Theorem asclmul2 21847

Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmul1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
asclmul1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclmul2	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝐴‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclmul1.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		asclmul1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		asclmul1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclval 21840	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
7	6	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
8	7	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝐴‘𝑅)) = (𝑋 × (𝑅 · (1r‘𝑊))))
9		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
11		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		assaring 21821	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
14		asclmul1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15	14, 5	ringidcl 20225	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
17		asclmul1.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	14, 2, 3, 4, 17	assaassr 21819	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝑅 · (1r‘𝑊))) = (𝑅 · (𝑋 × (1r‘𝑊))))
19	9, 10, 11, 16, 18	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝑅 · (1r‘𝑊))) = (𝑅 · (𝑋 × (1r‘𝑊))))
20	14, 17, 5	ringridm 20230	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (1r‘𝑊)) = 𝑋)
21	13, 11, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (1r‘𝑊)) = 𝑋)
22	21	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 × (1r‘𝑊))) = (𝑅 · 𝑋))
23	8, 19, 22	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝐴‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  AssAlgcasa 21810  algSccascl 21812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-assa 21813  df-ascl 21815

This theorem is referenced by:  monmatcollpw  22717  pmatcollpwlem  22718  cayhamlem2  22822  evlselv  42610  asclcntr  48982  asclcom  48983