Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem35 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem35 44469
Description: There is a single point in (๐ด(,]๐ต) that's distant from ๐‘‹ a multiple integer of ๐‘‡. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem35.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem35.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem35.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem35.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem35.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem35.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem35.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem35.iel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
fourierdlem35.jel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem35 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)

Proof of Theorem fourierdlem35
StepHypRef Expression
1 neqne 2948 . . 3 (ยฌ ๐ผ = ๐ฝ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
2 fourierdlem35.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 fourierdlem35.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6 fourierdlem35.altb . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ด < ๐ต)
8 fourierdlem35.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
9 fourierdlem35.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
11 fourierdlem35.i . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
13 fourierdlem35.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
15 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ผ < ๐ฝ)
16 iocssicc 13360 . . . . . . . . 9 (๐ด(,]๐ต) โŠ† (๐ด[,]๐ต)
17 fourierdlem35.iel . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
1816, 17sselid 3943 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
1918adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
20 fourierdlem35.jel . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต))
2116, 20sselid 3943 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
233, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22fourierdlem6 44440 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ = (๐ผ + 1))
2423orcd 872 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
2524adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
26 simpll 766 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐œ‘)
2713zred 12612 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
2911zred 12612 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
3026, 29syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
31 id 22 . . . . . . . 8 (๐ผ โ‰  ๐ฝ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
3231necomd 2996 . . . . . . 7 (๐ผ โ‰  ๐ฝ โ†’ ๐ฝ โ‰  ๐ผ)
3332ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ โ‰  ๐ผ)
34 simpr 486 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ยฌ ๐ผ < ๐ฝ)
3528, 30, 33, 34lttri5d 43620 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ ๐ฝ < ๐ผ)
362adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
374adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
386adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ด < ๐ต)
399adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
4013adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4111adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
42 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ฝ < ๐ผ)
4321adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
4418adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
4536, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44fourierdlem6 44440 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ ๐ผ = (๐ฝ + 1))
4645olcd 873 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ < ๐ผ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
4726, 35, 46syl2anc 585 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
4825, 47pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
491, 48sylan2 594 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
502rexrd 11210 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
514rexrd 11210 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
52 iocleub 43827 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
5350, 51, 20, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
5453adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
552adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
564, 2resubcld 11588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
578, 56eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
5829, 57remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
599, 58readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6157adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
62 iocgtlb 43826 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
6350, 51, 17, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
6463adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
6555, 60, 61, 64ltadd1dd 11771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐ด + ๐‘‡) < ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
668eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡
674recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
682recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6957recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
7067, 68, 69subaddd 11535 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) = ๐‘‡ โ†” (๐ด + ๐‘‡) = ๐ต))
7166, 70mpbii 232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‡) = ๐ต)
7271eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
7372adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
749recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7558recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
7674, 75, 69addassd 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
7776adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
7829recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
7978, 69adddirp1d 11186 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡) = ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡))
8079eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) = ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡))
8180oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)))
8281adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)))
83 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) = ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡))
8483eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†’ ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡) = (๐ฝ ยท ๐‘‡))
8584oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
8685adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ผ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
8777, 82, 863eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) = ((๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
8865, 73, 873brtr4d 5138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ต < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
894adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9027, 57remulcld 11190 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
919, 90readdcld 11189 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
9291adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
9389, 92ltnled 11307 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ (๐ต < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ†” ยฌ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต))
9488, 93mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
9554, 94pm2.65da 816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1))
96 iocleub 43827 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
9750, 51, 17, 96syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
9897adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
992adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10091adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
10157adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
102 iocgtlb 43826 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด(,]๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
10350, 51, 20, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
104103adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ด < (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)))
10599, 100, 101, 104ltadd1dd 11771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐ด + ๐‘‡) < ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
10672adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ต = (๐ด + ๐‘‡))
10790recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
10874, 107, 69addassd 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
109108adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡) = (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)))
11027recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
111110, 69adddirp1d 11186 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡) = ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡))
112111eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡) = ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡))
113112oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)))
114113adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ ยท ๐‘‡) + ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)))
115 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) = ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡))
116115eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ†’ ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡) = (๐ผ ยท ๐‘‡))
117116oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
118117adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
119109, 114, 1183eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) = ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) + ๐‘‡))
120105, 106, 1193brtr4d 5138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ต < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)))
1214adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12259adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
123121, 122ltnled 11307 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ (๐ต < (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ†” ยฌ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต))
124120, 123mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โ‰ค ๐ต)
12598, 124pm2.65da 816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1))
12695, 125jca 513 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
127126adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ†’ (ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
128 pm4.56 988 . . 3 ((ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ†” ยฌ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
129127, 128sylib 217 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ†’ ยฌ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โˆจ ๐ผ = (๐ฝ + 1)))
13049, 129condan 817 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„คcz 12504  (,]cioc 13271  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-rp 12921  df-ioc 13275  df-icc 13277
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  44484
  Copyright terms: Public domain W3C validator