Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  asclmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclmulg 31132
 Description: Apply group multiplication to the algebra scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmulg.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmulg.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmulg.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmulg.m = (.g𝑊)
asclmulg.t = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
asclmulg ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝐴‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 (𝐴𝑋)))

Proof of Theorem asclmulg
StepHypRef Expression
1 assalmod 20568 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp3 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → 𝑋𝐾)
4 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 assaring 20569 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2798 . . . . . 6 (1r𝑊) = (1r𝑊)
86, 7ringidcl 19332 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1093ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11 asclmulg.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 asclmulg.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
14 asclmulg.m . . . 4 = (.g𝑊)
15 asclmulg.t . . . 4 = (.g𝐹)
166, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsmmulgdi 19680 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐾𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑁 (𝑋( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = ((𝑁 𝑋)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
172, 3, 4, 10, 16syl13anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝑁 (𝑋( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = ((𝑁 𝑋)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
18 asclmulg.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑊)
1918, 11, 13, 12, 7asclval 20585 . . . 4 (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
203, 19syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
2120oveq2d 7158 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝑁 (𝐴𝑋)) = (𝑁 (𝑋( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
2211assasca 20570 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
23223ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → 𝐹 ∈ CRing)
2423crnggrpd 19322 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → 𝐹 ∈ Grp)
254nn0zd 12090 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
2613, 15, 24, 25, 3mulgcld 18259 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐾)
2718, 11, 13, 12, 7asclval 20585 . . 3 ((𝑁 𝑋) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
2826, 27syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝐴‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
2917, 21, 283eqtr4rd 2844 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → (𝐴‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 (𝐴𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  ℕ0cn0 11900  Basecbs 16492  Scalarcsca 16577   ·𝑠 cvsca 16578  .gcmg 18234  1rcur 19262  Ringcrg 19308  CRingccrg 19309  LModclmod 19645  AssAlgcasa 20558  algSccascl 20560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11987  df-uz 12249  df-fz 12903  df-seq 13382  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-plusg 16587  df-0g 16724  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-mulg 18235  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-ring 19310  df-cring 19311  df-lmod 19647  df-assa 20561  df-ascl 20563 This theorem is referenced by:  ply1chr  31135
 Copyright terms: Public domain W3C validator