Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt3addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt3addmuld 41444
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lt3addmuld.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd (𝜑𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd (𝜑𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lt3addmuld (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld
StepHypRef Expression
1 lt3addmuld.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt3addmuld.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10658 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 lt3addmuld.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7 lt3addmuld.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
86, 7remulcld 10659 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9 lt3addmuld.altd . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐷)
10 lt3addmuld.bltd . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐷)
111, 2, 7, 9, 10lt2addmuld 11875 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12 lt3addmuld.cltd . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
133, 4, 8, 7, 11, 12lt2addd 11251 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
146recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
157recnd 10657 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15adddirp1d 10655 . . 3 (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17 2p1e3 11767 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (2 + 1) = 3)
1918oveq1d 7160 . . 3 (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
2016, 19eqtr3d 2855 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
2113, 20breqtrd 5083 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  2c2 11680  3c3 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-2 11688  df-3 11689
This theorem is referenced by:  lt4addmuld  41449
  Copyright terms: Public domain W3C validator