MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 15942
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6918 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
21oveq2d 6926 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑0)))
3 oveq1 6917 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
42, 3eqeq12d 2840 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5 oveq2 6918 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
65oveq2d 6926 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
7 oveq1 6917 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
86, 7eqeq12d 2840 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
9 oveq2 6918 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
109oveq2d 6926 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))))
11 oveq1 6917 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1210, 11eqeq12d 2840 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
13 oveq2 6918 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑-𝑦))
1413oveq2d 6926 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)))
15 oveq1 6917 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1614, 15eqeq12d 2840 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
17 oveq2 6918 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
1817oveq2d 6926 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)))
19 oveq1 6917 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
2018, 19eqeq12d 2840 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
21 pc1 15938 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
2221adantr 474 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23 qcn 12092 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrl 719 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524exp0d 13303 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴↑0) = 1)
2625oveq2d 6926 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (𝑃 pCnt 1))
27 pcqcl 15939 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2827zcnd 11818 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
2928mul02d 10560 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2871 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
31 oveq1 6917 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
32 expp1 13168 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3324, 32sylan 575 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3433oveq2d 6926 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
35 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
36 simplrl 795 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℚ)
37 simplrr 796 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
38 nn0z 11735 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
3938adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 qexpclz 13182 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1494 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4224adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342, 37, 39expne0d 13315 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
44 pcqmul 15936 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1502 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4634, 45eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
47 nn0cn 11636 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
4847adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
49 1cnd 10358 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
5028adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
5148, 49, 50adddird 10389 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (1 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5250mulid2d 10382 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
5352oveq2d 6926 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (1 · (𝑃 pCnt 𝐴))) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5451, 53eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5546, 54eqeq12d 2840 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴))))
5631, 55syl5ibr 238 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5756ex 403 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
58 negeq 10600 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
59 nnnn0 11633 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
60 expneg 13169 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
6124, 59, 60syl2an 589 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
6261oveq2d 6926 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))))
63 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6459, 41sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
6559, 43sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
66 pcrec 15941 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6763, 64, 65, 66syl12anc 870 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6862, 67eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
69 nncn 11366 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
70 mulneg1 10797 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
7169, 28, 70syl2anr 590 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
7268, 71eqeq12d 2840 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7358, 72syl5ibr 238 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7473ex 403 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
754, 8, 12, 16, 20, 30, 57, 74zindd 11813 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
76753impia 1149 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  -cneg 10593   / cdiv 11016  cn 11357  0cn0 11625  cz 11711  cq 12078  cexp 13161  cprime 15764   pCnt cpc 15919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-pc 15920
This theorem is referenced by:  qexpz  15983  expnprm  15984  dchrisum0flblem1  25617  dchrisum0flblem2  25618
  Copyright terms: Public domain W3C validator