Proof of Theorem fourierdlem35
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | neqne 2948 |
. . 3
⊢ (¬
𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽) |
| 2 | | fourierdlem35.a |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 3 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 4 | | fourierdlem35.b |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 5 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 6 | | fourierdlem35.altb |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
| 7 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵) |
| 8 | | fourierdlem35.t |
. . . . . . 7
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) |
| 9 | | fourierdlem35.5 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 10 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 11 | | fourierdlem35.i |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ) |
| 12 | 11 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ) |
| 13 | | fourierdlem35.j |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ) |
| 14 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ) |
| 15 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽) |
| 16 | | iocssicc 13477 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
| 17 | | fourierdlem35.iel |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
| 18 | 16, 17 | sselid 3981 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 19 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 20 | | fourierdlem35.jel |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
| 21 | 16, 20 | sselid 3981 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 22 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 23 | 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22 | fourierdlem6 46128 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1)) |
| 24 | 23 | orcd 874 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 25 | 24 | adantlr 715 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 26 | | simpll 767 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑) |
| 27 | 13 | zred 12722 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ) |
| 28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ) |
| 29 | 11 | zred 12722 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ) |
| 30 | 26, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ) |
| 31 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽) |
| 32 | 31 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐽 ≠ 𝐼) |
| 33 | 32 | ad2antlr 727 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ≠ 𝐼) |
| 34 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽) |
| 35 | 28, 30, 33, 34 | lttri5d 45311 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼) |
| 36 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 37 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 38 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵) |
| 39 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 40 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ) |
| 41 | 11 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ) |
| 42 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼) |
| 43 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 44 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 45 | 36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44 | fourierdlem6 46128 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1)) |
| 46 | 45 | olcd 875 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 47 | 26, 35, 46 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 48 | 25, 47 | pm2.61dan 813 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 49 | 1, 48 | sylan2 593 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 50 | 2 | rexrd 11311 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 51 | 4 | rexrd 11311 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 52 | | iocleub 45516 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 53 | 50, 51, 20, 52 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 55 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 56 | 4, 2 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
| 57 | 8, 56 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 58 | 29, 57 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 59 | 9, 58 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 60 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 61 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 62 | | iocgtlb 45515 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
| 63 | 50, 51, 17, 62 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
| 64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
| 65 | 55, 60, 61, 64 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇)) |
| 66 | 8 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇 |
| 67 | 4 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 68 | 2 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 69 | 57 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 70 | 67, 68, 69 | subaddd 11638 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)) |
| 71 | 66, 70 | mpbii 233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵) |
| 72 | 71 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇)) |
| 73 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇)) |
| 74 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 75 | 58 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 76 | 74, 75, 69 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))) |
| 77 | 76 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))) |
| 78 | 29 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ) |
| 79 | 78, 69 | adddirp1d 11287 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) |
| 80 | 79 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇)) |
| 81 | 80 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇))) |
| 82 | 81 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇))) |
| 83 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇)) |
| 84 | 83 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇)) |
| 85 | 84 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
| 86 | 85 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
| 87 | 77, 82, 86 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇)) |
| 88 | 65, 73, 87 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
| 89 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 90 | 27, 57 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 91 | 9, 90 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 92 | 91 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 93 | 89, 92 | ltnled 11408 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)) |
| 94 | 88, 93 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 95 | 54, 94 | pm2.65da 817 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1)) |
| 96 | | iocleub 45516 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 97 | 50, 51, 17, 96 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 98 | 97 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 99 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 100 | 91 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 101 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 102 | | iocgtlb 45515 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
| 103 | 50, 51, 20, 102 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
| 104 | 103 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇))) |
| 105 | 99, 100, 101, 104 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇)) |
| 106 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇)) |
| 107 | 90 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 108 | 74, 107, 69 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))) |
| 109 | 108 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))) |
| 110 | 27 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ) |
| 111 | 110, 69 | adddirp1d 11287 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) |
| 112 | 111 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇)) |
| 113 | 112 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇))) |
| 114 | 113 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇))) |
| 115 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇)) |
| 116 | 115 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇)) |
| 117 | 116 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
| 118 | 117 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
| 119 | 109, 114,
118 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇)) |
| 120 | 105, 106,
119 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) |
| 121 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 122 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 123 | 121, 122 | ltnled 11408 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)) |
| 124 | 120, 123 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵) |
| 125 | 98, 124 | pm2.65da 817 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) |
| 126 | 95, 125 | jca 511 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 127 | 126 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 128 | | pm4.56 991 |
. . 3
⊢ ((¬
𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 129 | 127, 128 | sylib 218 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1))) |
| 130 | 49, 129 | condan 818 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽) |