Theorem asclmulg 31662

Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmulg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmulg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmulg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmulg.m	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
asclmulg.t	⊢ ∗ = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclmulg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Proof of Theorem asclmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21065	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
4		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		assaring 21066	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
8	6, 7	ringidcl 19805	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	9	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		asclmulg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		asclmulg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		asclmulg.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
15		asclmulg.t	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐹)
16	6, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsmmulgdi 20156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	2, 3, 4, 10, 16	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
18		asclmulg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
19	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21082	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
20	3, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7287	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
22	11	assasca 21067	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ CRing)
24	23	crnggrpd 19795	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Grp)
25	4	nn0zd 12423	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	13, 15, 24, 25, 3	mulgcld 18723	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾)
27	18, 11, 13, 12, 7	asclval 21082	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∗ 𝑋) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = ((𝑁 ∗ 𝑋)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
29	17, 21, 28	3eqtr4rd 2791	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑁 ∗ 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐴‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16910  Scalarcsca 16963   ·_𝑠 cvsca 16964  ._gcmg 18698  1_rcur 19735  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782  LModclmod 20121  AssAlgcasa 21055  algSccascl 21057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-seq 13720  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-lmod 20123  df-assa 21058  df-ascl 21060

This theorem is referenced by:  ply1chr  31665