Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt3addmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt3addmuld 44746
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lt3addmuld.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
lt3addmuld.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
lt3addmuld.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
lt3addmuld.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
lt3addmuld.altd (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ท)
lt3addmuld.bltd (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)
lt3addmuld.cltd (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)
Assertion
Ref Expression
lt3addmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท))

Proof of Theorem lt3addmuld
StepHypRef Expression
1 lt3addmuld.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 lt3addmuld.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11273 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
4 lt3addmuld.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
5 2re 12316 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7 lt3addmuld.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
86, 7remulcld 11274 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
9 lt3addmuld.altd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ท)
10 lt3addmuld.bltd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)
111, 2, 7, 9, 10lt2addmuld 12492 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ท))
12 lt3addmuld.cltd . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)
133, 4, 8, 7, 11, 12lt2addd 11867 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < ((2 ยท ๐ท) + ๐ท))
146recnd 11272 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
157recnd 11272 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1614, 15adddirp1d 11270 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท ๐ท) = ((2 ยท ๐ท) + ๐ท))
17 2p1e3 12384 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1817a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) = 3)
1918oveq1d 7431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท ๐ท) = (3 ยท ๐ท))
2016, 19eqtr3d 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ท) + ๐ท) = (3 ยท ๐ท))
2113, 20breqtrd 5169 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278  2c2 12297  3c3 12298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-2 12305  df-3 12306
This theorem is referenced by:  lt4addmuld  44751
  Copyright terms: Public domain W3C validator