Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ascldimul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ascldimul 20651
 Description: The algebra scalars function distributes over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 5-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ascldimul.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t × = (.r𝑊)
ascldimul.s · = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
ascldimul ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴𝑅) × (𝐴𝑆)))

Proof of Theorem ascldimul
StepHypRef Expression
1 assalmod 20626 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → 𝑅𝐾)
4 simp3 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → 𝑆𝐾)
5 assaring 20627 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
653ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → 𝑊 ∈ Ring)
7 eqid 2759 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 eqid 2759 . . . . 5 (1r𝑊) = (1r𝑊)
97, 8ringidcl 19390 . . . 4 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
106, 9syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11 ascldimul.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 eqid 2759 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 ascldimul.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
14 ascldimul.s . . . 4 · = (.r𝐹)
157, 11, 12, 13, 14lmodvsass 19728 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑆𝐾 ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝑆( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
162, 3, 4, 10, 15syl13anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝑆( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
1711lmodring 19711 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
1913, 14ringcl 19383 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
2018, 19syl3an1 1161 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
21 ascldimul.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2221, 11, 13, 12, 8asclval 20643 . . 3 ((𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
2320, 22syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
2421, 11, 5, 1, 13, 7asclf 20645 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑊))
2524ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝐾) → (𝐴𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
26253adant2 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝐴𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
27 ascldimul.t . . . . 5 × = (.r𝑊)
2821, 11, 13, 7, 27, 12asclmul1 20649 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾 ∧ (𝐴𝑆) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴𝑅) × (𝐴𝑆)) = (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝐴𝑆)))
2926, 28syld3an3 1407 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → ((𝐴𝑅) × (𝐴𝑆)) = (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝐴𝑆)))
3021, 11, 13, 12, 8asclval 20643 . . . . 5 (𝑆𝐾 → (𝐴𝑆) = (𝑆( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
31303ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝐴𝑆) = (𝑆( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3231oveq2d 7167 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝐴𝑆)) = (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝑆( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3329, 32eqtrd 2794 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → ((𝐴𝑅) × (𝐴𝑆)) = (𝑅( ·𝑠𝑊)(𝑆( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3416, 23, 333eqtr4d 2804 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅𝐾𝑆𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴𝑅) × (𝐴𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16542  .rcmulr 16625  Scalarcsca 16627   ·𝑠 cvsca 16628  1rcur 19320  Ringcrg 19366  LModclmod 19703  AssAlgcasa 20616  algSccascl 20618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-plusg 16637  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-lmod 19705  df-assa 20619  df-ascl 20621 This theorem is referenced by:  asclrhm  20654
 Copyright terms: Public domain W3C validator