Theorem asclmul1 21877

Description: Left multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmul1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
asclmul1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclmul1	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclmul1.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		asclmul1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		asclmul1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclval 21871	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
7	6	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
8	7	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋))
9		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
10		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
11		assaring 21853	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
13		asclmul1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	13, 5	ringidcl 20239	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
16		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		asclmul1.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	13, 2, 3, 4, 17	assaass 21850	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)))
19	9, 10, 15, 16, 18	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑅 · (1r‘𝑊)) × 𝑋) = (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)))
20	13, 17, 5	ringlidm 20242	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
21	12, 16, 20	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑊) × 𝑋) = 𝑋)
22	21	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · ((1r‘𝑊) × 𝑋)) = (𝑅 · 𝑋))
23	8, 19, 22	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑅) × 𝑋) = (𝑅 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  ._rcmulr 17260  Scalarcsca 17262   ·_𝑠 cvsca 17263  1_rcur 20158  Ringcrg 20210  AssAlgcasa 21842  algSccascl 21844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-0g 17449  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mgp 20112  df-ur 20159  df-ring 20212  df-assa 21845  df-ascl 21847

This theorem is referenced by:  ascldimul  21879  issubassa2  21883  mplind  22077  evl1vsd  22330  evl1scvarpw  22349  evls1fpws  22355  chpscmatgsumbin  22832  fta1blem  26193  aks5lem2  41897  selvvvval  42273