Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt3addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt3addmuld 44588
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lt3addmuld.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
lt3addmuld.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
lt3addmuld.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
lt3addmuld.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
lt3addmuld.altd (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ท)
lt3addmuld.bltd (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)
lt3addmuld.cltd (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)
Assertion
Ref Expression
lt3addmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท))

Proof of Theorem lt3addmuld
StepHypRef Expression
1 lt3addmuld.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 lt3addmuld.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
4 lt3addmuld.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
5 2re 12290 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7 lt3addmuld.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
86, 7remulcld 11248 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
9 lt3addmuld.altd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ท)
10 lt3addmuld.bltd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)
111, 2, 7, 9, 10lt2addmuld 12466 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ท))
12 lt3addmuld.cltd . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)
133, 4, 8, 7, 11, 12lt2addd 11841 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < ((2 ยท ๐ท) + ๐ท))
146recnd 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
157recnd 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1614, 15adddirp1d 11244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท ๐ท) = ((2 ยท ๐ท) + ๐ท))
17 2p1e3 12358 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1817a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) = 3)
1918oveq1d 7420 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท ๐ท) = (3 ยท ๐ท))
2016, 19eqtr3d 2768 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ท) + ๐ท) = (3 ยท ๐ท))
2113, 20breqtrd 5167 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252  2c2 12271  3c3 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-2 12279  df-3 12280
This theorem is referenced by:  lt4addmuld  44593
  Copyright terms: Public domain W3C validator