Theorem matinv 22108

Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matinv.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h	⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
matinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
matinv.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinv	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Proof of Theorem matinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
4		matinv.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5		matinv.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
6		matinv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7	6, 1	matrcl 21841	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
11	6	matassa 21875	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13		assaring 21349	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16		assalmod 21348	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18		crngring 20026	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
21		matinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22		matinv.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringinvcl 20158	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25	19, 20, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
26	6	matsca2 21851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
27	9, 10, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
28	27	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	25, 28	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30		matinv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	6, 30, 1	maduf 22072	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
33	32, 15	ffvelcdmd 7072	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
34		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35		matinv.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
36		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
37	1, 34, 35, 36	lmodvscl 20438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
38	17, 29, 33, 37	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
39	1, 34, 36, 35, 2	assaassr 21347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
40	12, 29, 15, 33, 39	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
41		matinv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
42	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madurid 22075	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
43	15, 10, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
44	43	oveq2d 7409	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
45		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	21, 22, 45, 46	unitlinv 20159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
48	19, 20, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
49	27	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
50	49	oveqd 7410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)))
51	27	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	48, 50, 51	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)))
54	23, 21	unitcl 20141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
56	55, 28	eleqtrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
57	1, 3	ringidcl 20040	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
58	14, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
59		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
60	1, 34, 35, 36, 59	lmodvsass 20446	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
61	17, 29, 56, 58, 60	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
62		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
63	1, 34, 35, 62	lmodvs1 20449	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
64	17, 58, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
65	53, 61, 64	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))) = (1r‘𝐴))
66	40, 44, 65	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = (1r‘𝐴))
67	1, 34, 36, 35, 2	assaass 21346	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
68	12, 29, 33, 15, 67	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
69	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madulid 22076	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
70	15, 10, 69	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7409	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
72	68, 71, 65	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
73	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72	invrvald 22107	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Fincfn 8922  Basecbs 17126  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  1_rcur 19963  Ringcrg 20014  CRingccrg 20015  Unitcui 20121  inv_rcinvr 20153  LModclmod 20420  AssAlgcasa 21338   Mat cmat 21836   maDet cmdat 22015   maAdju cmadu 22063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-word 14447  df-lsw 14495  df-concat 14503  df-s1 14528  df-substr 14573  df-pfx 14603  df-splice 14682  df-reverse 14691  df-s2 14781  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-efmnd 18725  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-gim 19099  df-cntz 19147  df-oppg 19174  df-symg 19199  df-pmtr 19274  df-psgn 19323  df-evpm 19324  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-drng 20267  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-zrh 20986  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-assa 21341  df-mamu 21815  df-mat 21837  df-mdet 22016  df-madu 22065

This theorem is referenced by:  matunit  22109