Theorem asclmul1 21924

Description: Left multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmul1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
asclmul1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclmul1	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclmul1.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		asclmul1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		asclmul1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclval 21918	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
7	6	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
8	7	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋))
9		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
10		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
11		assaring 21899	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
13		asclmul1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	13, 5	ringidcl 20280	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
16		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		asclmul1.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	13, 2, 3, 4, 17	assaass 21896	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)))
19	9, 10, 15, 16, 18	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)))
20	13, 17, 5	ringlidm 20283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
21	12, 16, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
22	21	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)) = (𝑅 · 𝑋))
23	8, 19, 22	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  AssAlgcasa 21888  algSccascl 21890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-assa 21891  df-ascl 21893

This theorem is referenced by:  ascldimul  21926  issubassa2  21930  mplind  22112  evl1vsd  22364  evl1scvarpw  22383  evls1fpws  22389  chpscmatgsumbin  22866  fta1blem  26225  aks5lem2  42169  selvvvval  42572  asclcntr  48797  asclcom  48798