![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lt3addmuld | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
lt3addmuld.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
lt3addmuld.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lt3addmuld.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lt3addmuld.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
lt3addmuld.altd | โข (๐ โ ๐ด < ๐ท) |
lt3addmuld.bltd | โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) |
lt3addmuld.cltd | โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
lt3addmuld | โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lt3addmuld.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | lt3addmuld.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1, 2 | readdcld 11273 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
4 | lt3addmuld.c | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | 2re 12316 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) |
7 | lt3addmuld.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
8 | 6, 7 | remulcld 11274 | . . 3 โข (๐ โ (2 ยท ๐ท) โ โ) |
9 | lt3addmuld.altd | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด < ๐ท) | |
10 | lt3addmuld.bltd | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) | |
11 | 1, 2, 7, 9, 10 | lt2addmuld 12492 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ท)) |
12 | lt3addmuld.cltd | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) | |
13 | 3, 4, 8, 7, 11, 12 | lt2addd 11867 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < ((2 ยท ๐ท) + ๐ท)) |
14 | 6 | recnd 11272 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) |
15 | 7 | recnd 11272 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
16 | 14, 15 | adddirp1d 11270 | . . 3 โข (๐ โ ((2 + 1) ยท ๐ท) = ((2 ยท ๐ท) + ๐ท)) |
17 | 2p1e3 12384 | . . . . 5 โข (2 + 1) = 3 | |
18 | 17 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (2 + 1) = 3) |
19 | 18 | oveq1d 7431 | . . 3 โข (๐ โ ((2 + 1) ยท ๐ท) = (3 ยท ๐ท)) |
20 | 16, 19 | eqtr3d 2767 | . 2 โข (๐ โ ((2 ยท ๐ท) + ๐ท) = (3 ยท ๐ท)) |
21 | 13, 20 | breqtrd 5169 | 1 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5143 (class class class)co 7416 โcr 11137 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 < clt 11278 2c2 12297 3c3 12298 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7419 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-2 12305 df-3 12306 |
This theorem is referenced by: lt4addmuld 44751 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |