fourierdlem35 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem35 46914

Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem35.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem35.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem35	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

**Proof of Theorem fourierdlem35**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2968	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
2		fourierdlem35.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem35.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		fourierdlem35.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8		fourierdlem35.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
9		fourierdlem35.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fourierdlem35.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13		fourierdlem35.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16		iocssicc 13480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17		fourierdlem35.iel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
18	16, 17	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fourierdlem35.jel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
21	16, 20	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22	fourierdlem6 46885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
24	23	orcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
25	24	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
27	13	zred 12716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
29	11	zred 12716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
30	26, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
32	31	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐽 ≠ 𝐼)
33	32	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ≠ 𝐼)
34		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
35	28, 30, 33, 34	lttri5d 46076	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
36	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
39	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
40	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
43	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44	fourierdlem6 46885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
46	45	olcd 888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
47	26, 35, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
48	25, 47	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
49	1, 48	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
50	2	rexrd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
51	4	rexrd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
52		iocleub 46277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
53	50, 51, 20, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
55	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	4, 2	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
57	8, 56	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
58	29, 57	remulcld 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
59	9, 58	readdcld 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62		iocgtlb 46276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
63	50, 51, 17, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
65	55, 60, 61, 64	ltadd1dd 11840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
66	8	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
67	4	recnd 11252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
68	2	recnd 11252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
69	57	recnd 11252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	subaddd 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
71	66, 70	mpbii 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
72	71	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
73	72	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
74	9	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
75	58	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
76	74, 75, 69	addassd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
77	76	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
78	29	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
79	78, 69	adddirp1d 11250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
80	79	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
81	80	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
82	81	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
84	83	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
85	84	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
86	85	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
87	77, 82, 86	3eqtrrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
88	65, 73, 87	3brtr4d 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
89	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
90	27, 57	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
91	9, 90	readdcld 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
92	91	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
93	89, 92	ltnled 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
94	88, 93	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
95	54, 94	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96		iocleub 46277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	50, 51, 17, 96	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
98	97	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
99	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
100	91	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
101	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102		iocgtlb 46276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
103	50, 51, 20, 102	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104	103	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
105	99, 100, 101, 104	ltadd1dd 11840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
106	72	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
107	90	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
108	74, 107, 69	addassd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109	108	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
110	27	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
111	110, 69	adddirp1d 11250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112	111	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113	112	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114	113	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116	115	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117	116	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118	117	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119	109, 114, 118	3eqtrrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120	105, 106, 119	3brtr4d 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
121	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
122	59	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123	121, 122	ltnled 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124	120, 123	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
125	98, 124	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
126	95, 125	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127	126	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128		pm4.56 1004	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129	127, 128	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
130	49, 129	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 class class class wbr 5111 (class class class)co 7419 ℝcr 11114 1c1 11116 + caddc 11118 · cmul 11120 ℝ^*cxr 11257 < clt 11258 ≤ cle 11259 − cmin 11456 ℤcz 12606 (,]cioc 13389 [,]cicc 13391

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-cnex 11171 ax-resscn 11172 ax-1cn 11173 ax-icn 11174 ax-addcl 11175 ax-addrcl 11176 ax-mulcl 11177 ax-mulrcl 11178 ax-mulcom 11179 ax-addass 11180 ax-mulass 11181 ax-distr 11182 ax-i2m1 11183 ax-1ne0 11184 ax-1rid 11185 ax-rnegex 11186 ax-rrecex 11187 ax-cnre 11188 ax-pre-lttri 11189 ax-pre-lttrn 11190 ax-pre-ltadd 11191 ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-er 8700 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-pnf 11260 df-mnf 11261 df-xr 11262 df-ltxr 11263 df-le 11264 df-sub 11458 df-neg 11459 df-div 11887 df-nn 12249 df-n0 12520 df-z 12607 df-rp 13033 df-ioc 13393 df-icc 13395

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