Theorem mulgnnass 19139

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
2	1	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2750	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
7	6	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2750	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
10	9	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
12	11	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2750	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
15	14	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
19	17, 18	eqeq12d 2750	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21		nncn 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
24	23	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25		sgrpmgm 18749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
28	26, 27	mulgnncl 19119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	25, 28	syl3an1 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30	29	3coml 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 27	mulg1 19111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
33	24, 32	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
34		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
35		nncn 12271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
37		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	36, 38	adddirp1d 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
40	39	oveq1d 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
41		simpr3 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
42		nnmulcl 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
43	42	3ad2antr1 1187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
44		simpr2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	26, 27, 45	mulgnndir 19133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
48	40, 47	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
49	26, 27, 45	mulgnnp1 19112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
50	30, 49	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
51	48, 50	eqeq12d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
52	34, 51	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
54	53	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 12281	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56	55	3expd 1352	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ Smgrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
57	56	com4r 94	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
58	57	3imp2 1348	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  ℕcn 12263  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  Mgmcmgm 18663  Smgrpcsgrp 18743  ._gcmg 19097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mulg 19098

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  19140