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Theorem fourierdlem35 46098
Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem35.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem35.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem35 (𝜑𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem fourierdlem35
StepHypRef Expression
1 neqne 2946 . . 3 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
2 fourierdlem35.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem35.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 fourierdlem35.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8 fourierdlem35.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
9 fourierdlem35.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 fourierdlem35.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13 fourierdlem35.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16 iocssicc 13474 . . . . . . . . 9 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17 fourierdlem35.iel . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
1816, 17sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 fourierdlem35.jel . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
2116, 20sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
233, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22fourierdlem6 46069 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
2423orcd 873 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
2524adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
2713zred 12720 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
2911zred 12720 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
3026, 29syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
3231necomd 2994 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐽𝐼)
3332ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽𝐼)
34 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
3528, 30, 33, 34lttri5d 45250 . . . . 5 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
374adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
386adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
399adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
4013adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
4111adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
4321adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4418adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4536, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44fourierdlem6 46069 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
4645olcd 874 . . . . 5 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
4726, 35, 46syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
4825, 47pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝐼𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
491, 48sylan2 593 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
502rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
514rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
52 iocleub 45456 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
5350, 51, 20, 52syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
552adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
564, 2resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
578, 56eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5829, 57remulcld 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
599, 58readdcld 11288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62 iocgtlb 45455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6350, 51, 17, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6555, 60, 61, 64ltadd1dd 11872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
668eqcomi 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = 𝑇
674recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
682recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6957recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7067, 68, 69subaddd 11636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
7166, 70mpbii 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
7271eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
7372adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
749recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7558recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
7674, 75, 69addassd 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
7829recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
7978, 69adddirp1d 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
8079eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
8281adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
8483eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
8584oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
8777, 82, 863eqtrrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
8865, 73, 873brtr4d 5180 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
894adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9027, 57remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
919, 90readdcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
9389, 92ltnled 11406 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
9488, 93mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9554, 94pm2.65da 817 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96 iocleub 45456 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9750, 51, 17, 96syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9897adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
992adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10091adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
10157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102 iocgtlb 45455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
10350, 51, 20, 102syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
10599, 100, 101, 104ltadd1dd 11872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
10672adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
10790recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
10874, 107, 69addassd 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109108adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
11027recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
111110, 69adddirp1d 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112111eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113112oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116115eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117116oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118117adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119109, 114, 1183eqtrrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120105, 106, 1193brtr4d 5180 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
1214adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12259adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123121, 122ltnled 11406 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124120, 123mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
12598, 124pm2.65da 817 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
12695, 125jca 511 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127126adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128 pm4.56 990 . . 3 ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129127, 128sylib 218 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
13049, 129condan 818 1 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  (,]cioc 13385  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-rp 13033  df-ioc 13389  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  46113
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