Theorem assaring 19721

Description: An associative algebra is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assaring	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

Proof of Theorem assaring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 19716	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))))
7	6	simplbi 493	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing))
8	7	simp2d 1134	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  ._rcmulr 16343  Scalarcsca 16345   ·_𝑠 cvsca 16346  Ringcrg 18938  CRingccrg 18939  LModclmod 19259  AssAlgcasa 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-iota 6101  df-fv 6145  df-ov 6927  df-assa 19713

This theorem is referenced by:  issubassa  19725  assapropd  19728  aspval  19729  asclmul1  19740  asclmul2  19741  asclrhm  19743  rnascl  19744  aspval2  19748  assamulgscmlem1  19749  assamulgscmlem2  19750  mplind  19902  evlseu  19916  pf1subrg  20112  zlmassa  20272  matinv  20893  assaascl0  43192  assaascl1  43193