MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnass 19036
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgass.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnnass ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (1 ยท ๐‘))
21oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
3 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
42, 3eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘› = 1 โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
54imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
6 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘š ยท ๐‘))
76oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
8 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
97, 8eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
109imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
11 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = ((๐‘š + 1) ยท ๐‘))
1211oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
13 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1412, 13eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
16 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
1716oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
18 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1917, 18eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
21 nncn 12224 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2221mullidd 11236 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
2423oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
25 sgrpmgm 18657 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ๐บ โˆˆ Mgm)
26 mulgass.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
27 mulgass.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2826, 27mulgnncl 19016 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mgm โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2925, 28syl3an1 1160 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
30293coml 1124 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3126, 27mulg1 19008 . . . . . . 7 ((๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โ†’ (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3324, 32eqtr4d 2769 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
34 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
35 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
37 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3936, 38adddirp1d 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘) = ((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘))
4039oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹))
41 simpr3 1193 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
42 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
43423ad2antr1 1185 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
44 simpr2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
4626, 27, 45mulgnndir 19030 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ((๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4741, 43, 37, 44, 46syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4840, 47eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4926, 27, 45mulgnnp1 19009 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
5030, 49sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
5148, 50eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹))))
5234, 51imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
5352ex 412 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
555, 10, 15, 20, 33, 54nnind 12234 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
56553expd 1350 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))))
5756com4r 94 . 2 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))))
58573imp2 1346 1 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Mgmcmgm 18571  Smgrpcsgrp 18651  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  19037
  Copyright terms: Public domain W3C validator