Theorem irngnzply1lem 33678

Description: In the case of a field 𝐸, a root 𝑋 of some nonzero polynomial 𝑃 with coefficients in a subfield 𝐹 is integral over 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnzply1.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
irngnzply1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnzply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
irngnzply1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnzply1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnzply1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
irngnzply1lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
irngnzply1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
irngnzply1lem.3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
irngnzply1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
irngnzply1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Proof of Theorem irngnzply1lem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngnzply1lem.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		irngnzply1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		issdrg 20708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
7		irngnzply1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
8		irngnzply1.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	2, 3	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
11	10	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
12		irngnzply1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
13		irngnzply1lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
14		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↑s 𝐵) = (𝐸 ↑s 𝐵)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17	12, 13, 14, 15, 16	evls1rhm 22242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
18	9, 11, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
19		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
20		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵))
21	19, 20	rhmf 20405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
23	22	fdmd 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
24	7, 23	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
25		irngnzply1lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
26		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
27		irngnzply1.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
28	26, 15, 16, 19, 11, 27	ressply10g 33529	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
29	25, 28	neeqtrd 2994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
32	16, 19, 30, 31	drnguc1p 26112	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
33	5, 24, 29, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
35		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
38		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))
39	31, 34, 16, 35, 36, 37, 38	uc1pmon1p 26090	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))) → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
40	6, 33, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))
42	41	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)))
43	42	fveq1d 6842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋))
44	43	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 ↔ ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 ))
45		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
46		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
47		fldsdrgfld 20718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
48	8, 2, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
49	48	fldcrngd 20662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing)
50	16	ply1assa 22117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
52		assaring 21803	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
54	16	ply1lmod 22169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
55	6, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
56		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
57	36, 46, 53, 55, 56, 19	asclf 21824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))):(Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))⟶(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
58		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
59		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
60	37, 16, 30, 19	deg1nn0cl 26026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
61	6, 24, 29, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
62		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝑃) = (coe1‘𝑃)
63	62, 19, 16, 58	coe1fvalcl 22130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
64	24, 61, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
65	37, 16, 30, 19, 59, 62	deg1ldg 26030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
66	6, 24, 29, 65	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
67	58, 59, 38, 5, 64, 66	drnginvrcld 20675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
68	16	ply1sca 22170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
69	48, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
70	69	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
71	67, 70	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
72	57, 71	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	12, 13, 16, 15, 19, 35, 45, 9, 11, 72, 24, 1	evls1muld 22292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)))
74		irngnzply1lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
75	74	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ))
76	9	crngringd 20166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
77	13	fvexi 6854	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
79	22, 72	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))) ∈ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
80	14, 13, 20, 8, 78, 79	pwselbas 17428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))):𝐵⟶𝐵)
81	80, 1	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵)
82		irngnzply1.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
83	13, 45, 82	ringrz 20214	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
84	76, 81, 83	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
85	73, 75, 84	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 )
86	40, 44, 85	rspcedvd 3587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )
87	12, 15, 13, 82, 9, 11	elirng 33674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )))
88	1, 86, 87	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17378   ↑_s cpws 17385  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  inv_rcinvr 20307   RingHom crh 20389  SubRingcsubrg 20489  DivRingcdr 20649  Fieldcfield 20650  SubDRingcsdrg 20706  LModclmod 20798  AssAlgcasa 21792  algSccascl 21794  Poly₁cpl1 22094  coe₁cco1 22095   evalSub₁ ces1 22233  deg₁cdg1 25992  Monic_1pcmn1 26064  Unic_1pcuc1p 26065   IntgRing cirng 33671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rlreg 20614  df-drng 20651  df-field 20652  df-sdrg 20707  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-cnfld 21297  df-assa 21795  df-asp 21796  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-evls 22014  df-evl 22015  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-evls1 22235  df-evl1 22236  df-mdeg 25993  df-deg1 25994  df-mon1 26069  df-uc1p 26070  df-irng 33672

This theorem is referenced by:  irngnzply1  33679