MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclmul2 21242
Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t × = (.r𝑊)
asclmul1.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclmul2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑋 × (𝐴𝑅)) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul2
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2 asclmul1.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 asclmul1.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 asclmul1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
5 eqid 2737 . . . . 5 (1r𝑊) = (1r𝑊)
61, 2, 3, 4, 5asclval 21235 . . . 4 (𝑅𝐾 → (𝐴𝑅) = (𝑅 · (1r𝑊)))
763ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝐴𝑅) = (𝑅 · (1r𝑊)))
87oveq2d 7367 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑋 × (𝐴𝑅)) = (𝑋 × (𝑅 · (1r𝑊))))
9 simp1 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
10 simp2 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
11 simp3 1138 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
12 assaring 21219 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
14 asclmul1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1514, 5ringidcl 19942 . . . 4 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
1613, 15syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
17 asclmul1.t . . . 4 × = (.r𝑊)
1814, 2, 3, 4, 17assaassr 21217 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉 ∧ (1r𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝑅 · (1r𝑊))) = (𝑅 · (𝑋 × (1r𝑊))))
199, 10, 11, 16, 18syl13anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑋 × (𝑅 · (1r𝑊))) = (𝑅 · (𝑋 × (1r𝑊))))
2014, 17, 5ringridm 19946 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 × (1r𝑊)) = 𝑋)
2113, 11, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑋 × (1r𝑊)) = 𝑋)
2221oveq2d 7367 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · (𝑋 × (1r𝑊))) = (𝑅 · 𝑋))
238, 19, 223eqtrd 2781 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑋 × (𝐴𝑅)) = (𝑅 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  .rcmulr 17093  Scalarcsca 17095   ·𝑠 cvsca 17096  1rcur 19871  Ringcrg 19917  AssAlgcasa 21208  algSccascl 21210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-plusg 17105  df-0g 17282  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-assa 21211  df-ascl 21213
This theorem is referenced by:  monmatcollpw  22079  pmatcollpwlem  22080  cayhamlem2  22184
  Copyright terms: Public domain W3C validator