Theorem pf1subrg 22286

Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1const.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1subrg	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))

Proof of Theorem pf1subrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
4		pf1const.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	evl1rhm 22270	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
8	6, 7	rhmf 20445	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
9		ffn 6706	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
10		fnima 6668	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = ran (eval1‘𝑅))
11	5, 8, 9, 10	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = ran (eval1‘𝑅))
12		pf1const.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
13	11, 12	eqtr4di 2788	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) = 𝑄)
14	2	ply1assa 22135	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg)
15		assaring 21821	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
16	6	subrgid 20533	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
18		rhmima 20564	. . 3 ⊢ (((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
19	5, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅) “ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
20	13, 19	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ran crn 5655   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↑_s cpws 17460  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   RingHom crh 20429  SubRingcsubrg 20529  AssAlgcasa 21810  Poly₁cpl1 22112  eval₁ce1 22252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-evl 22033  df-psr1 22115  df-ply1 22117  df-evl1 22254

This theorem is referenced by:  pf1f  22288  pf1addcl  22291  pf1mulcl  22292