Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neqne 2948 |
. . 3
โข (ยฌ
๐ผ = ๐ฝ โ ๐ผ โ ๐ฝ) |
2 | | fourierdlem35.a |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ด โ โ) |
4 | | fourierdlem35.b |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ต โ โ) |
6 | | fourierdlem35.altb |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) |
7 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ด < ๐ต) |
8 | | fourierdlem35.t |
. . . . . . 7
โข ๐ = (๐ต โ ๐ด) |
9 | | fourierdlem35.5 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
10 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ โ โ) |
11 | | fourierdlem35.i |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ผ โ โค) |
12 | 11 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ผ โ โค) |
13 | | fourierdlem35.j |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ฝ โ โค) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ฝ โ โค) |
15 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ผ < ๐ฝ) |
16 | | iocssicc 13360 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ด(,]๐ต) โ (๐ด[,]๐ต) |
17 | | fourierdlem35.iel |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ (๐ด(,]๐ต)) |
18 | 16, 17 | sselid 3943 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ (๐ด[,]๐ต)) |
19 | 18 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ (๐ด[,]๐ต)) |
20 | | fourierdlem35.jel |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ (๐ด(,]๐ต)) |
21 | 16, 20 | sselid 3943 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ (๐ด[,]๐ต)) |
22 | 21 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ (๐ด[,]๐ต)) |
23 | 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22 | fourierdlem6 44440 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ฝ = (๐ผ + 1)) |
24 | 23 | orcd 872 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ผ < ๐ฝ) โ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
25 | 24 | adantlr 714 |
. . . 4
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ๐ผ < ๐ฝ) โ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
26 | | simpll 766 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐) |
27 | 13 | zred 12612 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ฝ โ โ) |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ฝ โ โ) |
29 | 11 | zred 12612 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ผ โ โ) |
30 | 26, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ผ โ โ) |
31 | | id 22 |
. . . . . . . 8
โข (๐ผ โ ๐ฝ โ ๐ผ โ ๐ฝ) |
32 | 31 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
โข (๐ผ โ ๐ฝ โ ๐ฝ โ ๐ผ) |
33 | 32 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ฝ โ ๐ผ) |
34 | | simpr 486 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) |
35 | 28, 30, 33, 34 | lttri5d 43620 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ ๐ฝ < ๐ผ) |
36 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ด โ โ) |
37 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ต โ โ) |
38 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ด < ๐ต) |
39 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ โ โ) |
40 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ฝ โ โค) |
41 | 11 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ผ โ โค) |
42 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ฝ < ๐ผ) |
43 | 21 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ (๐ด[,]๐ต)) |
44 | 18 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ (๐ด[,]๐ต)) |
45 | 36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44 | fourierdlem6 44440 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ ๐ผ = (๐ฝ + 1)) |
46 | 45 | olcd 873 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ฝ < ๐ผ) โ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
47 | 26, 35, 46 | syl2anc 585 |
. . . 4
โข (((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ) โ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
48 | 25, 47 | pm2.61dan 812 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
49 | 1, 48 | sylan2 594 |
. 2
โข ((๐ โง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
50 | 2 | rexrd 11210 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ
โ*) |
51 | 4 | rexrd 11210 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ต โ
โ*) |
52 | | iocleub 43827 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ*
โง ๐ต โ
โ* โง (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ (๐ด(,]๐ต)) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โค ๐ต) |
53 | 50, 51, 20, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โค ๐ต) |
54 | 53 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โค ๐ต) |
55 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ๐ด โ โ) |
56 | 4, 2 | resubcld 11588 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
57 | 8, 56 | eqeltrid 2838 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
58 | 29, 57 | remulcld 11190 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (๐ผ ยท ๐) โ โ) |
59 | 9, 58 | readdcld 11189 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ โ) |
60 | 59 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ โ) |
61 | 57 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ๐ โ โ) |
62 | | iocgtlb 43826 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โ*
โง ๐ต โ
โ* โง (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ (๐ด(,]๐ต)) โ ๐ด < (๐ + (๐ผ ยท ๐))) |
63 | 50, 51, 17, 62 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ด < (๐ + (๐ผ ยท ๐))) |
64 | 63 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ๐ด < (๐ + (๐ผ ยท ๐))) |
65 | 55, 60, 61, 64 | ltadd1dd 11771 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ด + ๐) < ((๐ + (๐ผ ยท ๐)) + ๐)) |
66 | 8 | eqcomi 2742 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ต โ ๐ด) = ๐ |
67 | 4 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
68 | 2 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
69 | 57 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
70 | 67, 68, 69 | subaddd 11535 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐ด) = ๐ โ (๐ด + ๐) = ๐ต)) |
71 | 66, 70 | mpbii 232 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ด + ๐) = ๐ต) |
72 | 71 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ต = (๐ด + ๐)) |
73 | 72 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ๐ต = (๐ด + ๐)) |
74 | 9 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
75 | 58 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (๐ผ ยท ๐) โ โ) |
76 | 74, 75, 69 | addassd 11182 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ + (๐ผ ยท ๐)) + ๐) = (๐ + ((๐ผ ยท ๐) + ๐))) |
77 | 76 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ((๐ + (๐ผ ยท ๐)) + ๐) = (๐ + ((๐ผ ยท ๐) + ๐))) |
78 | 29 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ผ โ โ) |
79 | 78, 69 | adddirp1d 11186 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ผ + 1) ยท ๐) = ((๐ผ ยท ๐) + ๐)) |
80 | 79 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ผ ยท ๐) + ๐) = ((๐ผ + 1) ยท ๐)) |
81 | 80 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ + ((๐ผ ยท ๐) + ๐)) = (๐ + ((๐ผ + 1) ยท ๐))) |
82 | 81 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ + ((๐ผ ยท ๐) + ๐)) = (๐ + ((๐ผ + 1) ยท ๐))) |
83 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ (๐ฝ ยท ๐) = ((๐ผ + 1) ยท ๐)) |
84 | 83 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ ((๐ผ + 1) ยท ๐) = (๐ฝ ยท ๐)) |
85 | 84 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ (๐ + ((๐ผ + 1) ยท ๐)) = (๐ + (๐ฝ ยท ๐))) |
86 | 85 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ + ((๐ผ + 1) ยท ๐)) = (๐ + (๐ฝ ยท ๐))) |
87 | 77, 82, 86 | 3eqtrrd 2778 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) = ((๐ + (๐ผ ยท ๐)) + ๐)) |
88 | 65, 73, 87 | 3brtr4d 5138 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ๐ต < (๐ + (๐ฝ ยท ๐))) |
89 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ๐ต โ โ) |
90 | 27, 57 | remulcld 11190 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ฝ ยท ๐) โ โ) |
91 | 9, 90 | readdcld 11189 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ โ) |
92 | 91 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ โ) |
93 | 89, 92 | ltnled 11307 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ (๐ต < (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ ยฌ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โค ๐ต)) |
94 | 88, 93 | mpbid 231 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฝ = (๐ผ + 1)) โ ยฌ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โค ๐ต) |
95 | 54, 94 | pm2.65da 816 |
. . . . 5
โข (๐ โ ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1)) |
96 | | iocleub 43827 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ*
โง ๐ต โ
โ* โง (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ (๐ด(,]๐ต)) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โค ๐ต) |
97 | 50, 51, 17, 96 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โค ๐ต) |
98 | 97 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โค ๐ต) |
99 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ๐ด โ โ) |
100 | 91 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ โ) |
101 | 57 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ๐ โ โ) |
102 | | iocgtlb 43826 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โ*
โง ๐ต โ
โ* โง (๐ + (๐ฝ ยท ๐)) โ (๐ด(,]๐ต)) โ ๐ด < (๐ + (๐ฝ ยท ๐))) |
103 | 50, 51, 20, 102 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ด < (๐ + (๐ฝ ยท ๐))) |
104 | 103 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ๐ด < (๐ + (๐ฝ ยท ๐))) |
105 | 99, 100, 101, 104 | ltadd1dd 11771 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ด + ๐) < ((๐ + (๐ฝ ยท ๐)) + ๐)) |
106 | 72 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ๐ต = (๐ด + ๐)) |
107 | 90 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (๐ฝ ยท ๐) โ โ) |
108 | 74, 107, 69 | addassd 11182 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ + (๐ฝ ยท ๐)) + ๐) = (๐ + ((๐ฝ ยท ๐) + ๐))) |
109 | 108 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ((๐ + (๐ฝ ยท ๐)) + ๐) = (๐ + ((๐ฝ ยท ๐) + ๐))) |
110 | 27 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ฝ โ โ) |
111 | 110, 69 | adddirp1d 11186 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ฝ + 1) ยท ๐) = ((๐ฝ ยท ๐) + ๐)) |
112 | 111 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ฝ ยท ๐) + ๐) = ((๐ฝ + 1) ยท ๐)) |
113 | 112 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ + ((๐ฝ ยท ๐) + ๐)) = (๐ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐))) |
114 | 113 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ + ((๐ฝ ยท ๐) + ๐)) = (๐ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐))) |
115 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ (๐ผ ยท ๐) = ((๐ฝ + 1) ยท ๐)) |
116 | 115 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ ((๐ฝ + 1) ยท ๐) = (๐ผ ยท ๐)) |
117 | 116 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ผ = (๐ฝ + 1) โ (๐ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐)) = (๐ + (๐ผ ยท ๐))) |
118 | 117 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ + ((๐ฝ + 1) ยท ๐)) = (๐ + (๐ผ ยท ๐))) |
119 | 109, 114,
118 | 3eqtrrd 2778 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) = ((๐ + (๐ฝ ยท ๐)) + ๐)) |
120 | 105, 106,
119 | 3brtr4d 5138 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ๐ต < (๐ + (๐ผ ยท ๐))) |
121 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ๐ต โ โ) |
122 | 59 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ โ) |
123 | 121, 122 | ltnled 11307 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ (๐ต < (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โ ยฌ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โค ๐ต)) |
124 | 120, 123 | mpbid 231 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ยฌ (๐ + (๐ผ ยท ๐)) โค ๐ต) |
125 | 98, 124 | pm2.65da 816 |
. . . . 5
โข (๐ โ ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)) |
126 | 95, 125 | jca 513 |
. . . 4
โข (๐ โ (ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
127 | 126 | adantr 482 |
. . 3
โข ((๐ โง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ (ยฌ ๐ฝ = (๐ผ + 1) โง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
128 | | pm4.56 988 |
. . 3
โข ((ยฌ
๐ฝ = (๐ผ + 1) โง ยฌ ๐ผ = (๐ฝ + 1)) โ ยฌ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
129 | 127, 128 | sylib 217 |
. 2
โข ((๐ โง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ) โ ยฌ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โจ ๐ผ = (๐ฝ + 1))) |
130 | 49, 129 | condan 817 |
1
โข (๐ โ ๐ผ = ๐ฝ) |