Theorem asclmulg 21811

Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmulg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmulg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmulg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmulg.m	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
asclmulg.t	⊢ ∗ = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclmulg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Proof of Theorem asclmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21769	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		assaring 21770	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
8	6, 7	ringidcl 20174	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	9	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		asclmulg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		asclmulg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		asclmulg.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
15		asclmulg.t	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐹)
16	6, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsmmulgdi 20803	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	2, 3, 4, 10, 16	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
18		asclmulg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
19	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21789	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
20	3, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
22	11	assasca 21771	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
23	22	ringgrpd 20151	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Grp)
25	4	nn0zd 12555	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	13, 15, 24, 25, 3	mulgcld 19028	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾)
27	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21789	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
29	17, 21, 28	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18865  ._gcmg 18999  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  AssAlgcasa 21759  algSccascl 21761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-assa 21762  df-ascl 21764

This theorem is referenced by:  ply1chr  22193