MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 16827
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘0))
21oveq2d 7436 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)))
3 oveq1 7427 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
42, 3eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)) = (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
5 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘ฆ))
65oveq2d 7436 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
7 oveq1 7427 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
86, 7eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
9 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1)))
109oveq2d 7436 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))))
11 oveq1 7427 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
1210, 11eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
13 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘-๐‘ฆ))
1413oveq2d 7436 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)))
15 oveq1 7427 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
1614, 15eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
17 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘))
1817oveq2d 7436 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)))
19 oveq1 7427 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
2018, 19eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
21 pc1 16823 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 1) = 0)
2221adantr 480 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt 1) = 0)
23 qcn 12977 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2423ad2antrl 727 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524exp0d 14136 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2625oveq2d 7436 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)) = (๐‘ƒ pCnt 1))
27 pcqcl 16824 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12697 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928mul02d 11442 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2778 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘0)) = (0 ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
31 oveq1 7427 . . . . 5 ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
32 expp1 14065 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด))
3324, 32sylan 579 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด))
3433oveq2d 7436 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด)))
35 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
36 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
37 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
38 nn0z 12613 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
40 qexpclz 14078 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
4224adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342, 37, 39expne0d 14148 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0)
44 pcqmul 16821 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1377 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) ยท ๐ด)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
4634, 45eqtrd 2768 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
47 nn0cn 12512 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4928adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5048, 49adddirp1d 11270 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
5146, 50eqeq12d 2744 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
5231, 51imbitrrid 245 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
5352ex 412 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘(๐‘ฆ + 1))) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))))
54 negeq 11482 . . . . 5 ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
55 nnnn0 12509 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
56 expneg 14066 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘ฆ) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
5724, 55, 56syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘ฆ) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
5857oveq2d 7436 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (๐‘ƒ pCnt (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ))))
59 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6055, 41sylan2 592 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
6155, 43sylan2 592 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0)
62 pcrec 16826 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ดโ†‘๐‘ฆ) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ))) = -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
6359, 60, 61, 62syl12anc 836 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (1 / (๐ดโ†‘๐‘ฆ))) = -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
6458, 63eqtrd 2768 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)))
65 nncn 12250 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
66 mulneg1 11680 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
6765, 28, 66syl2anr 596 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
6864, 67eqeq12d 2744 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” -(๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = -(๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
6954, 68imbitrrid 245 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
7069ex 412 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘-๐‘ฆ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))))
714, 8, 12, 16, 20, 30, 53, 70zindd 12693 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
72713impia 1115 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  -cneg 11475   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„šcq 12962  โ†‘cexp 14058  โ„™cprime 16641   pCnt cpc 16804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805
This theorem is referenced by:  qexpz  16869  expnprm  16870  dchrisum0flblem1  27440  dchrisum0flblem2  27441  aks4d1p7d1  41553  aks6d1c2p2  41590  aks6d1c7  41656
  Copyright terms: Public domain W3C validator