Theorem lt3addmuld 45287

Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt3addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt3addmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt3addmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt3addmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt3addmuld.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		2re 12202	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7		lt3addmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9		lt3addmuld.altd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
10		lt3addmuld.bltd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
11	1, 2, 7, 9, 10	lt2addmuld 12374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12		lt3addmuld.cltd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
13	3, 4, 8, 7, 11, 12	lt2addd 11743	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
14	6	recnd 11143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	adddirp1d 11141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17		2p1e3 12265	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
19	18	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
20	16, 19	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
21	13, 20	breqtrd 5118	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149  2c2 12183  3c3 12184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-2 12191  df-3 12192

This theorem is referenced by:  lt4addmuld  45292