Theorem ascldimul 21825

Description: The algebra scalar lifting function distributes over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
ascldimul.s	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ascldimul	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Proof of Theorem ascldimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21797	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ 𝐾)
5		assaring 21798	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Ring)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	7, 8	ringidcl 20183	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		ascldimul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		ascldimul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		ascldimul.s	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
15	7, 11, 12, 13, 14	lmodvsass 20820	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
16	2, 3, 4, 10, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17	11	lmodring 20801	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
19	13, 14	ringcl 20168	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
21		ascldimul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
22	21, 11, 13, 12, 8	asclval 21817	. . 3 ⊢ ((𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	20, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24	21, 11, 5, 1, 13, 7	asclf 21819	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑊))
25	24	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
26	25	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
27		ascldimul.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑊)
28	21, 11, 13, 7, 27, 12	asclmul1 21823	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)))
29	26, 28	syld3an3 1411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)))
30	21, 11, 13, 12, 8	asclval 21817	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	30	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	31	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	29, 32	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	16, 23, 33	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  LModclmod 20793  AssAlgcasa 21787  algSccascl 21789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-assa 21790  df-ascl 21792

This theorem is referenced by:  asclrhm  21827  asclcom  49048