Theorem assaring 20777

Description: An associative algebra is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assaring	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

Proof of Theorem assaring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 20772	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))))
7	6	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing))
8	7	simp2d 1145	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  ._rcmulr 16750  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  Ringcrg 19516  CRingccrg 19517  LModclmod 19853  AssAlgcasa 20766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-nul 5184

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-assa 20769

This theorem is referenced by:  issubassa  20782  assapropd  20785  aspval  20786  asclmul1  20799  asclmul2  20800  ascldimul  20801  ascldimulOLD  20802  asclrhm  20804  rnascl  20805  aspval2  20812  assamulgscmlem1  20813  assamulgscmlem2  20814  zlmassa  20816  mplind  20982  evlseu  20997  pf1subrg  21218  matinv  21528  asclmulg  31334  selvval2lem4  39882  assaascl0  45336  assaascl1  45337