fourierdlem35 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem35 46747

Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem35.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem35.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem35	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

**Proof of Theorem fourierdlem35**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2972	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
2		fourierdlem35.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem35.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		fourierdlem35.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8		fourierdlem35.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
9		fourierdlem35.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fourierdlem35.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13		fourierdlem35.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16		iocssicc 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17		fourierdlem35.iel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
18	16, 17	sselid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fourierdlem35.jel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
21	16, 20	sselid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22	fourierdlem6 46718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
24	23	orcd 886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
25	24	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
27	13	zred 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
29	11	zred 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
30	26, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
32	31	necomd 3019	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐽 ≠ 𝐼)
33	32	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ≠ 𝐼)
34		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
35	28, 30, 33, 34	lttri5d 45909	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
36	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
39	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
40	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
43	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44	fourierdlem6 46718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
46	45	olcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
47	26, 35, 46	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
48	25, 47	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
49	1, 48	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
50	2	rexrd 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
51	4	rexrd 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
52		iocleub 46110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
53	50, 51, 20, 52	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
55	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	4, 2	resubcld 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
57	8, 56	eqeltrid 2873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
58	29, 57	remulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
59	9, 58	readdcld 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62		iocgtlb 46109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
63	50, 51, 17, 62	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
64	63	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
65	55, 60, 61, 64	ltadd1dd 11824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
66	8	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
67	4	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
68	2	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
69	57	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	subaddd 11586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
71	66, 70	mpbii 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
72	71	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
73	72	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
74	9	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
75	58	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
76	74, 75, 69	addassd 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
77	76	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
78	29	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
79	78, 69	adddirp1d 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
80	79	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
81	80	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
82	81	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
84	83	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
85	84	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
86	85	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
87	77, 82, 86	3eqtrrd 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
88	65, 73, 87	3brtr4d 5147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
89	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
90	27, 57	remulcld 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
91	9, 90	readdcld 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
92	91	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
93	89, 92	ltnled 11356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
94	88, 93	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
95	54, 94	pm2.65da 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96		iocleub 46110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	50, 51, 17, 96	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
98	97	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
99	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
100	91	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
101	57	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102		iocgtlb 46109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
103	50, 51, 20, 102	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104	103	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
105	99, 100, 101, 104	ltadd1dd 11824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
106	72	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
107	90	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
108	74, 107, 69	addassd 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109	108	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
110	27	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
111	110, 69	adddirp1d 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112	111	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113	112	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114	113	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116	115	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117	116	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118	117	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119	109, 114, 118	3eqtrrd 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120	105, 106, 119	3brtr4d 5147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
121	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
122	59	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123	121, 122	ltnled 11356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124	120, 123	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
125	98, 124	pm2.65da 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
126	95, 125	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127	126	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128		pm4.56 1004	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129	127, 128	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
130	49, 129	condan 829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 class class class wbr 5113 (class class class)co 7411 ℝcr 11098 1c1 11100 + caddc 11102 · cmul 11104 ℝ^*cxr 11241 < clt 11242 ≤ cle 11243 − cmin 11440 ℤcz 12590 (,]cioc 13372 [,]cicc 13374

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-cnex 11155 ax-resscn 11156 ax-1cn 11157 ax-icn 11158 ax-addcl 11159 ax-addrcl 11160 ax-mulcl 11161 ax-mulrcl 11162 ax-mulcom 11163 ax-addass 11164 ax-mulass 11165 ax-distr 11166 ax-i2m1 11167 ax-1ne0 11168 ax-1rid 11169 ax-rnegex 11170 ax-rrecex 11171 ax-cnre 11172 ax-pre-lttri 11173 ax-pre-lttrn 11174 ax-pre-ltadd 11175 ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7862 df-2nd 7986 df-frecs 8277 df-wrecs 8308 df-recs 8357 df-rdg 8396 df-er 8693 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11244 df-mnf 11245 df-xr 11246 df-ltxr 11247 df-le 11248 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11871 df-nn 12233 df-n0 12504 df-z 12591 df-rp 13016 df-ioc 13376 df-icc 13378

This theorem is referenced by: fourierdlem51 46762

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