Theorem assaring 22162

Description: An associative algebra is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assaring	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

Proof of Theorem assaring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 22157	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))))
7	6	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring))
8	7	simprd 501	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  Ringcrg 20452  LModclmod 21128  AssAlgcasa 22151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7421  df-assa 22154

This theorem is used by:  issubassa  22168  assapropd  22172  aspval  22173  asclelbas  22184  asclmul1  22187  asclmul2  22188  ascldimul  22189  asclrhm  22191  rnascl  22192  aspval2  22199  assamulgscmlem1  22200  assamulgscmlem2  22201  asclmulg  22203  zlmassa  22204  mplind  22372  evlseu  22385  pf1subrg  22659  matinv  22985  lactlmhm  34259  assalactf1o  34260  assarrginv  34261  irngnzply1lem  34315  assaascl0  49462  assaascl1  49463  asclelbasALT  50083