Theorem zlmassa 20665

Description: The ℤ-module operation turns a ring into an associative algebra over ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmassa	⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem zlmassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 20659	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5	1	zlmsca 20662	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘𝑊))
6		zringbas 20617	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤ = (Base‘ℤring))
8		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	1, 8	zlmvsca 20663	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
12	1, 11	zlmmulr 20661	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
14		ringabl 19324	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Abel)
15	1	zlmlmod 20664	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
16	14, 15	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
17		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
18	1, 17	zlmplusg 20660	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
19	3, 18, 12	ringprop 19328	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ Ring)
20	19	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21		zringcrng 20613	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ CRing
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤring ∈ CRing)
23	2, 8, 11	mulgass2 19345	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(.r‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
24	2, 8, 11	mulgass3 19381	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(.r‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
25	4, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 22, 23, 24	isassad 20090	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ AssAlg)
26		assaring 20087	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
27	26, 19	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Ring)
28	25, 27	impbii 211	1 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  ℤcz 11975  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560   ·_𝑠 cvsca 16563  ._gcmg 18218  Abelcabl 18901  Ringcrg 19291  CRingccrg 19292  LModclmod 19628  AssAlgcasa 20076  ℤ_ringzring 20611  ℤModczlm 20642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-assa 20079  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zlm 20646

This theorem is referenced by: (None)