Theorem irngnzply1lem 33849

Description: In the case of a field 𝐸, a root 𝑋 of some nonzero polynomial 𝑃 with coefficients in a subfield 𝐹 is integral over 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnzply1.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
irngnzply1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnzply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
irngnzply1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnzply1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnzply1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
irngnzply1lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
irngnzply1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
irngnzply1lem.3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
irngnzply1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
irngnzply1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Proof of Theorem irngnzply1lem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngnzply1lem.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		irngnzply1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		issdrg 20725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3bi 1148	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
7		irngnzply1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
8		irngnzply1.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	2, 3	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
11	10	simp2d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
12		irngnzply1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
13		irngnzply1lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↑s 𝐵) = (𝐸 ↑s 𝐵)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17	12, 13, 14, 15, 16	evls1rhm 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
18	9, 11, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵))
21	19, 20	rhmf 20424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
23	22	fdmd 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
24	7, 23	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
25		irngnzply1lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
26		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
27		irngnzply1.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
28	26, 15, 16, 19, 11, 27	ressply10g 33650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
29	25, 28	neeqtrd 3002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
32	16, 19, 30, 31	drnguc1p 26139	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
33	5, 24, 29, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
35		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
36		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
38		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))
39	31, 34, 16, 35, 36, 37, 38	uc1pmon1p 26117	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))) → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
40	6, 33, 39	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))
42	41	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)))
43	42	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋))
44	43	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 ↔ ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 ))
45		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
47		fldsdrgfld 20735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
48	8, 2, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
49	48	fldcrngd 20679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing)
50	16	ply1assa 22144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
52		assaring 21820	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
54	16	ply1lmod 22196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
55	6, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
56		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
57	36, 46, 53, 55, 56, 19	asclf 21841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))):(Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))⟶(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
58		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
59		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
60	37, 16, 30, 19	deg1nn0cl 26053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
61	6, 24, 29, 60	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
62		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝑃) = (coe1‘𝑃)
63	62, 19, 16, 58	coe1fvalcl 22157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
64	24, 61, 63	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
65	37, 16, 30, 19, 59, 62	deg1ldg 26057	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
66	6, 24, 29, 65	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
67	58, 59, 38, 5, 64, 66	drnginvrcld 20692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
68	16	ply1sca 22197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
69	48, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
70	69	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
71	67, 70	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
72	57, 71	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	12, 13, 16, 15, 19, 35, 45, 9, 11, 72, 24, 1	evls1muld 22320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)))
74		irngnzply1lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
75	74	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ))
76	9	crngringd 20185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
77	13	fvexi 6849	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
79	22, 72	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))) ∈ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
80	14, 13, 20, 8, 78, 79	pwselbas 17413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))):𝐵⟶𝐵)
81	80, 1	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵)
82		irngnzply1.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
83	13, 45, 82	ringrz 20233	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
84	76, 81, 83	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
85	73, 75, 84	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 )
86	40, 44, 85	rspcedvd 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )
87	12, 15, 13, 82, 9, 11	elirng 33845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )))
88	1, 86, 87	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  Vcvv 3441  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  ._rcmulr 17182  Scalarcsca 17184  0_gc0g 17363   ↑_s cpws 17370  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  inv_rcinvr 20327   RingHom crh 20409  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20666  Fieldcfield 20667  SubDRingcsdrg 20723  LModclmod 20815  AssAlgcasa 21809  algSccascl 21811  Poly₁cpl1 22121  coe₁cco1 22122   evalSub₁ ces1 22261  deg₁cdg1 26019  Monic_1pcmn1 26091  Unic_1pcuc1p 26092   IntgRing cirng 33842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-rlreg 20631  df-drng 20668  df-field 20669  df-sdrg 20724  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-cnfld 21314  df-assa 21812  df-asp 21813  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22033  df-evl 22034  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127  df-evls1 22263  df-evl1 22264  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096  df-uc1p 26097  df-irng 33843

This theorem is referenced by:  irngnzply1  33850  extdgfialglem2  33852