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Theorem mulgnnass 18911
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnnass ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
21oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
42, 3eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
54imbi2d 340 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
76oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
109imbi2d 340 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
1211oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
1412, 13eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1917, 18eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21 nncn 12161 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2221mulid2d 11173 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
2423oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25 sgrpmgm 18551 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26 mulgass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
27 mulgass.t . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
2826, 27mulgnncl 18891 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2925, 28syl3an1 1163 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30293coml 1127 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3126, 27mulg1 18883 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
3324, 32eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
34 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
35 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
37 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3936, 38adddirp1d 11181 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
4039oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
41 simpr3 1196 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
42 nnmulcl 12177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
43423ad2antr1 1188 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
44 simpr2 1195 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑋𝐵)
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4626, 27, 45mulgnndir 18905 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
4741, 43, 37, 44, 46syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
4840, 47eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
4926, 27, 45mulgnnp1 18884 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5030, 49sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5148, 50eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
5234, 51syl5ibr 245 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
5352ex 413 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
555, 10, 15, 20, 33, 54nnind 12171 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56553expd 1353 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → (𝐺 ∈ Smgrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
5756com4r 94 . 2 (𝐺 ∈ Smgrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
58573imp2 1349 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Mgmcmgm 18495  Smgrpcsgrp 18545  .gcmg 18872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mulg 18873
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  18912
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