Theorem irngnzply1lem 34208

Description: In the case of a field 𝐸, a root 𝑋 of some nonzero polynomial 𝑃 with coefficients in a subfield 𝐹 is integral over 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnzply1.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
irngnzply1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnzply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
irngnzply1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnzply1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnzply1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
irngnzply1lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
irngnzply1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
irngnzply1lem.3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
irngnzply1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
irngnzply1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Proof of Theorem irngnzply1lem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngnzply1lem.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		irngnzply1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		issdrg 20960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3bi 1165	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
7		irngnzply1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
8		irngnzply1.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	2, 3	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
11	10	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
12		irngnzply1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
13		irngnzply1lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
14		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↑s 𝐵) = (𝐸 ↑s 𝐵)
15		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17	12, 13, 14, 15, 16	evls1rhm 22553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
18	9, 11, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
19		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
20		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵))
21	19, 20	rhmf 20632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
22	18, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
23	22	fdmd 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
24	7, 23	eleqtrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
25		irngnzply1lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
26		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
27		irngnzply1.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
28	26, 15, 16, 19, 11, 27	ressply10g 33985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
29	25, 28	neeqtrd 3026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
32	16, 19, 30, 31	drnguc1p 26406	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
33	5, 24, 29, 32	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
35		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
36		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
38		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))
39	31, 34, 16, 35, 36, 37, 38	uc1pmon1p 26384	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))) → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
40	6, 33, 39	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))
42	41	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)))
43	42	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋))
44	43	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 ↔ ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 ))
45		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
46		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
47		fldsdrgfld 20970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
48	8, 2, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
49	48	fldcrngd 20911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing)
50	16	ply1assa 22430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
52		assaring 22082	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
54	16	ply1lmod 22482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
55	6, 54	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
56		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
57	36, 46, 53, 55, 56, 19	asclf 22102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))):(Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))⟶(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
58		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
59		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
60	37, 16, 30, 19	deg1nn0cl 26320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
61	6, 24, 29, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
62		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝑃) = (coe1‘𝑃)
63	62, 19, 16, 58	coe1fvalcl 22443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
64	24, 61, 63	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
65	37, 16, 30, 19, 59, 62	deg1ldg 26324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
66	6, 24, 29, 65	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
67	58, 59, 38, 5, 64, 66	drnginvrcld 20928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
68	16	ply1sca 22483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
69	48, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
70	69	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
71	67, 70	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
72	57, 71	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	12, 13, 16, 15, 19, 35, 45, 9, 11, 72, 24, 1	evls1muld 22603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)))
74		irngnzply1lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
75	74	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ))
76	9	crngringd 20391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
77	13	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
79	22, 72	ffvelcdmd 7082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))) ∈ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
80	14, 13, 20, 8, 78, 79	pwselbas 17580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))):𝐵⟶𝐵)
81	80, 1	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵)
82		irngnzply1.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
83	13, 45, 82	ringrz 20442	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
84	76, 81, 83	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
85	73, 75, 84	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 )
86	40, 44, 85	rspcedvd 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )
87	12, 15, 13, 82, 9, 11	elirng 34204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )))
88	1, 86, 87	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351  0_gc0g 17530   ↑_s cpws 17537  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379  inv_rcinvr 20534   RingHom crh 20616  SubRingcsubrg 20737  DivRingcdr 20896  Fieldcfield 20897  SubDRingcsdrg 20958  LModclmod 21050  AssAlgcasa 22071  algSccascl 22073  Poly₁cpl1 22408  coe₁cco1 22409   evalSub₁ ces1 22544  deg₁cdg1 26286  Monic_1pcmn1 26358  Unic_1pcuc1p 26359   IntgRing cirng 34201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-rlreg 20862  df-drng 20898  df-field 20899  df-sdrg 20959  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-cnfld 21592  df-assa 22074  df-asp 22075  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-opsr 22134  df-evls 22296  df-evl 22297  df-psr1 22411  df-vr1 22412  df-ply1 22413  df-coe1 22414  df-evls1 22546  df-evl1 22547  df-mdeg 26287  df-deg1 26288  df-mon1 26363  df-uc1p 26364  df-irng 34202

This theorem is used by:  irngnzply1  34209  extdgfialglem2  34211