MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 16797
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘0))
21oveq2d 7418 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)))
3 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
42, 3eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)) = (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
5 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘ฆ))
65oveq2d 7418 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
7 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
86, 7eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
9 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1)))
109oveq2d 7418 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))))
11 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
1210, 11eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
13 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘-๐‘ฆ))
1413oveq2d 7418 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)))
15 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
1614, 15eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
17 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘))
1817oveq2d 7418 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)))
19 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
2018, 19eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
21 pc1 16793 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 1) = 0)
2221adantr 480 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt 1) = 0)
23 qcn 12946 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2423ad2antrl 725 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524exp0d 14106 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2625oveq2d 7418 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)) = (๐‘ƒ pCnt 1))
27 pcqcl 16794 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12666 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928mul02d 11411 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2774 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)) = (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
31 oveq1 7409 . . . . 5 ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
32 expp1 14035 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด))
3324, 32sylan 579 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด))
3433oveq2d 7418 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด)))
35 simpll 764 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
36 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
37 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
38 nn0z 12582 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
40 qexpclz 14048 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
4224adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342, 37, 39expne0d 14118 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0)
44 pcqmul 16791 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1376 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
4634, 45eqtrd 2764 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
47 nn0cn 12481 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4928adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5048, 49adddirp1d 11239 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
5146, 50eqeq12d 2740 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
5231, 51imbitrrid 245 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
5352ex 412 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))))
54 negeq 11451 . . . . 5 ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
55 nnnn0 12478 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
56 expneg 14036 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘ฆ) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
5724, 55, 56syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘ฆ) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
5857oveq2d 7418 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (๐‘ƒ pCnt (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ))))
59 simpll 764 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6055, 41sylan2 592 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
6155, 43sylan2 592 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0)
62 pcrec 16796 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ))) = -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
6359, 60, 61, 62syl12anc 834 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ))) = -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
6458, 63eqtrd 2764 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
65 nncn 12219 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
66 mulneg1 11649 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
6765, 28, 66syl2anr 596 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
6864, 67eqeq12d 2740 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
6954, 68imbitrrid 245 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
7069ex 412 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))))
714, 8, 12, 16, 20, 30, 53, 70zindd 12662 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
72713impia 1114 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„šcq 12931  โ†‘cexp 14028  โ„™cprime 16611   pCnt cpc 16774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-gcd 16439  df-prm 16612  df-pc 16775
This theorem is referenced by:  qexpz  16839  expnprm  16840  dchrisum0flblem1  27381  dchrisum0flblem2  27382  aks4d1p7d1  41453  aks6d1c2p2  41486
  Copyright terms: Public domain W3C validator