Theorem assamulgscmlem1 21867

Description: Lemma 1 for assamulgscm 21869 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21827	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2		assaring 21828	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
5	3, 4	ringidcl 20212	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
7		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvs1 20853	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
11	10	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
12	1, 6, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
13	12	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
14	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		assamulgscm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
18	3, 7, 8, 17	lmodvscl 20841	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		assamulgscm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 3	mgpbas 20092	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22	20, 4	ringidval 20130	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (0g‘𝐻)
23		assamulgscm.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	21, 22, 23	mulg0 19016	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
25	19, 24	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
26		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
27	26, 17	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	26, 9	ringidval 20130	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (0g‘𝐺)
29		assamulgscm.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	27, 28, 29	mulg0 19016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
31	15, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
32	21, 22, 23	mulg0 19016	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
33	16, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
34	31, 33	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
35	13, 25, 34	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  ._gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  AssAlgcasa 21817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mulg 19010  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-assa 21820

This theorem is referenced by:  assamulgscm  21869