Theorem assamulgscmlem1 22187

Description: Lemma 1 for assamulgscm 22189 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 22148	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2		assaring 22149	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
5	3, 4	ringidcl 20474	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
7		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvs1 21145	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
11	10	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
12	1, 6, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
13	12	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
14	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		assamulgscm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
18	3, 7, 8, 17	lmodvscl 21133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		assamulgscm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 3	mgpbas 20345	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22	20, 4	ringidval 20389	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (0g‘𝐻)
23		assamulgscm.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	21, 22, 23	mulg0 19264	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
25	19, 24	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
26		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
27	26, 17	mgpbas 20345	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	26, 9	ringidval 20389	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (0g‘𝐺)
29		assamulgscm.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	27, 28, 29	mulg0 19264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
31	15, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
32	21, 22, 23	mulg0 19264	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
33	16, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
34	31, 33	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
35	13, 25, 34	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  Basecbs 17367  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  ._gcmg 19257  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  LModclmod 21115  AssAlgcasa 22138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mulg 19258  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-lmod 21117  df-assa 22141

This theorem is used by:  assamulgscm  22189