Theorem lt3addmuld 45412

Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt3addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt3addmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt3addmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt3addmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt3addmuld.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		2re 12199	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7		lt3addmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9		lt3addmuld.altd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
10		lt3addmuld.bltd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
11	1, 2, 7, 9, 10	lt2addmuld 12371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12		lt3addmuld.cltd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
13	3, 4, 8, 7, 11, 12	lt2addd 11740	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
14	6	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	adddirp1d 11138	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17		2p1e3 12262	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
19	18	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
20	16, 19	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
21	13, 20	breqtrd 5115	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146  2c2 12180  3c3 12181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-2 12188  df-3 12189

This theorem is referenced by:  lt4addmuld  45417