Theorem matinv 22802

Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matinv.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h	⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
matinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
matinv.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinv	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Proof of Theorem matinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		eqid 2769	. 2 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2769	. 2 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
4		matinv.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5		matinv.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
6		matinv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7	6, 1	matrcl 22537	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
11	6	matassa 22569	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
12	9, 10, 11	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13		assaring 21979	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16		assalmod 21978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
17	12, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18		crngring 20326	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
21		matinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22		matinv.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringinvcl 20473	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25	19, 20, 24	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
26	6	matsca2 22545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
27	9, 10, 26	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
28	27	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	25, 28	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30		matinv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	6, 30, 1	maduf 22766	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
32	31	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
33	32, 15	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
34		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35		matinv.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
36		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
37	1, 34, 35, 36	lmodvscl 20976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
38	17, 29, 33, 37	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
39	1, 34, 36, 35, 2	assaassr 21977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
40	12, 29, 15, 33, 39	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
41		matinv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
42	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madurid 22769	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
43	15, 10, 42	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
44	43	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
45		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	21, 22, 45, 46	unitlinv 20474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
48	19, 20, 47	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
49	27	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
50	49	oveqd 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)))
51	27	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	48, 50, 51	3eqtr3d 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)))
54	23, 21	unitcl 20456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	3ad2ant3 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
56	55, 28	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
57	1, 3	ringidcl 20347	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
58	14, 57	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
59		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
60	1, 34, 35, 36, 59	lmodvsass 20985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
61	17, 29, 56, 58, 60	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
62		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
63	1, 34, 35, 62	lmodvs1 20988	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
64	17, 58, 63	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
65	53, 61, 64	3eqtr3d 2812	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))) = (1r‘𝐴))
66	40, 44, 65	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = (1r‘𝐴))
67	1, 34, 36, 35, 2	assaass 21976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
68	12, 29, 33, 15, 67	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
69	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madulid 22770	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
70	15, 10, 69	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
72	68, 71, 65	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
73	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72	invrvald 22801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  Unitcui 20436  inv_rcinvr 20468  LModclmod 20958  AssAlgcasa 21968   Mat cmat 22532   maDet cmdat 22709   maAdju cmadu 22757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-splice 14786  df-reverse 14795  df-s2 14884  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-efmnd 18927  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-cntz 19386  df-oppg 19415  df-symg 19439  df-pmtr 19511  df-psgn 19560  df-evpm 19561  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-cnfld 21491  df-zring 21565  df-zrh 21621  df-dsmm 21850  df-frlm 21865  df-assa 21971  df-mamu 22516  df-mat 22533  df-mdet 22710  df-madu 22759

This theorem is referenced by:  matunit  22803