Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem19 44832
Description: If two elements of ๐ท have the same periodic image in (๐ด(,]๐ต) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem19.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem19.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem19.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem19.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem19.d ๐ท = {๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)) โˆฃ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ + (๐‘˜ ยท ๐‘‡)) โˆˆ ๐ถ}
fourierdlem19.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem19.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
fourierdlem19.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐ท)
fourierdlem19.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
fourierdlem19.ezew (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘Š))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem19 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘Š < ๐‘)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘˜)

Proof of Theorem fourierdlem19
StepHypRef Expression
1 fourierdlem19.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 fourierdlem19.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‹) โˆˆ โ„)
43rexrd 11263 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‹) โˆˆ โ„*)
5 fourierdlem19.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65, 2readdcld 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐‘‹) โˆˆ โ„)
76rexrd 11263 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐‘‹) โˆˆ โ„*)
8 fourierdlem19.d . . . . . 6 ๐ท = {๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)) โˆฃ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ + (๐‘˜ ยท ๐‘‡)) โˆˆ ๐ถ}
9 ssrab2 4077 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)) โˆฃ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ + (๐‘˜ ยท ๐‘‡)) โˆˆ ๐ถ} โŠ† ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹))
108, 9eqsstri 4016 . . . . 5 ๐ท โŠ† ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹))
11 fourierdlem19.z . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
1210, 11sselid 3980 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)))
13 iocleub 44206 . . . 4 (((๐ด + ๐‘‹) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต + ๐‘‹) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ต + ๐‘‹))
144, 7, 12, 13syl3anc 1371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ต + ๐‘‹))
1514adantr 481 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ต + ๐‘‹))
166adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐ต + ๐‘‹) โˆˆ โ„)
17 iocssre 13403 . . . . . . . 8 (((๐ด + ๐‘‹) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต + ๐‘‹) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)) โŠ† โ„)
184, 6, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)) โŠ† โ„)
19 fourierdlem19.w . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐ท)
2010, 19sselid 3980 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹)))
2118, 20sseldd 3983 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
22 fourierdlem19.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
235, 1resubcld 11641 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
2422, 23eqeltrid 2837 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
2521, 24readdcld 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š + ๐‘‡) โˆˆ โ„)
2625adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐‘Š + ๐‘‡) โˆˆ โ„)
2718, 12sseldd 3983 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2827adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2922eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡)
315recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
321recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3324recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
3431, 32, 33subaddd 11588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡ โ†” (๐ด + ๐‘‡) = ๐ต))
3530, 34mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‡) = ๐ต)
3635eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
3736oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐‘‹) = ((๐ด + ๐‘‡) + ๐‘‹))
382recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
3932, 33, 38add32d 11440 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐‘‡) + ๐‘‹) = ((๐ด + ๐‘‹) + ๐‘‡))
4037, 39eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐‘‹) = ((๐ด + ๐‘‹) + ๐‘‡))
41 iocgtlb 44205 . . . . . . . 8 (((๐ด + ๐‘‹) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต + ๐‘‹) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ ((๐ด + ๐‘‹)(,](๐ต + ๐‘‹))) โ†’ (๐ด + ๐‘‹) < ๐‘Š)
424, 7, 20, 41syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‹) < ๐‘Š)
433, 21, 24, 42ltadd1dd 11824 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐‘‹) + ๐‘‡) < (๐‘Š + ๐‘‡))
4440, 43eqbrtrd 5170 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐‘‹) < (๐‘Š + ๐‘‡))
4544adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐ต + ๐‘‹) < (๐‘Š + ๐‘‡))
46 fourierdlem19.e . . . . . . . . . . . . 13 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Š)
49 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ต โˆ’ ๐‘Š))
5049oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡) = ((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))
5150fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)))
5251oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
5348, 52oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
555, 21resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Š) โˆˆ โ„)
56 fourierdlem19.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
571, 5posdifd 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
5856, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
5958, 22breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
6059gt0ne0d 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
6155, 24, 60redivcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
6261flcld 13762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
6362zred 12665 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6463, 24remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
6521, 64readdcld 11242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6647, 54, 21, 65fvmptd 7005 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Š) = (๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
6766, 65eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„)
6867recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„‚)
6968adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„‚)
7064recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
7170adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
7233adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
7369, 71, 72subsubd 11598 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡)) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
7473eqcomd 2738 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡)))
755, 27resubcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
7675, 24, 60redivcld 12041 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
7776flcld 13762 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
7877zred 12665 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7978adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
8024adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
8179, 80remulcld 11243 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
8263adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
8382, 80remulcld 11243 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
8483, 80resubcld 11641 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„)
8567adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„)
8678, 24remulcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
8786recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
8887, 33pncand 11571 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
8988eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡))
9089adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡))
9181, 80readdcld 11242 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) โˆˆ โ„)
9278recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
9392, 33adddirp1d 11239 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) ยท ๐‘‡) = (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡))
9493eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) = (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) ยท ๐‘‡))
9594adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) = (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) ยท ๐‘‡))
96 1red 11214 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9779, 96readdcld 11242 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ โ„)
98 0red 11216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
9998, 24, 59ltled 11361 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‡)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‡)
10185, 28resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
10221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
10385, 102resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š) โˆˆ โ„)
10424, 59elrpd 13012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
106 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘Š < ๐‘)
107102, 28, 85, 106ltsub2dd 11826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) < ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š))
108101, 103, 105, 107ltdiv1dd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡) < (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))
109 fourierdlem19.ezew . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘Š))
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘)
111 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ต โˆ’ ๐‘))
112111oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡) = ((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡))
113112fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)))
114113oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
115110, 114oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
11727, 86readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
11847, 116, 27, 117fvmptd 7005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
119109, 118eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Š) = (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
120119oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) = ((๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘))
12127recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
122121, 87pncan2d 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
123120, 122eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
124123oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡) = (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡))
12592, 33, 60divcan4d 11995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)))
126124, 125eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡))
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡))
12866oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š) = ((๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Š))
129128oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡) = (((๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))
13021recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
131130, 70pncan2d 11572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Š) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
132131oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡) = (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡))
13363recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
134133, 33, 60divcan4d 11995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)))
135129, 132, 1343eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))
137108, 127, 1363brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) < (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)))
13877adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
13962adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
140 zltp1le 12611 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) < (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โ†” ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))))
141138, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) < (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) โ†” ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡))))
142137, 141mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)))
14397, 82, 80, 100, 142lemul1ad 12152 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) + 1) ยท ๐‘‡) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
14495, 143eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
14591, 83, 80, 144lesub1dd 11829 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡) โ‰ค (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡))
14690, 145eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โ‰ค (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡))
14781, 84, 85, 146lesub2dd 11830 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆ’ ๐‘‡)) โ‰ค ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
14874, 147eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) โ‰ค ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
14966eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐ธโ€˜๐‘Š))
15068, 70, 130subadd2d 11589 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = ๐‘Š โ†” (๐‘Š + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐ธโ€˜๐‘Š)))
151149, 150mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = ๐‘Š)
152151eqcomd 2738 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
153152oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š + ๐‘‡) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
154153adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐‘Š + ๐‘‡) = (((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Š) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
155118eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐ธโ€˜๐‘))
1561rexrd 11263 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
157 iocssre 13403 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด(,]๐ต) โŠ† โ„)
158156, 5, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(,]๐ต) โŠ† โ„)
1591, 5, 56, 22, 46fourierdlem4 44817 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:โ„โŸถ(๐ด(,]๐ต))
160159, 27ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
161158, 160sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
162161recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
163162, 87, 121subadd2d 11589 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = ๐‘ โ†” (๐‘ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐ธโ€˜๐‘)))
164155, 163mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = ๐‘)
165109oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
166164, 165eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
167166adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ๐‘ = ((๐ธโ€˜๐‘Š) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
168148, 154, 1673brtr4d 5180 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐‘Š + ๐‘‡) โ‰ค ๐‘)
16916, 26, 28, 45, 168ltletrd 11373 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ (๐ต + ๐‘‹) < ๐‘)
17016, 28ltnled 11360 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ((๐ต + ๐‘‹) < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค (๐ต + ๐‘‹)))
171169, 170mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š < ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค (๐ต + ๐‘‹))
17215, 171pm2.65da 815 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘Š < ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  (,]cioc 13324  โŒŠcfl 13754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ioc 13328  df-fl 13756
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  44863
  Copyright terms: Public domain W3C validator