![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lt3addmuld | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If three real numbers are less than a fourth real number, the sum of the three real numbers is less than three times the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
lt3addmuld.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
lt3addmuld.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lt3addmuld.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lt3addmuld.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
lt3addmuld.altd | โข (๐ โ ๐ด < ๐ท) |
lt3addmuld.bltd | โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) |
lt3addmuld.cltd | โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
lt3addmuld | โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lt3addmuld.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | lt3addmuld.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1, 2 | readdcld 11247 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
4 | lt3addmuld.c | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | 2re 12290 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) |
7 | lt3addmuld.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
8 | 6, 7 | remulcld 11248 | . . 3 โข (๐ โ (2 ยท ๐ท) โ โ) |
9 | lt3addmuld.altd | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด < ๐ท) | |
10 | lt3addmuld.bltd | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) | |
11 | 1, 2, 7, 9, 10 | lt2addmuld 12466 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ท)) |
12 | lt3addmuld.cltd | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) | |
13 | 3, 4, 8, 7, 11, 12 | lt2addd 11841 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < ((2 ยท ๐ท) + ๐ท)) |
14 | 6 | recnd 11246 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) |
15 | 7 | recnd 11246 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
16 | 14, 15 | adddirp1d 11244 | . . 3 โข (๐ โ ((2 + 1) ยท ๐ท) = ((2 ยท ๐ท) + ๐ท)) |
17 | 2p1e3 12358 | . . . . 5 โข (2 + 1) = 3 | |
18 | 17 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (2 + 1) = 3) |
19 | 18 | oveq1d 7420 | . . 3 โข (๐ โ ((2 + 1) ยท ๐ท) = (3 ยท ๐ท)) |
20 | 16, 19 | eqtr3d 2768 | . 2 โข (๐ โ ((2 ยท ๐ท) + ๐ท) = (3 ยท ๐ท)) |
21 | 13, 20 | breqtrd 5167 | 1 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) < (3 ยท ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 โcr 11111 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 < clt 11252 2c2 12271 3c3 12272 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-2 12279 df-3 12280 |
This theorem is referenced by: lt4addmuld 44593 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |