Theorem ascldimul 21863

Description: The algebra scalar lifting function distributes over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
ascldimul.s	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ascldimul	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Proof of Theorem ascldimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 21835	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ 𝐾)
5		assaring 21836	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6	5	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Ring)
7		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	7, 8	ringidcl 20237	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		ascldimul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		ascldimul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		ascldimul.s	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
15	7, 11, 12, 13, 14	lmodvsass 20877	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
16	2, 3, 4, 10, 15	syl13anc 1380	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17	11	lmodring 20858	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
19	13, 14	ringcl 20222	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl3an1 1169	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
21		ascldimul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
22	21, 11, 13, 12, 8	asclval 21854	. . 3 ⊢ ((𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	20, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24	21, 11, 5, 1, 13, 7	asclf 21856	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑊))
25	24	ffvelcdmda 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
26	25	3adant2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
27		ascldimul.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑊)
28	21, 11, 13, 7, 27, 12	asclmul1 21861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)))
29	26, 28	syld3an3 1417	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)))
30	21, 11, 13, 12, 8	asclval 21854	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	30	3ad2ant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	31	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	29, 32	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	16, 23, 33	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  LModclmod 20850  AssAlgcasa 21825  algSccascl 21827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-assa 21828  df-ascl 21830

This theorem is referenced by:  asclrhm  21865  asclcom  49498