fourierdlem19 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem19 45573

Description: If two elements of 𝐷 have the same periodic image in (𝐴(,]𝐵) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem19.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem19.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem19.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem19.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem19.d	⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
fourierdlem19.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem19.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem19.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐷)
fourierdlem19.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐷)
fourierdlem19.ezew	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) = (𝐸‘𝑊))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem19	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑦,𝐴 𝑥,𝐵 𝑦,𝐵 𝑥,𝑇 𝑥,𝑊 𝑦,𝑋 𝑥,𝑍 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑘) 𝐴(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑘) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑘) 𝑇(𝑦,𝑘) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑘) 𝑊(𝑦,𝑘) 𝑋(𝑥,𝑘) 𝑍(𝑦,𝑘)

**Proof of Theorem fourierdlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem19.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem19.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
5		fourierdlem19.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5, 2	readdcld 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
8		fourierdlem19.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
9		ssrab2 4070	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
10	8, 9	eqsstri 4008	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
11		fourierdlem19.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐷)
12	10, 11	sselid 3971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
13		iocleub 44947	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
14	4, 7, 12, 13	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
15	14	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
16	6	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
17		iocssre 13431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
18	4, 6, 17	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
19		fourierdlem19.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐷)
20	10, 19	sselid 3971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
21	18, 20	sseldd 3974	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
22		fourierdlem19.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
23	5, 1	resubcld 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrid 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
25	21, 24	readdcld 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
26	25	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
27	18, 12	sseldd 3974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
28	27	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
29	22	eqcomi 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
31	5	recnd 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32	1	recnd 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
33	24	recnd 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
34	31, 32, 33	subaddd 11614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
35	30, 34	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
36	35	eqcomd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
37	36	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋))
38	2	recnd 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
39	32, 33, 38	add32d 11466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
40	37, 39	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
41		iocgtlb 44946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ 𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
42	4, 7, 20, 41	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
43	3, 21, 24, 42	ltadd1dd 11850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇) < (𝑊 + 𝑇))
44	40, 43	eqbrtrd 5166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
45	44	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
46		fourierdlem19.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
48		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑊)
49		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑊))
50	49	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑊) / 𝑇))
51	50	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
52	51	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
53	48, 52	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
54	53	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑊) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
55	5, 21	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑊) ∈ ℝ)
56		fourierdlem19.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
57	1, 5	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
58	56, 57	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
59	58, 22	breqtrrdi 5186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
60	59	gt0ne0d 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
61	55, 24, 60	redivcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑊) / 𝑇) ∈ ℝ)
62	61	flcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
63	62	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
64	63, 24	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
65	21, 64	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
66	47, 54, 21, 65	fvmptd 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
67	66, 65	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) ∈ ℝ)
68	67	recnd 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) ∈ ℂ)
69	68	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐸‘𝑊) ∈ ℂ)
70	64	recnd 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
71	70	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
72	33	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	subsubd 11624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
74	73	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) = ((𝐸‘𝑊) − (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
75	5, 27	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑍) ∈ ℝ)
76	75, 24, 60	redivcld 12067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑍) / 𝑇) ∈ ℝ)
77	76	flcld 13790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
78	77	zred 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
79	78	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
80	24	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ)
81	79, 80	remulcld 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
82	63	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
83	82, 80	remulcld 11269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
84	83, 80	resubcld 11667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) ∈ ℝ)
85	67	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐸‘𝑊) ∈ ℝ)
86	78, 24	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
87	86	recnd 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
88	87, 33	pncand 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
89	88	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
90	89	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
91	81, 80	readdcld 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ∈ ℝ)
92	78	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℂ)
93	92, 33	adddirp1d 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇))
94	93	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
95	94	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
96		1red 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 1 ∈ ℝ)
97	79, 96	readdcld 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ∈ ℝ)
98		0red 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
99	98, 24, 59	ltled 11387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑇)
100	99	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 0 ≤ 𝑇)
101	85, 28	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) ∈ ℝ)
102	21	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑊 ∈ ℝ)
103	85, 102	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − 𝑊) ∈ ℝ)
104	24, 59	elrpd 13040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
105	104	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
106		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑊 < 𝑍)
107	102, 28, 85, 106	ltsub2dd 11852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) < ((𝐸‘𝑊) − 𝑊))
108	101, 103, 105, 107	ltdiv1dd 13100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇) < (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
109		fourierdlem19.ezew	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) = (𝐸‘𝑊))
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
111		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑍))
112	111	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑍) / 𝑇))
113	112	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)))
114	113	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
115	110, 114	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
116	115	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
117	27, 86	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
118	47, 116, 27, 117	fvmptd 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
119	109, 118	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
120	119	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) = ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍))
121	27	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
122	121, 87	pncan2d 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
123	120, 122	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
124	123	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
125	92, 33, 60	divcan4d 12021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)))
126	124, 125	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
127	126	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
128	66	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − 𝑊) = ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊))
129	128	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇) = (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇))
130	21	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ)
131	130, 70	pncan2d 11598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
132	131	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
133	63	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℂ)
134	133, 33, 60	divcan4d 12021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
135	129, 132, 134	3eqtrrd 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
136	135	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
137	108, 127, 136	3brtr4d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
138	77	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
139	62	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
140		zltp1le 12637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇))))
141	138, 139, 140	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇))))
142	137, 141	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
143	97, 82, 80, 100, 142	lemul1ad 12178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
144	95, 143	eqbrtrd 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
145	91, 83, 80, 144	lesub1dd 11855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
146	90, 145	eqbrtrd 5166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
147	81, 84, 85, 146	lesub2dd 11856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) ≤ ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
148	74, 147	eqbrtrd 5166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) ≤ ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
149	66	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑊))
150	68, 70, 130	subadd2d 11615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊 ↔ (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑊)))
151	149, 150	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊)
152	151	eqcomd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
153	152	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
154	153	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
155	118	eqcomd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑍))
156	1	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
157		iocssre 13431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
158	156, 5, 157	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
159	1, 5, 56, 22, 46	fourierdlem4 45558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
160	159, 27	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) ∈ (𝐴(,]𝐵))
161	158, 160	sseldd 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) ∈ ℝ)
162	161	recnd 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) ∈ ℂ)
163	162, 87, 121	subadd2d 11615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑍) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍 ↔ (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑍)))
164	155, 163	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑍) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍)
165	109	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑍) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
166	164, 165	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
167	166	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑍 = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
168	148, 154, 167	3brtr4d 5176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ≤ 𝑍)
169	16, 26, 28, 45, 168	ltletrd 11399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < 𝑍)
170	16, 28	ltnled 11386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐵 + 𝑋) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋)))
171	169, 170	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
172	15, 171	pm2.65da 815	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ∃wrex 3060 {crab 3419 ⊆ wss 3941 class class class wbr 5144 ↦ cmpt 5227 ‘cfv 6543 (class class class)co 7413 ℂcc 11131 ℝcr 11132 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 · cmul 11138 ℝ^*cxr 11272 < clt 11273 ≤ cle 11274 − cmin 11469 / cdiv 11896 ℤcz 12583 ℝ⁺crp 13001 (,]cioc 13352 ⌊cfl 13782

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-sup 9460 df-inf 9461 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-rp 13002 df-ioc 13356 df-fl 13784

This theorem is referenced by: fourierdlem51 45604

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