MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 16185
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
21oveq2d 7156 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑0)))
3 oveq1 7147 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
42, 3eqeq12d 2838 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
65oveq2d 7156 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
7 oveq1 7147 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
86, 7eqeq12d 2838 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
9 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
109oveq2d 7156 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))))
11 oveq1 7147 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1210, 11eqeq12d 2838 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
13 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑-𝑦))
1413oveq2d 7156 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)))
15 oveq1 7147 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1614, 15eqeq12d 2838 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
17 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
1817oveq2d 7156 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)))
19 oveq1 7147 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
2018, 19eqeq12d 2838 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
21 pc1 16181 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
2221adantr 484 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23 qcn 12350 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524exp0d 13500 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴↑0) = 1)
2625oveq2d 7156 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (𝑃 pCnt 1))
27 pcqcl 16182 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2827zcnd 12076 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
2928mul02d 10827 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2867 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
31 oveq1 7147 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
32 expp1 13432 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3324, 32sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3433oveq2d 7156 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
35 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
36 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℚ)
37 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
38 nn0z 11993 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
3938adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 qexpclz 13446 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4224adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342, 37, 39expne0d 13512 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
44 pcqmul 16179 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1376 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4634, 45eqtrd 2857 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
47 nn0cn 11895 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
4847adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
4928adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
5048, 49adddirp1d 10656 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5146, 50eqeq12d 2838 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴))))
5231, 51syl5ibr 249 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5352ex 416 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
54 negeq 10867 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
55 nnnn0 11892 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
56 expneg 13433 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
5724, 55, 56syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
5857oveq2d 7156 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))))
59 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6055, 41sylan2 595 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
6155, 43sylan2 595 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
62 pcrec 16184 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6359, 60, 61, 62syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6458, 63eqtrd 2857 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
65 nncn 11633 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
66 mulneg1 11065 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
6765, 28, 66syl2anr 599 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
6864, 67eqeq12d 2838 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
6954, 68syl5ibr 249 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7069ex 416 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
714, 8, 12, 16, 20, 30, 53, 70zindd 12071 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
72713impia 1114 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  cq 12336  cexp 13425  cprime 16004   pCnt cpc 16162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163
This theorem is referenced by:  qexpz  16226  expnprm  16227  dchrisum0flblem1  26090  dchrisum0flblem2  26091
  Copyright terms: Public domain W3C validator