![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lt3addmuld | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
lt3addmuld.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
lt3addmuld.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lt3addmuld.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lt3addmuld.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
lt3addmuld.altd | โข (๐ โ ๐ด < ๐ท) |
lt3addmuld.bltd | โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) |
lt3addmuld.cltd | โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
lt3addmuld | โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lt3addmuld.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | lt3addmuld.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1, 2 | readdcld 11189 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
4 | lt3addmuld.c | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | 2re 12232 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) |
7 | lt3addmuld.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
8 | 6, 7 | remulcld 11190 | . . 3 โข (๐ โ (2 ยท ๐ท) โ โ) |
9 | lt3addmuld.altd | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด < ๐ท) | |
10 | lt3addmuld.bltd | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) | |
11 | 1, 2, 7, 9, 10 | lt2addmuld 12408 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ท)) |
12 | lt3addmuld.cltd | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) | |
13 | 3, 4, 8, 7, 11, 12 | lt2addd 11783 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < ((2 ยท ๐ท) + ๐ท)) |
14 | 6 | recnd 11188 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) |
15 | 7 | recnd 11188 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
16 | 14, 15 | adddirp1d 11186 | . . 3 โข (๐ โ ((2 + 1) ยท ๐ท) = ((2 ยท ๐ท) + ๐ท)) |
17 | 2p1e3 12300 | . . . . 5 โข (2 + 1) = 3 | |
18 | 17 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (2 + 1) = 3) |
19 | 18 | oveq1d 7373 | . . 3 โข (๐ โ ((2 + 1) ยท ๐ท) = (3 ยท ๐ท)) |
20 | 16, 19 | eqtr3d 2775 | . 2 โข (๐ โ ((2 ยท ๐ท) + ๐ท) = (3 ยท ๐ท)) |
21 | 13, 20 | breqtrd 5132 | 1 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11055 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 < clt 11194 2c2 12213 3c3 12214 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-2 12221 df-3 12222 |
This theorem is referenced by: lt4addmuld 43627 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |