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Theorem mulgnnass 17844
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnnass ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
21oveq1d 6859 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
42, 3eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
54imbi2d 331 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6 oveq1 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
76oveq1d 6859 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
109imbi2d 331 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11 oveq1 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
1211oveq1d 6859 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
1412, 13eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
1514imbi2d 331 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16 oveq1 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq1d 6859 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1917, 18eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
2019imbi2d 331 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21 nncn 11285 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2221mulid2d 10314 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23223ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
2423oveq1d 6859 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25 sgrpmgm 17558 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ SGrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26253anim1i 1191 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵))
27 mulgass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
28 mulgass.t . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
2927, 28mulgnncl 17826 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3026, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31303coml 1157 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3227, 28mulg1 17818 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
3424, 33eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
35 oveq1 6851 . . . . . . . 8 (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
36 nncn 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
38 1cnd 10290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → 1 ∈ ℂ)
39 simpr1 1248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4039nncnd 11294 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4137, 38, 40adddird 10321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
4223adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4342oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → ((𝑚 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
4441, 43eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
4544oveq1d 6859 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
46 simpr3 1252 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → 𝐺 ∈ SGrp)
47 nnmulcl 11301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
48473ad2antr1 1239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
49 simpr2 1250 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → 𝑋𝐵)
50 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5127, 28, 50mulgnndir 17838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5246, 48, 39, 49, 51syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5345, 52eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5427, 28, 50mulgnnp1 17819 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5531, 54sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5653, 55eqeq12d 2780 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
5735, 56syl5ibr 237 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
5857ex 401 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
5958a2d 29 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
605, 10, 15, 20, 34, 59nnind 11296 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ SGrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
61603expd 1462 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → (𝐺 ∈ SGrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
6261com4r 94 . 2 (𝐺 ∈ SGrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
63623imp2 1458 1 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cn 11276  Basecbs 16133  +gcplusg 16217  Mgmcmgm 17509  SGrpcsgrp 17552  .gcmg 17810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-seq 13012  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mulg 17811
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  17845
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