Ringcrg 20151  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-cmn 19694  df-mgp 20059  df-ring 20153  df-cring 20154  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by:  zsssubrg  21362  zringmulg  21393  zringcyg  21406  mulgrhm2  21415  remulg  21544  amgmlem  26927  1fldgenq  33288  gsumind  33310  cnzh  33981  rezh  33982