MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinv 21285
Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matinv.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h 𝐻 = (invr𝑅)
matinv.i 𝐼 = (invr𝐴)
matinv.t = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinv ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀𝑈 ∧ (𝐼𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))))

Proof of Theorem matinv
StepHypRef Expression
1 matinv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 eqid 2801 . 2 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3 eqid 2801 . 2 (1r𝐴) = (1r𝐴)
4 matinv.u . 2 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5 matinv.i . 2 𝐼 = (invr𝐴)
6 matinv.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
76, 1matrcl 21020 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
87simpld 498 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
983ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
116matassa 21052 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
129, 10, 11syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13 assaring 20553 . . 3 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀𝐵)
16 assalmod 20552 . . . 4 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
1712, 16syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18 crngring 19305 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19183ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ 𝑉)
21 matinv.v . . . . . 6 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22 matinv.h . . . . . 6 𝐻 = (invr𝑅)
23 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2421, 22, 23ringinvcl 19425 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
2519, 20, 24syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
266matsca2 21028 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
279, 10, 26syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2827fveq2d 6653 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2925, 28eleqtrd 2895 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30 matinv.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
316, 30, 1maduf 21249 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
32313ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵𝐵)
3332, 15ffvelrnd 6833 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
34 eqid 2801 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35 matinv.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
36 eqid 2801 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
371, 34, 35, 36lmodvscl 19647 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀)) ∈ 𝐵)
3817, 29, 33, 37syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀)) ∈ 𝐵)
391, 34, 36, 35, 2assaassr 20551 . . . 4 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))))
4012, 29, 15, 33, 39syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))))
41 matinv.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
426, 1, 30, 41, 3, 2, 35madurid 21252 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
4315, 10, 42syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
4443oveq2d 7155 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
45 eqid 2801 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
46 eqid 2801 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4721, 22, 45, 46unitlinv 19426 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = (1r𝑅))
4819, 20, 47syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = (1r𝑅))
4927fveq2d 6653 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
5049oveqd 7156 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)))
5127fveq2d 6653 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5248, 50, 513eqtr3d 2844 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5352oveq1d 7154 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)))
5423, 21unitcl 19408 . . . . . . 7 ((𝐷𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55543ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
5655, 28eleqtrd 2895 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
571, 3ringidcl 19317 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
5814, 57syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
59 eqid 2801 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
601, 34, 35, 36, 59lmodvsass 19655 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
6117, 29, 56, 58, 60syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
62 eqid 2801 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
631, 34, 35, 62lmodvs1 19658 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)) = (1r𝐴))
6417, 58, 63syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)) = (1r𝐴))
6553, 61, 643eqtr3d 2844 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))) = (1r𝐴))
6640, 44, 653eqtrd 2840 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = (1r𝐴))
671, 34, 36, 35, 2assaass 20550 . . . 4 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵𝑀𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)))
6812, 29, 33, 15, 67syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)))
696, 1, 30, 41, 3, 2, 35madulid 21253 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
7015, 10, 69syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
7170oveq2d 7155 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
7268, 71, 653eqtrd 2840 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = (1r𝐴))
731, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72invrvald 21284 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀𝑈 ∧ (𝐼𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  Unitcui 19388  invrcinvr 19420  LModclmod 19630  AssAlgcasa 20542   Mat cmat 21015   maDet cmdat 21192   maAdju cmadu 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-efmnd 18029  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-gim 18394  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-symg 18491  df-pmtr 18565  df-psgn 18614  df-evpm 18615  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20200  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-assa 20545  df-mamu 20994  df-mat 21016  df-mdet 21193  df-madu 21242
This theorem is referenced by:  matunit  21286
  Copyright terms: Public domain W3C validator