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Theorem dgrcolem1 25787
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
dgrcolem1.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dgrcolem1.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dgrcolem1.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables 𝑀 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))
32mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (𝑦 = 1 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1)))
43fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑦 = 1 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))))
5 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = (1 Β· 𝑁))
64, 5eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑦 = 1 β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (1 Β· 𝑁)))
76imbi2d 341 . . 3 (𝑦 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (1 Β· 𝑁))))
8 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))
98mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
109fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))))
11 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = (𝑑 Β· 𝑁))
1210, 11eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)))
1312imbi2d 341 . . 3 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁))))
14 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))
1514mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1))))
1615fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))))
17 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))
1816, 17eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁)))
1918imbi2d 341 . . 3 (𝑦 = (𝑑 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))))
20 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))
2120mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))
2221fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
23 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 Β· 𝑁) = (𝑀 Β· 𝑁))
2422, 23eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁)))
2524imbi2d 341 . . 3 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑦))) = (𝑦 Β· 𝑁)) ↔ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))))
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
27 plyf 25712 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3029exp1d 14106 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1) = (πΊβ€˜π‘₯))
3130mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
3228feqmptd 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
3331, 32eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1)) = 𝐺)
3433fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (degβ€˜πΊ))
35 dgrcolem1.1 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
3634, 35eqtr4di 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = 𝑁)
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3837nncnd 12228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3938mullidd 11232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· 𝑁) = 𝑁)
4036, 39eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑1))) = (1 Β· 𝑁))
4129adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
42 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
4541, 44expp1d 14112 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)) = (((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
4645mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
47 cnex 11191 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ β„‚ ∈ V)
49 ovexd 7444 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) ∈ V)
50 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
5132adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
5248, 49, 41, 50, 51offval2 7690 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
5346, 52eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1))) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺))
5453fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)))
5554adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)))
56 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
5756adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
58 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)))
59 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (𝑦↑𝑑) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))
6041, 51, 58, 59fmptco 7127 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
61 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
62 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
63 plypow 25719 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6461, 62, 43, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
65 plyssc 25714 . . . . . . . . . . . . 13 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
6626adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6765, 66sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
68 addcl 11192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
6968adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
70 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
7170adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
7264, 67, 69, 71plyco 25755 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑑)) ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7360, 72eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7473adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
75 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁))
76 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7737adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7876, 77nnmulcld 12265 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 Β· 𝑁) ∈ β„•)
7978nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 Β· 𝑁) β‰  0)
8079adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (𝑑 Β· 𝑁) β‰  0)
8175, 80eqnetrd 3009 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) β‰  0)
82 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (degβ€˜0𝑝))
83 dgr0 25776 . . . . . . . . . . . 12 (degβ€˜0𝑝) = 0
8482, 83eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = 0)
8584necon3i 2974 . . . . . . . . . 10 ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) β‰  0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) β‰  0𝑝)
8681, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) β‰  0𝑝)
8767adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
8837nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
89 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜0𝑝))
9089, 83eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΊ) = 0)
9135, 90eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = 0)
9291necon3i 2974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 β‰  0 β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
9493adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
9594adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
96 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)))
9796, 35dgrmul 25784 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)) = ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁))
9874, 86, 87, 95, 97syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)) = ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) + 𝑁))
99 nncn 12220 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
10099adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
10138adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
102100, 101adddirp1d 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑑 + 1) Β· 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
103102adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ ((𝑑 + 1) Β· 𝑁) = ((𝑑 Β· 𝑁) + 𝑁))
10457, 98, 1033eqtr4rd 2784 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ ((𝑑 + 1) Β· 𝑁) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺)))
10555, 104eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))
106105ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁)))
107106expcom 415 . . . 4 (𝑑 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))))
108107a2d 29 . . 3 (𝑑 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑑))) = (𝑑 Β· 𝑁)) β†’ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) Β· 𝑁))))
1097, 13, 19, 25, 40, 108nnind 12230 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁)))
1101, 109mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β†‘cexp 14027  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  25788
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