Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem35 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem35 45453
Description: There is a single point in (๐ด(,]๐ต) that's distant from ๐‘‹ a multiple integer of ๐‘‡. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem35.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem35.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem35.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem35.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem35.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem35.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem35.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem35.iel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
fourierdlem35.jel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem35 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)

Proof of Theorem fourierdlem35
StepHypRef Expression
1 neqne 2943 . . 3 (ยฌ ๐ผ = ๐ฝ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
2 fourierdlem35.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 fourierdlem35.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6 fourierdlem35.altb . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ด < ๐ต)
8 fourierdlem35.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
9 fourierdlem35.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
11 fourierdlem35.i . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
13 fourierdlem35.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ผ < ๐ฝ)
16 iocssicc 13438 . . . . . . . . 9 (๐ด(,]๐ต) โІ (๐ด[,]๐ต)
17 fourierdlem35.iel . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
1816, 17sselid 3976 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
20 fourierdlem35.jel . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
2116, 20sselid 3976 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
233, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22fourierdlem6 45424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ = (๐ผ + 1))
2423orcd 872 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
2524adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
26 simpll 766 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐œ‘)
2713zred 12688 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
2911zred 12688 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
3026, 29syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
31 id 22 . . . . . . . 8 (๐ผ โ‰  ๐ฝ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
3231necomd 2991 . . . . . . 7 (๐ผ โ‰  ๐ฝ โ†’ ๐ฝ โ‰  ๐ผ)
3332ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ โ‰  ๐ผ)
34 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ยฌ ๐ผ < ๐ฝ)
3528, 30, 33, 34lttri5d 44604 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ < ๐ผ)
362adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
374adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
386adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ด < ๐ต)
399adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
4013adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4111adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
42 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ฝ < ๐ผ)
4321adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
4418adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
4536, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44fourierdlem6 45424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ผ = (๐ฝ + 1))
4645olcd 873 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
4726, 35, 46syl2anc 583 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
4825, 47pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
491, 48sylan2 592 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
502rexrd 11286 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
514rexrd 11286 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
52 iocleub 44811 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
5350, 51, 20, 52syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
552adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
564, 2resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
578, 56eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
5829, 57remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
599, 58readdcld 11265 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
62 iocgtlb 44810 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
6350, 51, 17, 62syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
6555, 60, 61, 64ltadd1dd 11847 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐ด + ๐‘‡) < ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
668eqcomi 2736 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡
674recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
682recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6957recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
7067, 68, 69subaddd 11611 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡ โ†” (๐ด + ๐‘‡) = ๐ต))
7166, 70mpbii 232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‡) = ๐ต)
7271eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
7372adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
749recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7558recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
7674, 75, 69addassd 11258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
7829recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
7978, 69adddirp1d 11262 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡) = ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡))
8079eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) = ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡))
8180oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)))
8281adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)))
83 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) = ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡))
8483eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†’ ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡) = (๐ฝ ยท ๐‘‡))
8584oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
8777, 82, 863eqtrrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) = ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
8865, 73, 873brtr4d 5174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ต < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
894adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9027, 57remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
919, 90readdcld 11265 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
9291adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
9389, 92ltnled 11383 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐ต < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ†” ยฌ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต))
9488, 93mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
9554, 94pm2.65da 816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1))
96 iocleub 44811 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
9750, 51, 17, 96syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
9897adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
992adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10091adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
10157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
102 iocgtlb 44810 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
10350, 51, 20, 102syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
10599, 100, 101, 104ltadd1dd 11847 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐ด + ๐‘‡) < ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
10672adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
10790recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
10874, 107, 69addassd 11258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
109108adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
11027recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
111110, 69adddirp1d 11262 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡) = ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡))
112111eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) = ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡))
113112oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)))
115 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) = ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡))
116115eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ†’ ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡) = (๐ผ ยท ๐‘‡))
117116oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
118117adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
119109, 114, 1183eqtrrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) = ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
120105, 106, 1193brtr4d 5174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ต < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
1214adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12259adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
123121, 122ltnled 11383 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐ต < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ†” ยฌ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต))
124120, 123mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
12598, 124pm2.65da 816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1))
12695, 125jca 511 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
127126adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ†’ (ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
128 pm4.56 987 . . 3 ((ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†” ยฌ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
129127, 128sylib 217 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ†’ ยฌ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
13049, 129condan 817 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„*cxr 11269   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  โ„คcz 12580  (,]cioc 13349  [,]cicc 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-rp 12999  df-ioc 13353  df-icc 13355
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  45468
  Copyright terms: Public domain W3C validator