Theorem matinv 22684

Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matinv.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h	⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
matinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
matinv.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinv	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Proof of Theorem matinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
4		matinv.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5		matinv.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
6		matinv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7	6, 1	matrcl 22417	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
11	6	matassa 22451	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13		assaring 21882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16		assalmod 21881	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18		crngring 20243	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
21		matinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22		matinv.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringinvcl 20393	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25	19, 20, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
26	6	matsca2 22427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
27	9, 10, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
28	27	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	25, 28	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30		matinv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	6, 30, 1	maduf 22648	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
33	32, 15	ffvelcdmd 7104	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
34		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35		matinv.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
36		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
37	1, 34, 35, 36	lmodvscl 20877	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
38	17, 29, 33, 37	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
39	1, 34, 36, 35, 2	assaassr 21880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
40	12, 29, 15, 33, 39	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
41		matinv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
42	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madurid 22651	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
43	15, 10, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
44	43	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
45		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	21, 22, 45, 46	unitlinv 20394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
48	19, 20, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
49	27	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
50	49	oveqd 7449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)))
51	27	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	48, 50, 51	3eqtr3d 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)))
54	23, 21	unitcl 20376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
56	55, 28	eleqtrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
57	1, 3	ringidcl 20263	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
58	14, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
59		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
60	1, 34, 35, 36, 59	lmodvsass 20886	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
61	17, 29, 56, 58, 60	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
62		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
63	1, 34, 35, 62	lmodvs1 20889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
64	17, 58, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
65	53, 61, 64	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))) = (1r‘𝐴))
66	40, 44, 65	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = (1r‘𝐴))
67	1, 34, 36, 35, 2	assaass 21879	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
68	12, 29, 33, 15, 67	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
69	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madulid 22652	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
70	15, 10, 69	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
72	68, 71, 65	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
73	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72	invrvald 22683	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  Unitcui 20356  inv_rcinvr 20388  LModclmod 20859  AssAlgcasa 21871   Mat cmat 22412   maDet cmdat 22591   maAdju cmadu 22639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-efmnd 18883  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-symg 19388  df-pmtr 19461  df-psgn 19510  df-evpm 19511  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-assa 21874  df-mamu 22396  df-mat 22413  df-mdet 22592  df-madu 22641

This theorem is referenced by:  matunit  22685