Theorem zlmassa 21883

Description: The ℤ-module operation turns a ring into an associative algebra over ℤ. Also see zlmlmod 21502. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmassa.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmassa	⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem zlmassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmassa.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21497	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5	1	zlmsca 21500	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘𝑊))
6		zringbas 21433	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤ = (Base‘ℤring))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	1, 8	zlmvsca 21501	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
12	1, 11	zlmmulr 21499	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
14		ringabl 20262	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Abel)
15	1	zlmlmod 21502	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
16	14, 15	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
18	1, 17	zlmplusg 21498	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
19	3, 18, 12	ringprop 20271	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ Ring)
20	19	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	2, 8, 11	mulgass2 20290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(.r‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
22	2, 8, 11	mulgass3 20333	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(.r‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
23	4, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 21, 22	isassad 21845	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ AssAlg)
24		assaring 21841	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
25	24, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Ring)
26	23, 25	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  ℤcz 12524  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221   ·_𝑠 cvsca 17224  ._gcmg 19043  Abelcabl 19756  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  ℤ_ringczring 21426  ℤModczlm 21480  AssAlgcasa 21830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zlm 21484  df-assa 21833

This theorem is referenced by: (None)