MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclmul1 19845
Description: Left multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t × = (.r𝑊)
asclmul1.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclmul1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → ((𝐴𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul1
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2 asclmul1.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 asclmul1.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 asclmul1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
5 eqid 2780 . . . . 5 (1r𝑊) = (1r𝑊)
61, 2, 3, 4, 5asclval 19841 . . . 4 (𝑅𝐾 → (𝐴𝑅) = (𝑅 · (1r𝑊)))
763ad2ant2 1115 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝐴𝑅) = (𝑅 · (1r𝑊)))
87oveq1d 6997 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → ((𝐴𝑅) × 𝑋) = ((𝑅 · (1r𝑊)) × 𝑋))
9 simp1 1117 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
10 simp2 1118 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
11 assaring 19826 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
12113ad2ant1 1114 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
13 asclmul1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1413, 5ringidcl 19053 . . . 4 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
1512, 14syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
16 simp3 1119 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
17 asclmul1.t . . . 4 × = (.r𝑊)
1813, 2, 3, 4, 17assaass 19823 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅𝐾 ∧ (1r𝑊) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑅 · (1r𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r𝑊) × 𝑋)))
199, 10, 15, 16, 18syl13anc 1353 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → ((𝑅 · (1r𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r𝑊) × 𝑋)))
2013, 17, 5ringlidm 19056 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
2112, 16, 20syl2anc 576 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → ((1r𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
2221oveq2d 6998 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · ((1r𝑊) × 𝑋)) = (𝑅 · 𝑋))
238, 19, 223eqtrd 2820 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → ((𝐴𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6193  (class class class)co 6982  Basecbs 16345  .rcmulr 16428  Scalarcsca 16430   ·𝑠 cvsca 16431  1rcur 18986  Ringcrg 19032  AssAlgcasa 19815  algSccascl 19817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-plusg 16440  df-0g 16577  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-assa 19818  df-ascl 19820
This theorem is referenced by:  issubassa2  19851  mplind  20007  evl1vsd  20224  evl1scvarpw  20243  chpscmatgsumbin  21171  fta1blem  24480
  Copyright terms: Public domain W3C validator