MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 16835
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
21oveq2d 7442 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑0)))
3 oveq1 7433 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
42, 3eqeq12d 2744 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
65oveq2d 7442 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
7 oveq1 7433 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
86, 7eqeq12d 2744 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
9 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
109oveq2d 7442 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))))
11 oveq1 7433 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1210, 11eqeq12d 2744 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
13 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑-𝑦))
1413oveq2d 7442 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)))
15 oveq1 7433 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1614, 15eqeq12d 2744 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
17 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
1817oveq2d 7442 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)))
19 oveq1 7433 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
2018, 19eqeq12d 2744 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
21 pc1 16831 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
2221adantr 479 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23 qcn 12985 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524exp0d 14144 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴↑0) = 1)
2625oveq2d 7442 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (𝑃 pCnt 1))
27 pcqcl 16832 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2827zcnd 12705 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
2928mul02d 11450 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2778 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
31 oveq1 7433 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
32 expp1 14073 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3324, 32sylan 578 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3433oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
35 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
36 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℚ)
37 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
38 nn0z 12621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
3938adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 qexpclz 14086 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4224adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342, 37, 39expne0d 14156 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
44 pcqmul 16829 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1376 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4634, 45eqtrd 2768 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
47 nn0cn 12520 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
4847adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
4928adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
5048, 49adddirp1d 11278 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5146, 50eqeq12d 2744 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴))))
5231, 51imbitrrid 245 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5352ex 411 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
54 negeq 11490 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
55 nnnn0 12517 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
56 expneg 14074 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
5724, 55, 56syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
5857oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))))
59 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6055, 41sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
6155, 43sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
62 pcrec 16834 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6359, 60, 61, 62syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6458, 63eqtrd 2768 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
65 nncn 12258 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
66 mulneg1 11688 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
6765, 28, 66syl2anr 595 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
6864, 67eqeq12d 2744 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
6954, 68imbitrrid 245 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7069ex 411 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
714, 8, 12, 16, 20, 30, 53, 70zindd 12701 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
72713impia 1114 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  (class class class)co 7426  cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  -cneg 11483   / cdiv 11909  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596  cq 12970  cexp 14066  cprime 16649   pCnt cpc 16812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-pc 16813
This theorem is referenced by:  qexpz  16877  expnprm  16878  dchrisum0flblem1  27461  dchrisum0flblem2  27462  aks4d1p7d1  41585  aks6d1c2p2  41622  aks6d1c7  41688
  Copyright terms: Public domain W3C validator