fourierdlem35 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem35 43358

Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem35.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem35.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem35	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

**Proof of Theorem fourierdlem35**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2948	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
2		fourierdlem35.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem35.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		fourierdlem35.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8		fourierdlem35.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
9		fourierdlem35.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fourierdlem35.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13		fourierdlem35.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16		iocssicc 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17		fourierdlem35.iel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
18	16, 17	sseldi 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fourierdlem35.jel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
21	16, 20	sseldi 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22	fourierdlem6 43329	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
24	23	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
25	24	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
27	13	zred 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
29	11	zred 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
32	31	necomd 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐽 ≠ 𝐼)
33	32	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ≠ 𝐼)
34		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
35	28, 30, 33, 34	lttri5d 42511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
36	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
39	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
40	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
43	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44	fourierdlem6 43329	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
46	45	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
47	26, 35, 46	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
48	25, 47	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
49	1, 48	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
50	2	rexrd 10883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
51	4	rexrd 10883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
52		iocleub 42716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
53	50, 51, 20, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
54	53	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
55	2	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	4, 2	resubcld 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
57	8, 56	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
58	29, 57	remulcld 10863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
59	9, 58	readdcld 10862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62		iocgtlb 42715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
63	50, 51, 17, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
64	63	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
65	55, 60, 61, 64	ltadd1dd 11443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
66	8	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
67	4	recnd 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
68	2	recnd 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
69	57	recnd 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	subaddd 11207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
71	66, 70	mpbii 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
72	71	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
73	72	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
74	9	recnd 10861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
75	58	recnd 10861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
76	74, 75, 69	addassd 10855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
78	29	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
79	78, 69	adddirp1d 10859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
80	79	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
81	80	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
82	81	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
85	84	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
86	85	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
87	77, 82, 86	3eqtrrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
88	65, 73, 87	3brtr4d 5085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
89	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
90	27, 57	remulcld 10863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
91	9, 90	readdcld 10862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
92	91	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
93	89, 92	ltnled 10979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
94	88, 93	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
95	54, 94	pm2.65da 817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96		iocleub 42716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	50, 51, 17, 96	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
98	97	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
99	2	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
100	91	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
101	57	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102		iocgtlb 42715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
103	50, 51, 20, 102	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104	103	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
105	99, 100, 101, 104	ltadd1dd 11443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
106	72	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
107	90	recnd 10861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
108	74, 107, 69	addassd 10855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109	108	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
110	27	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
111	110, 69	adddirp1d 10859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112	111	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113	112	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114	113	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116	115	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117	116	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118	117	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119	109, 114, 118	3eqtrrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120	105, 106, 119	3brtr4d 5085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
121	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
122	59	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123	121, 122	ltnled 10979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124	120, 123	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
125	98, 124	pm2.65da 817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
126	95, 125	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127	126	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128		pm4.56 989	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129	127, 128	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
130	49, 129	condan 818	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 ∨ wo 847 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2940 class class class wbr 5053 (class class class)co 7213 ℝcr 10728 1c1 10730 + caddc 10732 · cmul 10734 ℝ^*cxr 10866 < clt 10867 ≤ cle 10868 − cmin 11062 ℤcz 12176 (,]cioc 12936 [,]cicc 12938

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-iun 4906 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-om 7645 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-er 8391 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-div 11490 df-nn 11831 df-n0 12091 df-z 12177 df-rp 12587 df-ioc 12940 df-icc 12942

This theorem is referenced by: fourierdlem51 43373

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