Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt3addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt3addmuld 43622
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lt3addmuld.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
lt3addmuld.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
lt3addmuld.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
lt3addmuld.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
lt3addmuld.altd (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ท)
lt3addmuld.bltd (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)
lt3addmuld.cltd (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)
Assertion
Ref Expression
lt3addmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท))

Proof of Theorem lt3addmuld
StepHypRef Expression
1 lt3addmuld.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 lt3addmuld.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11189 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
4 lt3addmuld.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
5 2re 12232 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7 lt3addmuld.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
86, 7remulcld 11190 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
9 lt3addmuld.altd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ท)
10 lt3addmuld.bltd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)
111, 2, 7, 9, 10lt2addmuld 12408 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ท))
12 lt3addmuld.cltd . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)
133, 4, 8, 7, 11, 12lt2addd 11783 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < ((2 ยท ๐ท) + ๐ท))
146recnd 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
157recnd 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1614, 15adddirp1d 11186 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท ๐ท) = ((2 ยท ๐ท) + ๐ท))
17 2p1e3 12300 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1817a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) = 3)
1918oveq1d 7373 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท ๐ท) = (3 ยท ๐ท))
2016, 19eqtr3d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ท) + ๐ท) = (3 ยท ๐ท))
2113, 20breqtrd 5132 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194  2c2 12213  3c3 12214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-2 12221  df-3 12222
This theorem is referenced by:  lt4addmuld  43627
  Copyright terms: Public domain W3C validator