Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt3addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt3addmuld 40424
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lt3addmuld.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd (𝜑𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd (𝜑𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lt3addmuld (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld
StepHypRef Expression
1 lt3addmuld.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt3addmuld.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10406 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 lt3addmuld.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 2re 11449 . . . . 5 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7 lt3addmuld.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
86, 7remulcld 10407 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9 lt3addmuld.altd . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐷)
10 lt3addmuld.bltd . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐷)
111, 2, 7, 9, 10lt2addmuld 11632 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12 lt3addmuld.cltd . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
133, 4, 8, 7, 11, 12lt2addd 10998 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
146recnd 10405 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
157recnd 10405 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15adddirp1d 10403 . . 3 (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17 2p1e3 11524 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (2 + 1) = 3)
1918oveq1d 6937 . . 3 (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
2016, 19eqtr3d 2816 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
2113, 20breqtrd 4912 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cr 10271  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  2c2 11430  3c3 11431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-2 11438  df-3 11439
This theorem is referenced by:  lt4addmuld  40429
  Copyright terms: Public domain W3C validator