MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assaring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assaring 19721
Description: An associative algebra is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
assaring (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

Proof of Theorem assaring
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2778 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2778 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4 eqid 2778 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
5 eqid 2778 . . . 4 (.r𝑊) = (.r𝑊)
61, 2, 3, 4, 5isassa 19716 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑥)(.r𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑦)))))
76simplbi 493 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing))
87simp2d 1134 1 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  .rcmulr 16343  Scalarcsca 16345   ·𝑠 cvsca 16346  Ringcrg 18938  CRingccrg 18939  LModclmod 19259  AssAlgcasa 19710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-iota 6101  df-fv 6145  df-ov 6927  df-assa 19713
This theorem is referenced by:  issubassa  19725  assapropd  19728  aspval  19729  asclmul1  19740  asclmul2  19741  asclrhm  19743  rnascl  19744  aspval2  19748  assamulgscmlem1  19749  assamulgscmlem2  19750  mplind  19902  evlseu  19916  pf1subrg  20112  zlmassa  20272  matinv  20893  assaascl0  43192  assaascl1  43193
  Copyright terms: Public domain W3C validator