Theorem asclmul1 22088

Description: Left multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmul1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
asclmul1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclmul1	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclmul1.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		asclmul1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		asclmul1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclval 22081	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
8	7	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋))
9		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
11		assaring 22063	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
13		asclmul1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	13, 5	ringidcl 20395	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
16		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		asclmul1.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	13, 2, 3, 4, 17	assaass 22060	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)))
19	9, 10, 15, 16, 18	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)))
20	13, 17, 5	ringlidm 20399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
21	12, 16, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
22	21	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)) = (𝑅 · 𝑋))
23	8, 19, 22	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  1_rcur 20309  Ringcrg 20361  AssAlgcasa 22052  algSccascl 22054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-assa 22055  df-ascl 22057

This theorem is used by:  ascldimul  22090  issubassa2  22094  mplind  22273  selvvvval  22345  evl1vsd  22556  evl1scvarpw  22575  evls1fpws  22581  chpscmatgsumbin  23053  fta1blem  26381  cos9thpiminply  34244  aks5lem2  43014  asclcntr  49844  asclcom  49845