MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmassa 21941
Description: The -module operation turns a ring into an associative algebra over . Also see zlmlmod 21555. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmassa.w 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmassa (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem zlmassa
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmassa.w . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2zlmbas 21547 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
51zlmsca 21553 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘𝑊))
6 zringbas 21482 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → ℤ = (Base‘ℤring))
8 eqid 2735 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
91, 8zlmvsca 21554 . . . 4 (.g𝐺) = ( ·𝑠𝑊)
109a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → (.g𝐺) = ( ·𝑠𝑊))
11 eqid 2735 . . . . 5 (.r𝐺) = (.r𝐺)
121, 11zlmmulr 21551 . . . 4 (.r𝐺) = (.r𝑊)
1312a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → (.r𝐺) = (.r𝑊))
14 ringabl 20295 . . . 4 (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Abel)
151zlmlmod 21555 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
1614, 15sylib 218 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
17 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
181, 17zlmplusg 21549 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝑊)
193, 18, 12ringprop 20304 . . . 4 (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ Ring)
2019biimpi 216 . . 3 (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
212, 8, 11mulgass2 20323 . . 3 ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(.g𝐺)𝑦)(.r𝐺)𝑧) = (𝑥(.g𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑧)))
222, 8, 11mulgass3 20370 . . 3 ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(.r𝐺)(𝑥(.g𝐺)𝑧)) = (𝑥(.g𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑧)))
234, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 21, 22isassad 21903 . 2 (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ AssAlg)
24 assaring 21899 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2524, 19sylibr 234 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Ring)
2623, 25impbii 209 1 (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  cz 12611  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299   ·𝑠 cvsca 17302  .gcmg 19098  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  ringczring 21475  ℤModczlm 21529  AssAlgcasa 21888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zlm 21533  df-assa 21891
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator