Theorem pf1subrg 22573

Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1const.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1subrg	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))

Proof of Theorem pf1subrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
4		pf1const.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	evl1rhm 22557	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
8	6, 7	rhmf 20626	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
9		ffn 6702	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
10		fnima 6662	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = ran (eval1‘𝑅))
11	5, 8, 9, 10	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = ran (eval1‘𝑅))
12		pf1const.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
13	11, 12	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = 𝑄)
14	2	ply1assa 22424	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg)
15		assaring 22076	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
16	6	subrgid 20735	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
17	14, 15, 16	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
18		rhmima 20766	. . 3 ⊢ (((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
19	5, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
20	13, 19	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ran crn 5656   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301   ↑_s cpws 17531  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373   RingHom crh 20610  SubRingcsubrg 20731  AssAlgcasa 22065  Poly₁cpl1 22402  eval₁ce1 22539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-assa 22068  df-asp 22069  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-evls 22290  df-evl 22291  df-psr1 22405  df-ply1 22407  df-evl1 22541

This theorem is used by:  pf1f  22575  pf1addcl  22578  pf1mulcl  22579