Theorem matinv 22633

Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matinv.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h	⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
matinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
matinv.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinv	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Proof of Theorem matinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
4		matinv.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5		matinv.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
6		matinv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7	6, 1	matrcl 22368	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
11	6	matassa 22400	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13		assaring 21828	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16		assalmod 21827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18		crngring 20192	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
21		matinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22		matinv.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringinvcl 20340	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25	19, 20, 24	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
26	6	matsca2 22376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
27	9, 10, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
28	27	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	25, 28	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30		matinv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	6, 30, 1	maduf 22597	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
32	31	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
33	32, 15	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35		matinv.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
36		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
37	1, 34, 35, 36	lmodvscl 20841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
38	17, 29, 33, 37	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
39	1, 34, 36, 35, 2	assaassr 21826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
40	12, 29, 15, 33, 39	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
41		matinv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
42	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madurid 22600	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
43	15, 10, 42	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
44	43	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
45		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	21, 22, 45, 46	unitlinv 20341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
48	19, 20, 47	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
49	27	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
50	49	oveqd 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)))
51	27	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	48, 50, 51	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)))
54	23, 21	unitcl 20323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
56	55, 28	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
57	1, 3	ringidcl 20212	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
58	14, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
59		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
60	1, 34, 35, 36, 59	lmodvsass 20850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
61	17, 29, 56, 58, 60	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
62		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
63	1, 34, 35, 62	lmodvs1 20853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
64	17, 58, 63	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
65	53, 61, 64	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))) = (1r‘𝐴))
66	40, 44, 65	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = (1r‘𝐴))
67	1, 34, 36, 35, 2	assaass 21825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
68	12, 29, 33, 15, 67	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
69	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madulid 22601	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
70	15, 10, 69	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
72	68, 71, 65	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
73	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72	invrvald 22632	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  Unitcui 20303  inv_rcinvr 20335  LModclmod 20823  AssAlgcasa 21817   Mat cmat 22363   maDet cmdat 22540   maAdju cmadu 22588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-symg 19311  df-pmtr 19383  df-psgn 19432  df-evpm 19433  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-assa 21820  df-mamu 22347  df-mat 22364  df-mdet 22541  df-madu 22590

This theorem is referenced by:  matunit  22634