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Theorem dgrcolem1 26023
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
dgrcolem1.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dgrcolem1.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dgrcolem1.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables 𝑀 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))
32mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = 1 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1)))
43fveq2d 6894 . . . . 5 (𝑦 = 1 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))))
5 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = (1 Β· 𝑁))
64, 5eqeq12d 2746 . . . 4 (𝑦 = 1 β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (1 Β· 𝑁)))
76imbi2d 339 . . 3 (𝑦 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (1 Β· 𝑁))))
8 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))
98mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
109fveq2d 6894 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))))
11 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = (𝑑 Β· 𝑁))
1210, 11eqeq12d 2746 . . . 4 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)))
1312imbi2d 339 . . 3 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁))))
14 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))
1514mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1))))
1615fveq2d 6894 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))))
17 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))
1816, 17eqeq12d 2746 . . . 4 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁)))
1918imbi2d 339 . . 3 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))))
20 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))
2120mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))
2221fveq2d 6894 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
23 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = (𝑀 Β· 𝑁))
2422, 23eqeq12d 2746 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁)))
2524imbi2d 339 . . 3 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))))
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
27 plyf 25947 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3029exp1d 14110 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1) = (πΊβ€˜π‘₯))
3130mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
3228feqmptd 6959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
3331, 32eqtr4d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1)) = 𝐺)
3433fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (degβ€˜πΊ))
35 dgrcolem1.1 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
3634, 35eqtr4di 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = 𝑁)
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3837nncnd 12232 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3938mullidd 11236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· 𝑁) = 𝑁)
4036, 39eqtr4d 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (1 Β· 𝑁))
4129adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
42 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
4443adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
4541, 44expp1d 14116 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)) = (((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
4645mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
47 cnex 11193 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ β„‚ ∈ V)
49 ovexd 7446 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) ∈ V)
50 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
5132adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
5248, 49, 41, 50, 51offval2 7692 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
5346, 52eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1))) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺))
5453fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)))
5554adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)))
56 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
5756adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
58 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)))
59 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (𝑦↑𝑑) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))
6041, 51, 58, 59fmptco 7128 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
61 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
62 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
63 plypow 25954 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6461, 62, 43, 63syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
65 plyssc 25949 . . . . . . . . . . . . 13 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
6626adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6765, 66sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
68 addcl 11194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
6968adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
70 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
7264, 67, 69, 71plyco 25990 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7360, 72eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7473adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
75 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁))
76 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7737adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7876, 77nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 Β· 𝑁) ∈ β„•)
7978nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 Β· 𝑁) β‰  0)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (𝑑 Β· 𝑁) β‰  0)
8175, 80eqnetrd 3006 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) β‰  0)
82 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (degβ€˜0𝑝))
83 dgr0 26012 . . . . . . . . . . . 12 (degβ€˜0𝑝) = 0
8482, 83eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = 0)
8584necon3i 2971 . . . . . . . . . 10 ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) β‰  0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) β‰  0𝑝)
8681, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) β‰  0𝑝)
8767adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
8837nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
89 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜0𝑝))
9089, 83eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΊ) = 0)
9135, 90eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = 0)
9291necon3i 2971 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 β‰  0 β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
9493adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
9594adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
96 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
9796, 35dgrmul 26020 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)) = ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁))
9874, 86, 87, 95, 97syl22anc 835 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)) = ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁))
99 nncn 12224 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
10099adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
10138adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
102100, 101adddirp1d 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑑 + 1) Β· 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
103102adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ ((𝑑 + 1) Β· 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
10457, 98, 1033eqtr4rd 2781 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ ((𝑑 + 1) Β· 𝑁) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)))
10555, 104eqtr4d 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))
106105ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁)))
107106expcom 412 . . . 4 (𝑑 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))))
108107a2d 29 . . 3 (𝑑 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))))
1097, 13, 19, 25, 40, 108nnind 12234 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁)))
1101, 109mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14031  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26024
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