MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscmlem1 21762
Description: Lemma 1 for assamulgscm 21764 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem1 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1
StepHypRef Expression
1 assalmod 21724 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2 assaring 21725 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2731 . . . . . 6 (1r𝑊) = (1r𝑊)
53, 4ringidcl 20161 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → (1r𝑊) ∈ 𝑉)
7 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 assamulgscm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2731 . . . . . 6 (1r𝐹) = (1r𝐹)
103, 7, 8, 9lmodvs1 20732 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r𝐹) · (1r𝑊)) = (1r𝑊))
1110eqcomd 2737 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝑊) ∈ 𝑉) → (1r𝑊) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
121, 6, 11syl2anc 583 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (1r𝑊) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
1312adantl 481 . 2 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r𝑊) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
141adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15 simpll 764 . . . 4 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴𝐵)
16 simplr 766 . . . 4 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋𝑉)
17 assamulgscm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
183, 7, 8, 17lmodvscl 20720 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1914, 15, 16, 18syl3anc 1370 . . 3 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20 assamulgscm.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
2120, 3mgpbas 20041 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐻)
2220, 4ringidval 20084 . . . 4 (1r𝑊) = (0g𝐻)
23 assamulgscm.e . . . 4 𝐸 = (.g𝐻)
2421, 22, 23mulg0 19000 . . 3 ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r𝑊))
2519, 24syl 17 . 2 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r𝑊))
26 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
2726, 17mgpbas 20041 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2826, 9ringidval 20084 . . . . 5 (1r𝐹) = (0g𝐺)
29 assamulgscm.p . . . . 5 = (.g𝐺)
3027, 28, 29mulg0 19000 . . . 4 (𝐴𝐵 → (0 𝐴) = (1r𝐹))
3115, 30syl 17 . . 3 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 𝐴) = (1r𝐹))
3221, 22, 23mulg0 19000 . . . 4 (𝑋𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r𝑊))
3316, 32syl 17 . . 3 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r𝑊))
3431, 33oveq12d 7430 . 2 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r𝐹) · (1r𝑊)))
3513, 25, 343eqtr4d 2781 1 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  .gcmg 18993  mulGrpcmgp 20035  1rcur 20082  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  AssAlgcasa 21714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-assa 21717
This theorem is referenced by:  assamulgscm  21764
  Copyright terms: Public domain W3C validator