Theorem lt3addmuld 43225

Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt3addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt3addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt3addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt3addmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt3addmuld.altd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
lt3addmuld.bltd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
lt3addmuld.cltd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt3addmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Proof of Theorem lt3addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt3addmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt3addmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lt3addmuld.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		2re 12153	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7		lt3addmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ)
9		lt3addmuld.altd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐷)
10		lt3addmuld.bltd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
11	1, 2, 7, 9, 10	lt2addmuld 12329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐷))
12		lt3addmuld.cltd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
13	3, 4, 8, 7, 11, 12	lt2addd 11704	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < ((2 · 𝐷) + 𝐷))
14	6	recnd 11109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	adddirp1d 11107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = ((2 · 𝐷) + 𝐷))
17		2p1e3 12221	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
19	18	oveq1d 7357	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · 𝐷) = (3 · 𝐷))
20	16, 19	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐷) + 𝐷) = (3 · 𝐷))
21	13, 20	breqtrd 5123	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) < (3 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5097  (class class class)co 7342  ℝcr 10976  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982   < clt 11115  2c2 12134  3c3 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-ov 7345  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-2 12142  df-3 12143

This theorem is referenced by:  lt4addmuld  43230