Theorem zlmassa 22191

Description: The ℤ-module operation turns a ring into an associative algebra over ℤ. Also see zlmlmod 21808. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmassa.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmassa	⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem zlmassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmassa.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21803	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5	1	zlmsca 21806	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘𝑊))
6		zringbas 21739	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤ = (Base‘ℤring))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	1, 8	zlmvsca 21807	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
12	1, 11	zlmmulr 21805	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
14		ringabl 20490	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Abel)
15	1	zlmlmod 21808	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
16	14, 15	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
18	1, 17	zlmplusg 21804	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
19	3, 18, 12	ringprop 20501	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ Ring)
20	19	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	2, 8, 11	mulgass2 20520	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(.r‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
22	2, 8, 11	mulgass3 20563	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(.r‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
23	4, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 21, 22	isassad 22153	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ AssAlg)
24		assaring 22149	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
25	24, 19	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Ring)
26	23, 25	impbii 212	1 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  ℤcz 12674  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409   ·_𝑠 cvsca 17412  ._gcmg 19257  Abelcabl 19975  Ringcrg 20439  LModclmod 21115  ℤ_ringczring 21732  ℤModczlm 21786  AssAlgcasa 22138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zlm 21790  df-assa 22141

This theorem is used by: (None)