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Theorem fourierdlem35 46157
Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem35.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem35.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem35 (𝜑𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem fourierdlem35
StepHypRef Expression
1 neqne 2948 . . 3 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
2 fourierdlem35.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem35.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 fourierdlem35.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8 fourierdlem35.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
9 fourierdlem35.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 fourierdlem35.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13 fourierdlem35.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16 iocssicc 13477 . . . . . . . . 9 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17 fourierdlem35.iel . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
1816, 17sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 fourierdlem35.jel . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
2116, 20sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
233, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22fourierdlem6 46128 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
2423orcd 874 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
2524adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
2713zred 12722 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
2911zred 12722 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
3026, 29syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
3231necomd 2996 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐽𝐼)
3332ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽𝐼)
34 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
3528, 30, 33, 34lttri5d 45311 . . . . 5 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
374adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
386adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
399adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
4013adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
4111adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
4321adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4418adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4536, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44fourierdlem6 46128 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
4645olcd 875 . . . . 5 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
4726, 35, 46syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
4825, 47pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝐼𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
491, 48sylan2 593 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
502rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
514rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
52 iocleub 45516 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
5350, 51, 20, 52syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
552adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
564, 2resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
578, 56eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5829, 57remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
599, 58readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62 iocgtlb 45515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6350, 51, 17, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6555, 60, 61, 64ltadd1dd 11874 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
668eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = 𝑇
674recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
682recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6957recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7067, 68, 69subaddd 11638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
7166, 70mpbii 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
7271eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
7372adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
749recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7558recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
7674, 75, 69addassd 11283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
7829recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
7978, 69adddirp1d 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
8079eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
8281adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
8483eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
8584oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
8777, 82, 863eqtrrd 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
8865, 73, 873brtr4d 5175 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
894adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9027, 57remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
919, 90readdcld 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
9389, 92ltnled 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
9488, 93mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9554, 94pm2.65da 817 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96 iocleub 45516 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9750, 51, 17, 96syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9897adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
992adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10091adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
10157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102 iocgtlb 45515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
10350, 51, 20, 102syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
10599, 100, 101, 104ltadd1dd 11874 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
10672adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
10790recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
10874, 107, 69addassd 11283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109108adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
11027recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
111110, 69adddirp1d 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112111eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113112oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116115eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117116oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118117adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119109, 114, 1183eqtrrd 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120105, 106, 1193brtr4d 5175 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
1214adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12259adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123121, 122ltnled 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124120, 123mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
12598, 124pm2.65da 817 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
12695, 125jca 511 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127126adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128 pm4.56 991 . . 3 ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129127, 128sylib 218 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
13049, 129condan 818 1 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-icc 13394
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  46172
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