Theorem zlmassa 21106

Description: The ℤ-module operation turns a ring into an associative algebra over ℤ. Also see zlmlmod 20728. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmassa.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmassa	⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem zlmassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmassa.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 20720	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5	1	zlmsca 20726	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘𝑊))
6		zringbas 20676	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤ = (Base‘ℤring))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	1, 8	zlmvsca 20727	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
12	1, 11	zlmmulr 20724	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
14		ringabl 19819	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Abel)
15	1	zlmlmod 20728	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
16	14, 15	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
18	1, 17	zlmplusg 20722	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
19	3, 18, 12	ringprop 19823	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ Ring)
20	19	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21		zringcrng 20672	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ CRing
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → ℤring ∈ CRing)
23	2, 8, 11	mulgass2 19840	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(.r‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
24	2, 8, 11	mulgass3 19879	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(.r‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.r‘𝐺)𝑧)))
25	4, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 22, 23, 24	isassad 21071	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝑊 ∈ AssAlg)
26		assaring 21068	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
27	26, 19	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Ring)
28	25, 27	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ Ring ↔ 𝑊 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ℤcz 12319  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  ._gcmg 18700  Abelcabl 19387  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  LModclmod 20123  ℤ_ringczring 20670  ℤModczlm 20702  AssAlgcasa 21057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zlm 20706  df-assa 21060

This theorem is referenced by: (None)