Theorem lt3addmuld 46456

Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt3addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt3addmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt3addmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt3addmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt3addmuld.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		2re 12427	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7		lt3addmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11349	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9		lt3addmuld.altd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
10		lt3addmuld.bltd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
11	1, 2, 7, 9, 10	lt2addmuld 12606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12		lt3addmuld.cltd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
13	3, 4, 8, 7, 11, 12	lt2addd 11949	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
14	6	recnd 11347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	adddirp1d 11345	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17		2p1e3 12494	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
19	18	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
20	16, 19	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
21	13, 20	breqtrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   < clt 11353  2c2 12407  3c3 12408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-2 12415  df-3 12416

This theorem is used by:  lt4addmuld  46461