Theorem asclmulg 31568

Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmulg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmulg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmulg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmulg.m	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
asclmulg.t	⊢ ∗ = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclmulg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Proof of Theorem asclmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 20977	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
4		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		assaring 20978	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
8	6, 7	ringidcl 19722	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	9	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		asclmulg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		asclmulg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		asclmulg.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
15		asclmulg.t	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐹)
16	6, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsmmulgdi 20073	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	2, 3, 4, 10, 16	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
18		asclmulg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
19	18, 11, 13, 12, 7	asclval 20994	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
20	3, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
22	11	assasca 20979	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
23	22	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ CRing)
24	23	crnggrpd 19712	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Grp)
25	4	nn0zd 12353	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	13, 15, 24, 25, 3	mulgcld 18640	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾)
27	18, 11, 13, 12, 7	asclval 20994	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
29	17, 21, 28	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  ._gcmg 18615  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  LModclmod 20038  AssAlgcasa 20967  algSccascl 20969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-lmod 20040  df-assa 20970  df-ascl 20972

This theorem is referenced by:  ply1chr  31571