Theorem assamulgscmlem1 22213

Description: Lemma 1 for assamulgscm 22215 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 22174	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2		assaring 22175	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
5	3, 4	ringidcl 20500	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
7		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvs1 21171	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
11	10	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
12	1, 6, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
13	12	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
14	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		assamulgscm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
18	3, 7, 8, 17	lmodvscl 21159	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		assamulgscm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 3	mgpbas 20371	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22	20, 4	ringidval 20415	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (0g‘𝐻)
23		assamulgscm.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	21, 22, 23	mulg0 19290	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
25	19, 24	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
26		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
27	26, 17	mgpbas 20371	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	26, 9	ringidval 20415	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (0g‘𝐺)
29		assamulgscm.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	27, 28, 29	mulg0 19290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
31	15, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
32	21, 22, 23	mulg0 19290	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
33	16, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
34	31, 33	oveq12d 7439	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
35	13, 25, 34	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  ._gcmg 19283  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  LModclmod 21141  AssAlgcasa 22164

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mulg 19284  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-assa 22167

This theorem is used by:  assamulgscm  22215