MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 16731
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
21oveq2d 7373 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑0)))
3 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
42, 3eqeq12d 2752 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
65oveq2d 7373 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
7 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
86, 7eqeq12d 2752 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
9 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
109oveq2d 7373 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))))
11 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1210, 11eqeq12d 2752 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
13 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑-𝑦))
1413oveq2d 7373 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)))
15 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1614, 15eqeq12d 2752 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
17 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
1817oveq2d 7373 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)))
19 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
2018, 19eqeq12d 2752 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
21 pc1 16727 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23 qcn 12888 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524exp0d 14045 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴↑0) = 1)
2625oveq2d 7373 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (𝑃 pCnt 1))
27 pcqcl 16728 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2827zcnd 12608 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
2928mul02d 11353 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2786 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
31 oveq1 7364 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
32 expp1 13974 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3324, 32sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3433oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
35 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
36 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℚ)
37 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
38 nn0z 12524 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 qexpclz 13987 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4224adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342, 37, 39expne0d 14057 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
44 pcqmul 16725 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1379 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4634, 45eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
47 nn0cn 12423 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
4847adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
4928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
5048, 49adddirp1d 11181 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5146, 50eqeq12d 2752 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴))))
5231, 51syl5ibr 245 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5352ex 413 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
54 negeq 11393 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
55 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
56 expneg 13975 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
5724, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
5857oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))))
59 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6055, 41sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
6155, 43sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
62 pcrec 16730 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6359, 60, 61, 62syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6458, 63eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
65 nncn 12161 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
66 mulneg1 11591 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
6765, 28, 66syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
6864, 67eqeq12d 2752 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
6954, 68syl5ibr 245 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7069ex 413 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
714, 8, 12, 16, 20, 30, 53, 70zindd 12604 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
72713impia 1117 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cq 12873  cexp 13967  cprime 16547   pCnt cpc 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709
This theorem is referenced by:  qexpz  16773  expnprm  16774  dchrisum0flblem1  26856  dchrisum0flblem2  26857  aks4d1p7d1  40539  aks6d1c2p2  40549
  Copyright terms: Public domain W3C validator