Theorem asclmulg 21892

Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmulg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmulg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmulg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmulg.m	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
asclmulg.t	⊢ ∗ = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclmulg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Proof of Theorem asclmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21850	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
4		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		assaring 21851	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
8	6, 7	ringidcl 20237	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	9	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		asclmulg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		asclmulg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		asclmulg.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
15		asclmulg.t	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐹)
16	6, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsmmulgdi 20883	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	2, 3, 4, 10, 16	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
18		asclmulg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
19	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21869	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
20	3, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
22	11	assasca 21852	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
23	22	ringgrpd 20214	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Grp)
25	4	nn0zd 12540	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	13, 15, 24, 25, 3	mulgcld 19063	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾)
27	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21869	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
29	17, 21, 28	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Grpcgrp 18900  ._gcmg 19034  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  LModclmod 20846  AssAlgcasa 21840  algSccascl 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-assa 21843  df-ascl 21845

This theorem is referenced by:  ply1chr  22281