MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnass 18983
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgass.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnnass ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (1 ยท ๐‘))
21oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
3 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
42, 3eqeq12d 2748 . . . . . 6 (๐‘› = 1 โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
54imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
6 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘š ยท ๐‘))
76oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
8 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
97, 8eqeq12d 2748 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
109imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
11 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = ((๐‘š + 1) ยท ๐‘))
1211oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
13 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1412, 13eqeq12d 2748 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
16 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
1716oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
18 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1917, 18eqeq12d 2748 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
21 nncn 12216 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2221mullidd 11228 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
2423oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
25 sgrpmgm 18611 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ๐บ โˆˆ Mgm)
26 mulgass.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
27 mulgass.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2826, 27mulgnncl 18963 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mgm โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2925, 28syl3an1 1163 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
30293coml 1127 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3126, 27mulg1 18955 . . . . . . 7 ((๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โ†’ (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3324, 32eqtr4d 2775 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
34 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
35 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
37 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12224 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3936, 38adddirp1d 11236 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘) = ((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘))
4039oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹))
41 simpr3 1196 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
42 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
43423ad2antr1 1188 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
44 simpr2 1195 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
4626, 27, 45mulgnndir 18977 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ((๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4741, 43, 37, 44, 46syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4840, 47eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4926, 27, 45mulgnnp1 18956 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
5030, 49sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
5148, 50eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹))))
5234, 51imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
5352ex 413 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
555, 10, 15, 20, 33, 54nnind 12226 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
56553expd 1353 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))))
5756com4r 94 . 2 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))))
58573imp2 1349 1 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  โ„•cn 12208  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Mgmcmgm 18555  Smgrpcsgrp 18605  .gcmg 18944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mulg 18945
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  18984
  Copyright terms: Public domain W3C validator