Theorem irngnzply1lem 33822

Description: In the case of a field 𝐸, a root 𝑋 of some nonzero polynomial 𝑃 with coefficients in a subfield 𝐹 is integral over 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnzply1.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
irngnzply1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnzply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
irngnzply1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnzply1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnzply1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
irngnzply1lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
irngnzply1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
irngnzply1lem.3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
irngnzply1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
irngnzply1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Proof of Theorem irngnzply1lem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngnzply1lem.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		irngnzply1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		issdrg 20754	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3bi 1148	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
7		irngnzply1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
8		irngnzply1.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	2, 3	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
11	10	simp2d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
12		irngnzply1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
13		irngnzply1lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
14		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↑s 𝐵) = (𝐸 ↑s 𝐵)
15		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17	12, 13, 14, 15, 16	evls1rhm 22275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
18	9, 11, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
19		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
20		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵))
21	19, 20	rhmf 20453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
23	22	fdmd 6667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
24	7, 23	eleqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
25		irngnzply1lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
26		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
27		irngnzply1.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
28	26, 15, 16, 19, 11, 27	ressply10g 33615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
29	25, 28	neeqtrd 2999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
32	16, 19, 30, 31	drnguc1p 26127	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
33	5, 24, 29, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
38		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))
39	31, 34, 16, 35, 36, 37, 38	uc1pmon1p 26105	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))) → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
40	6, 33, 39	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))
42	41	fveq2d 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)))
43	42	fveq1d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋))
44	43	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 ↔ ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 ))
45		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
46		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
47		fldsdrgfld 20764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
48	8, 2, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
49	48	fldcrngd 20708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing)
50	16	ply1assa 22151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
52		assaring 21830	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
54	16	ply1lmod 22203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
55	6, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
56		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
57	36, 46, 53, 55, 56, 19	asclf 21850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))):(Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))⟶(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
58		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
59		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
60	37, 16, 30, 19	deg1nn0cl 26041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
61	6, 24, 29, 60	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
62		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝑃) = (coe1‘𝑃)
63	62, 19, 16, 58	coe1fvalcl 22164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
64	24, 61, 63	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
65	37, 16, 30, 19, 59, 62	deg1ldg 26045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
66	6, 24, 29, 65	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
67	58, 59, 38, 5, 64, 66	drnginvrcld 20721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
68	16	ply1sca 22204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
69	48, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
70	69	fveq2d 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
71	67, 70	eleqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
72	57, 71	ffvelcdmd 7026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	12, 13, 16, 15, 19, 35, 45, 9, 11, 72, 24, 1	evls1muld 22325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)))
74		irngnzply1lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
75	74	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ))
76	9	crngringd 20216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
77	13	fvexi 6843	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
79	22, 72	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))) ∈ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
80	14, 13, 20, 8, 78, 79	pwselbas 17441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))):𝐵⟶𝐵)
81	80, 1	ffvelcdmd 7026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵)
82		irngnzply1.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
83	13, 45, 82	ringrz 20264	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
84	76, 81, 83	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
85	73, 75, 84	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 )
86	40, 44, 85	rspcedvd 3564	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )
87	12, 15, 13, 82, 9, 11	elirng 33818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )))
88	1, 86, 87	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∃wrex 3059  Vcvv 3427  dom cdm 5620  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℕ₀cn0 12426  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212  0_gc0g 17391   ↑_s cpws 17398  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  inv_rcinvr 20356   RingHom crh 20438  SubRingcsubrg 20535  DivRingcdr 20695  Fieldcfield 20696  SubDRingcsdrg 20752  LModclmod 20844  AssAlgcasa 21819  algSccascl 21821  Poly₁cpl1 22129  coe₁cco1 22130   evalSub₁ ces1 22266  deg₁cdg1 26007  Monic_1pcmn1 26079  Unic_1pcuc1p 26080   IntgRing cirng 33815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-srg 20157  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-rlreg 20660  df-drng 20697  df-field 20698  df-sdrg 20753  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-cnfld 21342  df-assa 21822  df-asp 21823  df-ascl 21824  df-psr 21878  df-mvr 21879  df-mpl 21880  df-opsr 21882  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evls1 22268  df-evl1 22269  df-mdeg 26008  df-deg1 26009  df-mon1 26084  df-uc1p 26085  df-irng 33816

This theorem is referenced by:  irngnzply1  33823  extdgfialglem2  33825