MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinv 22108
Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matinv.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h 𝐻 = (invr𝑅)
matinv.i 𝐼 = (invr𝐴)
matinv.t = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinv ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀𝑈 ∧ (𝐼𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))))

Proof of Theorem matinv
StepHypRef Expression
1 matinv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 eqid 2731 . 2 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3 eqid 2731 . 2 (1r𝐴) = (1r𝐴)
4 matinv.u . 2 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5 matinv.i . 2 𝐼 = (invr𝐴)
6 matinv.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
76, 1matrcl 21841 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
87simpld 495 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
983ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simp1 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
116matassa 21875 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
129, 10, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13 assaring 21349 . . 3 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15 simp2 1137 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀𝐵)
16 assalmod 21348 . . . 4 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
1712, 16syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18 crngring 20026 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19183ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ 𝑉)
21 matinv.v . . . . . 6 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22 matinv.h . . . . . 6 𝐻 = (invr𝑅)
23 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2421, 22, 23ringinvcl 20158 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
2519, 20, 24syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
266matsca2 21851 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
279, 10, 26syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2827fveq2d 6882 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2925, 28eleqtrd 2834 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30 matinv.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
316, 30, 1maduf 22072 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
32313ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵𝐵)
3332, 15ffvelcdmd 7072 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
34 eqid 2731 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35 matinv.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
36 eqid 2731 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
371, 34, 35, 36lmodvscl 20438 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀)) ∈ 𝐵)
3817, 29, 33, 37syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀)) ∈ 𝐵)
391, 34, 36, 35, 2assaassr 21347 . . . 4 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))))
4012, 29, 15, 33, 39syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))))
41 matinv.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
426, 1, 30, 41, 3, 2, 35madurid 22075 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
4315, 10, 42syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
4443oveq2d 7409 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
45 eqid 2731 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
46 eqid 2731 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4721, 22, 45, 46unitlinv 20159 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = (1r𝑅))
4819, 20, 47syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = (1r𝑅))
4927fveq2d 6882 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
5049oveqd 7410 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)))
5127fveq2d 6882 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5248, 50, 513eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5352oveq1d 7408 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)))
5423, 21unitcl 20141 . . . . . . 7 ((𝐷𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55543ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
5655, 28eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
571, 3ringidcl 20040 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
5814, 57syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
59 eqid 2731 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
601, 34, 35, 36, 59lmodvsass 20446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
6117, 29, 56, 58, 60syl13anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
62 eqid 2731 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
631, 34, 35, 62lmodvs1 20449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)) = (1r𝐴))
6417, 58, 63syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)) = (1r𝐴))
6553, 61, 643eqtr3d 2779 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))) = (1r𝐴))
6640, 44, 653eqtrd 2775 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = (1r𝐴))
671, 34, 36, 35, 2assaass 21346 . . . 4 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵𝑀𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)))
6812, 29, 33, 15, 67syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)))
696, 1, 30, 41, 3, 2, 35madulid 22076 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
7015, 10, 69syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
7170oveq2d 7409 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
7268, 71, 653eqtrd 2775 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = (1r𝐴))
731, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72invrvald 22107 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀𝑈 ∧ (𝐼𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  Fincfn 8922  Basecbs 17126  .rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·𝑠 cvsca 17183  1rcur 19963  Ringcrg 20014  CRingccrg 20015  Unitcui 20121  invrcinvr 20153  LModclmod 20420  AssAlgcasa 21338   Mat cmat 21836   maDet cmdat 22015   maAdju cmadu 22063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-word 14447  df-lsw 14495  df-concat 14503  df-s1 14528  df-substr 14573  df-pfx 14603  df-splice 14682  df-reverse 14691  df-s2 14781  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-efmnd 18725  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-gim 19099  df-cntz 19147  df-oppg 19174  df-symg 19199  df-pmtr 19274  df-psgn 19323  df-evpm 19324  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-drng 20267  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-zrh 20986  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-assa 21341  df-mamu 21815  df-mat 21837  df-mdet 22016  df-madu 22065
This theorem is referenced by:  matunit  22109
  Copyright terms: Public domain W3C validator