MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldmulg 21433
Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmulg ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem cnfldmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (0(.g‘ℂfld)𝐵))
2 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
31, 2eqeq12d 2750 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵)))
4 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
5 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
64, 5eqeq12d 2750 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵))
8 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
97, 8eqeq12d 2750 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
11 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
1210, 11eqeq12d 2750 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵))
14 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1513, 14eqeq12d 2750 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16 cnfldbas 21385 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
17 cnfld0 21422 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
18 eqid 2734 . . . . 5 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1916, 17, 18mulg0 19104 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = 0)
20 mul02 11436 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2119, 20eqtr4d 2777 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵))
22 oveq1 7437 . . . . 5 ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
23 cnring 21420 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
24 ringmnd 20260 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 fld ∈ Mnd
26 cnfldadd 21387 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
2716, 18, 26mulgnn0p1 19115 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
2825, 27mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
29 nn0cn 12533 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3230, 31adddirp1d 11284 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
3328, 32eqeq12d 2750 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵)))
3422, 33imbitrrid 246 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
3534expcom 413 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
36 fveq2 6906 . . . . 5 ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
37 eqid 2734 . . . . . . 7 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
3816, 18, 37mulgnegnn 19114 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)))
39 nncn 12271 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
40 mulneg1 11696 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
4139, 40sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
42 mulcl 11236 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
4339, 42sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
44 cnfldneg 21425 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
4641, 45eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
4738, 46eqeq12d 2750 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵))))
4836, 47imbitrrid 246 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
4948expcom 413 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
503, 6, 9, 12, 15, 21, 35, 49zindd 12716 . 2 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
5150impcom 407 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  -cneg 11490  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  Mndcmnd 18759  invgcminusg 18964  .gcmg 19097  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cmn 19814  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by:  zsssubrg  21460  zringmulg  21484  zringcyg  21497  mulgrhm2  21506  remulg  21642  amgmlem  27047  1fldgenq  33303  cnzh  33930  rezh  33931
  Copyright terms: Public domain W3C validator