Theorem assamulgscmlem1 21838

Description: Lemma 1 for assamulgscm 21840 (induction base). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21799	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2		assaring 21800	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
5	3, 4	ringidcl 20185	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
7		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvs1 20825	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
11	10	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
12	1, 6, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
13	12	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (1r‘𝑊) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
14	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		assamulgscm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
18	3, 7, 8, 17	lmodvscl 20813	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		assamulgscm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 3	mgpbas 20065	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22	20, 4	ringidval 20103	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (0g‘𝐻)
23		assamulgscm.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	21, 22, 23	mulg0 18989	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
25	19, 24	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (1r‘𝑊))
26		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
27	26, 17	mgpbas 20065	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	26, 9	ringidval 20103	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (0g‘𝐺)
29		assamulgscm.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	27, 28, 29	mulg0 18989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
31	15, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝐹))
32	21, 22, 23	mulg0 18989	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
33	16, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸𝑋) = (1r‘𝑊))
34	31, 33	oveq12d 7370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝑊)))
35	13, 25, 34	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  Basecbs 17122  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  ._gcmg 18982  mulGrpcmgp 20060  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  LModclmod 20795  AssAlgcasa 21789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mulg 18983  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20797  df-assa 21792

This theorem is referenced by:  assamulgscm  21840