Theorem assamulgscmlem1 22240

Description: Lemma 1 for assamulgscm 22242 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 22201	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2		assaring 22202	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
5	3, 4	ringidcl 20527	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
7		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvs1 21198	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
11	10	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
12	1, 6, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
13	12	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
14	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		assamulgscm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
18	3, 7, 8, 17	lmodvscl 21186	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		assamulgscm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 3	mgpbas 20398	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22	20, 4	ringidval 20442	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (0g‘𝐻)
23		assamulgscm.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	21, 22, 23	mulg0 19316	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
25	19, 24	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
26		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
27	26, 17	mgpbas 20398	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	26, 9	ringidval 20442	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (0g‘𝐺)
29		assamulgscm.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	27, 28, 29	mulg0 19316	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
31	15, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
32	21, 22, 23	mulg0 19316	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
33	16, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
34	31, 33	oveq12d 7464	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
35	13, 25, 34	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  ._gcmg 19309  mulGrpcmgp 20393  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  LModclmod 21168  AssAlgcasa 22191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-seq 14175  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mulg 19310  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-assa 22194

This theorem is used by:  assamulgscm  22242