MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcolem1 26327
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 𝑁 = (deg‘𝐺)
dgrcolem1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dgrcolem1.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dgrcolem1.4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables 𝑤 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑1))
32mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)))
43fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))))
5 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
64, 5eqeq12d 2750 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁)))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑦 = 1 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁))))
8 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑𝑑))
98mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
109fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))))
11 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 · 𝑁) = (𝑑 · 𝑁))
1210, 11eqeq12d 2750 . . . 4 (𝑦 = 𝑑 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)))
1312imbi2d 340 . . 3 (𝑦 = 𝑑 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁))))
14 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))
1514mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))))
1615fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))))
17 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (𝑦 · 𝑁) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))
1816, 17eqeq12d 2750 . . . 4 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁)))
1918imbi2d 340 . . 3 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
20 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑𝑀))
2120mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
2221fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
23 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → (𝑦 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
2422, 23eqeq12d 2750 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁)))
2524imbi2d 340 . . 3 (𝑦 = 𝑀 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))))
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
27 plyf 26251 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2928ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
3029exp1d 14177 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑1) = (𝐺𝑥))
3130mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
3228feqmptd 6976 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
3331, 32eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)) = 𝐺)
3433fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (deg‘𝐺))
35 dgrcolem1.1 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐺)
3634, 35eqtr4di 2792 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = 𝑁)
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3837nncnd 12279 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3938mullidd 11276 . . . 4 (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4036, 39eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁))
4129adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
42 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
4541, 44expp1d 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)) = (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥)))
4645mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥))))
47 cnex 11233 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
49 ovexd 7465 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑𝑑) ∈ V)
50 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
5132adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
5248, 49, 41, 50, 51offval2 7716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥))))
5346, 52eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺))
5453fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺)))
5554adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺)))
56 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
5756adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
58 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)))
59 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦𝑑) = ((𝐺𝑥)↑𝑑))
6041, 51, 58, 59fmptco 7148 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
61 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ℂ ⊆ ℂ)
62 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
63 plypow 26258 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
6461, 62, 43, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
65 plyssc 26253 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
6626adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6765, 66sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
68 addcl 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
70 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
7264, 67, 69, 71plyco 26294 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
7360, 72eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
75 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁))
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ)
7737adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7876, 77nnmulcld 12316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 · 𝑁) ∈ ℕ)
7978nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 · 𝑁) ≠ 0)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑑 · 𝑁) ≠ 0)
8175, 80eqnetrd 3005 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) ≠ 0)
82 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = 0𝑝 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (deg‘0𝑝))
83 dgr0 26316 . . . . . . . . . . . 12 (deg‘0𝑝) = 0
8482, 83eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = 0𝑝 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = 0)
8584necon3i 2970 . . . . . . . . . 10 ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) ≠ 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝)
8681, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝)
8767adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8837nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ≠ 0)
89 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
9089, 83eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
9135, 90eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 = 0𝑝𝑁 = 0)
9291necon3i 2970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
9594adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
96 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
9796, 35dgrmul 26324 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺)) = ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁))
9874, 86, 87, 95, 97syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺)) = ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁))
99 nncn 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℂ)
10099adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℂ)
10138adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
102100, 101adddirp1d 11284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
103102adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
10457, 98, 1033eqtr4rd 2785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘f · 𝐺)))
10555, 104eqtr4d 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))
106105ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁)))
107106expcom 413 . . . 4 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
108107a2d 29 . . 3 (𝑑 ∈ ℕ → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
1097, 13, 19, 25, 40, 108nnind 12281 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁)))
1101, 109mpcom 38 1 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  wss 3962  cmpt 5230  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cn 12263  0cn0 12523  cexp 14098  0𝑝c0p 25717  Polycply 26237  degcdgr 26240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25718  df-ply 26241  df-coe 26243  df-dgr 26244
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26328
  Copyright terms: Public domain W3C validator