Theorem asclmulg 31666

Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmulg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmulg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmulg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmulg.m	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
asclmulg.t	⊢ ∗ = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclmulg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Proof of Theorem asclmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21067	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
4		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		assaring 21068	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
8	6, 7	ringidcl 19807	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	9	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		asclmulg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		asclmulg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		asclmulg.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
15		asclmulg.t	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐹)
16	6, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsmmulgdi 20158	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	2, 3, 4, 10, 16	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
18		asclmulg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
19	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21084	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
20	3, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
22	11	assasca 21069	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ CRing)
24	23	crnggrpd 19797	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Grp)
25	4	nn0zd 12424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	13, 15, 24, 25, 3	mulgcld 18725	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾)
27	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21084	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
29	17, 21, 28	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  ._gcmg 18700  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  LModclmod 20123  AssAlgcasa 21057  algSccascl 21059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-lmod 20125  df-assa 21060  df-ascl 21062

This theorem is referenced by:  ply1chr  31669