fourierdlem19 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem19 41975

Description: If two elements of 𝐷 have the same periodic image in (𝐴(,]𝐵) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem19.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem19.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem19.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem19.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem19.d	⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
fourierdlem19.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem19.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem19.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐷)
fourierdlem19.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐷)
fourierdlem19.ezew	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) = (𝐸‘𝑊))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem19	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑦,𝐴 𝑥,𝐵 𝑦,𝐵 𝑥,𝑇 𝑥,𝑊 𝑦,𝑋 𝑥,𝑍 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑘) 𝐴(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑘) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑘) 𝑇(𝑦,𝑘) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑘) 𝑊(𝑦,𝑘) 𝑋(𝑥,𝑘) 𝑍(𝑦,𝑘)

**Proof of Theorem fourierdlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem19.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem19.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
5		fourierdlem19.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5, 2	readdcld 10523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 10544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
8		fourierdlem19.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
9		ssrab2 3983	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
10	8, 9	eqsstri 3928	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
11		fourierdlem19.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐷)
12	10, 11	sseldi 3893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
13		iocleub 41341	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
14	4, 7, 12, 13	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
15	14	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
16	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
17		iocssre 12670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
18	4, 6, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
19		fourierdlem19.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐷)
20	10, 19	sseldi 3893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
21	18, 20	sseldd 3896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
22		fourierdlem19.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
23	5, 1	resubcld 10922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl5eqel 2889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
25	21, 24	readdcld 10523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
26	25	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
27	18, 12	sseldd 3896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
29	22	eqcomi 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
31	5	recnd 10522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32	1	recnd 10522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
33	24	recnd 10522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
34	31, 32, 33	subaddd 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
35	30, 34	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
36	35	eqcomd 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
37	36	oveq1d 7038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋))
38	2	recnd 10522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
39	32, 33, 38	add32d 10720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
40	37, 39	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
41		iocgtlb 41340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^* ∧ 𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
42	4, 7, 20, 41	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
43	3, 21, 24, 42	ltadd1dd 11105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇) < (𝑊 + 𝑇))
44	40, 43	eqbrtrd 4990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
46		fourierdlem19.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
48		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑊)
49		oveq2 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑊))
50	49	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑊) / 𝑇))
51	50	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
52	51	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
53	48, 52	oveq12d 7041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑊) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
55	5, 21	resubcld 10922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑊) ∈ ℝ)
56		fourierdlem19.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
57	1, 5	posdifd 11081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
58	56, 57	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
59	58, 22	syl6breqr 5010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
60	59	gt0ne0d 11058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
61	55, 24, 60	redivcld 11322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑊) / 𝑇) ∈ ℝ)
62	61	flcld 13022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
63	62	zred 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
64	63, 24	remulcld 10524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
65	21, 64	readdcld 10523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
66	47, 54, 21, 65	fvmptd 6648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
67	66, 65	eqeltrd 2885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) ∈ ℝ)
68	67	recnd 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) ∈ ℂ)
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐸‘𝑊) ∈ ℂ)
70	64	recnd 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
71	70	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
72	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	subsubd 10879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
74	73	eqcomd 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) = ((𝐸‘𝑊) − (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
75	5, 27	resubcld 10922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑍) ∈ ℝ)
76	75, 24, 60	redivcld 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑍) / 𝑇) ∈ ℝ)
77	76	flcld 13022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
78	77	zred 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
79	78	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
80	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ)
81	79, 80	remulcld 10524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
82	63	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
83	82, 80	remulcld 10524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
84	83, 80	resubcld 10922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) ∈ ℝ)
85	67	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐸‘𝑊) ∈ ℝ)
86	78, 24	remulcld 10524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
87	86	recnd 10522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
88	87, 33	pncand 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
89	88	eqcomd 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
90	89	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
91	81, 80	readdcld 10523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ∈ ℝ)
92	78	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℂ)
93	92, 33	adddirp1d 10520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇))
94	93	eqcomd 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
96		1red 10495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 1 ∈ ℝ)
97	79, 96	readdcld 10523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ∈ ℝ)
98		0red 10497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
99	98, 24, 59	ltled 10641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑇)
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 0 ≤ 𝑇)
101	85, 28	resubcld 10922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) ∈ ℝ)
102	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑊 ∈ ℝ)
103	85, 102	resubcld 10922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − 𝑊) ∈ ℝ)
104	24, 59	elrpd 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
106		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑊 < 𝑍)
107	102, 28, 85, 106	ltsub2dd 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) < ((𝐸‘𝑊) − 𝑊))
108	101, 103, 105, 107	ltdiv1dd 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇) < (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
109		fourierdlem19.ezew	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) = (𝐸‘𝑊))
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
111		oveq2 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑍))
112	111	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑍) / 𝑇))
113	112	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)))
114	113	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
115	110, 114	oveq12d 7041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
117	27, 86	readdcld 10523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
118	47, 116, 27, 117	fvmptd 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
119	109, 118	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
120	119	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) = ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍))
121	27	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
122	121, 87	pncan2d 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
123	120, 122	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
124	123	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
125	92, 33, 60	divcan4d 11276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)))
126	124, 125	eqtr2d 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
128	66	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − 𝑊) = ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊))
129	128	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇) = (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇))
130	21	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ)
131	130, 70	pncan2d 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
132	131	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
133	63	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℂ)
134	133, 33, 60	divcan4d 11276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
135	129, 132, 134	3eqtrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸‘𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
137	108, 127, 136	3brtr4d 5000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
138	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
139	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
140		zltp1le 11886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇))))
141	138, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇))))
142	137, 141	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)))
143	97, 82, 80, 100, 142	lemul1ad 11433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
144	95, 143	eqbrtrd 4990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
145	91, 83, 80, 144	lesub1dd 11110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
146	90, 145	eqbrtrd 4990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
147	81, 84, 85, 146	lesub2dd 11111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐸‘𝑊) − (((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) ≤ ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
148	74, 147	eqbrtrd 4990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) ≤ ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
149	66	eqcomd 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑊))
150	68, 70, 130	subadd2d 10870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊 ↔ (𝑊 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑊)))
151	149, 150	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊)
152	151	eqcomd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
153	152	oveq1d 7038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
154	153	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
155	118	eqcomd 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑍))
156	1	rexrd 10544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
157		iocssre 12670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
158	156, 5, 157	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
159	1, 5, 56, 22, 46	fourierdlem4 41960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
160	159, 27	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) ∈ (𝐴(,]𝐵))
161	158, 160	sseldd 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) ∈ ℝ)
162	161	recnd 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑍) ∈ ℂ)
163	162, 87, 121	subadd2d 10870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑍) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍 ↔ (𝑍 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑍)))
164	155, 163	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑍) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍)
165	109	oveq1d 7038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑍) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
166	164, 165	eqtr3d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
167	166	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → 𝑍 = ((𝐸‘𝑊) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
168	148, 154, 167	3brtr4d 5000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ≤ 𝑍)
169	16, 26, 28, 45, 168	ltletrd 10653	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < 𝑍)
170	16, 28	ltnled 10640	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ((𝐵 + 𝑋) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋)))
171	169, 170	mpbid 233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍) → ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
172	15, 171	pm2.65da 813	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 = wceq 1525 ∈ wcel 2083 ∃wrex 3108 {crab 3111 ⊆ wss 3865 class class class wbr 4968 ↦ cmpt 5047 ‘cfv 6232 (class class class)co 7023 ℂcc 10388 ℝcr 10389 0cc0 10390 1c1 10391 + caddc 10393 · cmul 10395 ℝ^*cxr 10527 < clt 10528 ≤ cle 10529 − cmin 10723 / cdiv 11151 ℤcz 11835 ℝ⁺crp 12243 (,]cioc 12593 ⌊cfl 13014

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1781 ax-4 1795 ax-5 1892 ax-6 1951 ax-7 1996 ax-8 2085 ax-9 2093 ax-10 2114 ax-11 2128 ax-12 2143 ax-13 2346 ax-ext 2771 ax-sep 5101 ax-nul 5108 ax-pow 5164 ax-pr 5228 ax-un 7326 ax-cnex 10446 ax-resscn 10447 ax-1cn 10448 ax-icn 10449 ax-addcl 10450 ax-addrcl 10451 ax-mulcl 10452 ax-mulrcl 10453 ax-mulcom 10454 ax-addass 10455 ax-mulass 10456 ax-distr 10457 ax-i2m1 10458 ax-1ne0 10459 ax-1rid 10460 ax-rnegex 10461 ax-rrecex 10462 ax-cnre 10463 ax-pre-lttri 10464 ax-pre-lttrn 10465 ax-pre-ltadd 10466 ax-pre-mulgt0 10467 ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1528 df-ex 1766 df-nf 1770 df-sb 2045 df-mo 2578 df-eu 2614 df-clab 2778 df-cleq 2790 df-clel 2865 df-nfc 2937 df-ne 2987 df-nel 3093 df-ral 3112 df-rex 3113 df-reu 3114 df-rmo 3115 df-rab 3116 df-v 3442 df-sbc 3712 df-csb 3818 df-dif 3868 df-un 3870 df-in 3872 df-ss 3880 df-pss 3882 df-nul 4218 df-if 4388 df-pw 4461 df-sn 4479 df-pr 4481 df-tp 4483 df-op 4485 df-uni 4752 df-iun 4833 df-br 4969 df-opab 5031 df-mpt 5048 df-tr 5071 df-id 5355 df-eprel 5360 df-po 5369 df-so 5370 df-fr 5409 df-we 5411 df-xp 5456 df-rel 5457 df-cnv 5458 df-co 5459 df-dm 5460 df-rn 5461 df-res 5462 df-ima 5463 df-pred 6030 df-ord 6076 df-on 6077 df-lim 6078 df-suc 6079 df-iota 6196 df-fun 6234 df-fn 6235 df-f 6236 df-f1 6237 df-fo 6238 df-f1o 6239 df-fv 6240 df-riota 6984 df-ov 7026 df-oprab 7027 df-mpo 7028 df-om 7444 df-wrecs 7805 df-recs 7867 df-rdg 7905 df-er 8146 df-en 8365 df-dom 8366 df-sdom 8367 df-sup 8759 df-inf 8760 df-pnf 10530 df-mnf 10531 df-xr 10532 df-ltxr 10533 df-le 10534 df-sub 10725 df-neg 10726 df-div 11152 df-nn 11493 df-n0 11752 df-z 11836 df-uz 12098 df-rp 12244 df-ioc 12597 df-fl 13016

This theorem is referenced by: fourierdlem51 42006

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