Theorem mulgnnass 19324

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
2	1	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
5	4	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
7	6	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
10	9	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
12	11	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
15	14	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
19	17, 18	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
20	19	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21		nncn 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
24	23	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25		sgrpmgm 18918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
28	26, 27	mulgnncl 19304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	25, 28	syl3an1 1181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30	29	3coml 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 27	mulg1 19296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
33	24, 32	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
34		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
35		nncn 12346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
37		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nncnd 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	36, 38	adddirp1d 11338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
40	39	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
41		simpr3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
42		nnmulcl 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
43	42	3ad2antr1 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
44		simpr2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	26, 27, 45	mulgnndir 19318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
48	40, 47	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
49	26, 27, 45	mulgnnp1 19297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
50	30, 49	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
51	48, 50	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
52	34, 51	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
53	52	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
54	53	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 12356	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56	55	3expd 1372	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ Smgrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
57	56	com4r 95	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
58	57	3imp2 1368	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕcn 12338  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  Mgmcmgm 18819  Smgrpcsgrp 18912  ._gcmg 19282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-seq 14148  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mulg 19283

This theorem is used by:  mulgnn0ass  19325