Proof of Theorem fourierdlem35
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neqne 2948 |
. . 3
⊢ (¬
𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽) |
2 | | fourierdlem35.a |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
3 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ) |
4 | | fourierdlem35.b |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
5 | 4 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ) |
6 | | fourierdlem35.altb |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
7 | 6 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵) |
8 | | fourierdlem35.t |
. . . . . . 7
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) |
9 | | fourierdlem35.5 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
10 | 9 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ) |
11 | | fourierdlem35.i |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ) |
12 | 11 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ) |
13 | | fourierdlem35.j |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ) |
14 | 13 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ) |
15 | | simpr 488 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽) |
16 | | iocssicc 13025 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
17 | | fourierdlem35.iel |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
18 | 16, 17 | sseldi 3899 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
19 | 18 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
20 | | fourierdlem35.jel |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
21 | 16, 20 | sseldi 3899 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
22 | 21 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
23 | 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22 | fourierdlem6 43329 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1)) |
24 | 23 | orcd 873 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
25 | 24 | adantlr 715 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
26 | | simpll 767 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑) |
27 | 13 | zred 12282 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ) |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ) |
29 | 11 | zred 12282 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ) |
30 | 26, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ) |
31 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽) |
32 | 31 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐽 ≠ 𝐼) |
33 | 32 | ad2antlr 727 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ≠ 𝐼) |
34 | | simpr 488 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽) |
35 | 28, 30, 33, 34 | lttri5d 42511 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼) |
36 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ) |
37 | 4 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ) |
38 | 6 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵) |
39 | 9 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ) |
40 | 13 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ) |
41 | 11 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ) |
42 | | simpr 488 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼) |
43 | 21 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
44 | 18 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
45 | 36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44 | fourierdlem6 43329 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1)) |
46 | 45 | olcd 874 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
47 | 26, 35, 46 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
48 | 25, 47 | pm2.61dan 813 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
49 | 1, 48 | sylan2 596 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
50 | 2 | rexrd 10883 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
51 | 4 | rexrd 10883 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
52 | | iocleub 42716 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
53 | 50, 51, 20, 52 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
54 | 53 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
55 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
56 | 4, 2 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
57 | 8, 56 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
58 | 29, 57 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ) |
59 | 9, 58 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
60 | 59 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
61 | 57 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
62 | | iocgtlb 42715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
63 | 50, 51, 17, 62 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
64 | 63 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
65 | 55, 60, 61, 64 | ltadd1dd 11443 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇)) |
66 | 8 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇 |
67 | 4 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
68 | 2 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
69 | 57 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
70 | 67, 68, 69 | subaddd 11207 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)) |
71 | 66, 70 | mpbii 236 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵) |
72 | 71 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇)) |
73 | 72 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇)) |
74 | 9 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
75 | 58 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ) |
76 | 74, 75, 69 | addassd 10855 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))) |
77 | 76 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))) |
78 | 29 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ) |
79 | 78, 69 | adddirp1d 10859 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) |
80 | 79 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇)) |
81 | 80 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇))) |
82 | 81 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇))) |
83 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇)) |
84 | 83 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇)) |
85 | 84 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
86 | 85 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
87 | 77, 82, 86 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇)) |
88 | 65, 73, 87 | 3brtr4d 5085 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
89 | 4 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
90 | 27, 57 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ) |
91 | 9, 90 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
92 | 91 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
93 | 89, 92 | ltnled 10979 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)) |
94 | 88, 93 | mpbid 235 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
95 | 54, 94 | pm2.65da 817 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1)) |
96 | | iocleub 42716 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
97 | 50, 51, 17, 96 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
98 | 97 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
99 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
100 | 91 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
101 | 57 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
102 | | iocgtlb 42715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
103 | 50, 51, 20, 102 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
104 | 103 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
105 | 99, 100, 101, 104 | ltadd1dd 11443 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇)) |
106 | 72 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇)) |
107 | 90 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ) |
108 | 74, 107, 69 | addassd 10855 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))) |
109 | 108 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))) |
110 | 27 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ) |
111 | 110, 69 | adddirp1d 10859 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) |
112 | 111 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇)) |
113 | 112 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇))) |
114 | 113 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇))) |
115 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇)) |
116 | 115 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇)) |
117 | 116 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
118 | 117 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
119 | 109, 114,
118 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇)) |
120 | 105, 106,
119 | 3brtr4d 5085 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
121 | 4 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
122 | 59 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
123 | 121, 122 | ltnled 10979 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)) |
124 | 120, 123 | mpbid 235 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
125 | 98, 124 | pm2.65da 817 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) |
126 | 95, 125 | jca 515 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
127 | 126 | adantr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
128 | | pm4.56 989 |
. . 3
⊢ ((¬
𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
129 | 127, 128 | sylib 221 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
130 | 49, 129 | condan 818 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽) |