Theorem pf1subrg 21502

Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1const.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1subrg	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))

Proof of Theorem pf1subrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
4		pf1const.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	evl1rhm 21486	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
8	6, 7	rhmf 19958	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
9		ffn 6593	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
10		fnima 6556	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = ran (eval1‘𝑅))
11	5, 8, 9, 10	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = ran (eval1‘𝑅))
12		pf1const.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
13	11, 12	eqtr4di 2796	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = 𝑄)
14	2	ply1assa 21358	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg)
15		assaring 21056	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
16	6	subrgid 20014	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
18		rhmima 20043	. . 3 ⊢ (((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
19	5, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
20	13, 19	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ran crn 5586   “ cima 5588   Fn wfn 6422  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  Basecbs 16900   ↑_s cpws 17145  Ringcrg 19771  CRingccrg 19772   RingHom crh 19944  SubRingcsubrg 20008  AssAlgcasa 21045  Poly₁cpl1 21336  eval₁ce1 21468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-sup 9189  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-hash 14033  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-hom 16974  df-cco 16975  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-prds 17146  df-pws 17148  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mhm 18418  df-submnd 18419  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-mulg 18689  df-subg 18740  df-ghm 18820  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-abl 19377  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-srg 19730  df-ring 19773  df-cring 19774  df-rnghom 19947  df-subrg 20010  df-lmod 20113  df-lss 20182  df-lsp 20222  df-assa 21048  df-asp 21049  df-ascl 21050  df-psr 21100  df-mvr 21101  df-mpl 21102  df-opsr 21104  df-evls 21270  df-evl 21271  df-psr1 21339  df-ply1 21341  df-evl1 21470

This theorem is referenced by:  pf1f  21504  pf1addcl  21507  pf1mulcl  21508