MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplind 20217
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+g𝑌)
mplind.st · = (.r𝑌)
mplind.sc 𝐶 = (algSc‘𝑌)
mplind.sb 𝐵 = (Base‘𝑌)
mplind.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.v ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.x (𝜑𝑋𝐵)
mplind.i (𝜑𝐼 ∈ V)
mplind.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (𝜑𝑋𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplind.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
3 mplind.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 20129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 inss2 4210 . . . . . 6 (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵
6 mplind.sy . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 crngring 19244 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 6, 7, 2, 9mplsubrg 20155 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11 eqid 2826 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
1211subrgss 19472 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
145, 13sstrid 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
166, 15, 7, 2, 9mvrf2 20207 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
1716ffnd 6514 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
18 mplind.v . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
1918ralrimiva 3187 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
20 fnfvrnss 6882 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻) → ran 𝑉𝐻)
2117, 19, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐻)
2216frnd 6520 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
2321, 22ssind 4213 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵))
24 eqid 2826 . . . . . 6 (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2524, 11aspss 20041 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵)) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
264, 14, 23, 25syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
276, 1, 15, 24, 2, 3mplbas2 20186 . . . . 5 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = (Base‘𝑌))
2827, 7syl6eqr 2879 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = 𝐵)
295a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)
306mplassa 20170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
312, 3, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ AssAlg)
32 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = (algSc‘𝑌)
33 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3432, 33asclrhm 20054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
36 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
37 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑌) = (1r𝑌)
3836, 37rhm1 19418 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
40 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))))
4140eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻))
42 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
4342ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
446, 2, 3mplsca 20160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
4544, 9eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Ring)
46 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
4746, 36ringidcl 19254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
49 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Base‘𝑅)
5044fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5149, 50syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5248, 51eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾)
5341, 43, 52rspcdva 3629 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
5439, 53eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐻)
55 assaring 20028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ Ring)
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
577, 37ringidcl 19254 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
5954, 58elind 4175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵))
6059ne0d 4305 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ≠ ∅)
61 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑧𝐻)
62 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑤𝐻)
6361, 62anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧𝐻𝑤𝐻))
64 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
6564caovclg 7334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐻𝑤𝐻)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
6663, 65sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
67 assalmod 20027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ LMod)
6831, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
69 lmodgrp 19577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Grp)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Grp)
72 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
7372elin2d 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐵)
74 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
7574elin2d 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
76 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g𝑌)
777, 76grpcl 18056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵𝑤𝐵) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
7871, 73, 75, 77syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
7966, 78elind 4175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8079anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8180ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
82 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑌)
83 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑌) = (invg𝑌)
8456adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
85 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
8685elin2d 4180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐵)
877, 82, 37, 83, 84, 86ringnegl 19280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) = ((invg𝑌)‘𝑧))
88 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝜑)
89 rhmghm 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
91 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invg‘(Scalar‘𝑌)) = (invg‘(Scalar‘𝑌))
9246, 91, 83ghminv 18310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9390, 48, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9439fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
9593, 94eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
96 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9796eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻))
98 ringgrp 19238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
9945, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
10046, 91grpinvcl 18096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalar‘𝑌) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
10199, 48, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
102101, 51eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾)
10397, 43, 102rspcdva 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
10495, 103eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
10685elin1d 4179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐻)
107 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
108107caovclg 7334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻𝑧𝐻)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
10988, 105, 106, 108syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
11087, 109eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐻)
11170adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
1127, 83grpinvcl 18096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
113111, 86, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
114110, 113elind 4175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵))
11581, 114jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
116115ralrimiva 3187 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
1177, 76, 83issubg2 18239 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Grp → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
11870, 117syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
11929, 60, 116, 118mpbir3and 1336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌))
120 elinel1 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑥𝐻)
121 elinel1 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑦𝐻)
122120, 121anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑥𝐻𝑦𝐻))
123122, 107sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
12456adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Ring)
125 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐻𝐵))
126125elin2d 4180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥𝐵)
127 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))
128127elin2d 4180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦𝐵)
1297, 82ringcl 19247 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
130124, 126, 128, 129syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
131123, 130elind 4175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
132131ralrimivva 3196 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
1337, 37, 82issubrg2 19491 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
13456, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
135119, 59, 132, 134mpbir3and 1336 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌))
1366, 1, 7mplval2 20146 . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
137136subsubrg 19497 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
138137simprbda 499 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13910, 135, 138syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
140 assalmod 20027 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1414, 140syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1421, 6, 7, 2, 9mpllss 20153 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14331adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ AssAlg)
144 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
145 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
146145elin2d 4180 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
147 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
14832, 33, 46, 7, 82, 147asclmul1 20049 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
149143, 144, 146, 148syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
150 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑧))
151150eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶𝑧) ∈ 𝐻))
15243adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
15351adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
154144, 153eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐾)
155151, 152, 154rspcdva 3629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝐶𝑧) ∈ 𝐻)
156145elin1d 4179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐻)
157155, 156jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻))
158107caovclg 7334 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻)) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
159157, 158syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
160149, 159eqeltrrd 2919 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐻)
16168adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ LMod)
1627, 33, 147, 46lmodvscl 19587 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
163161, 144, 146, 162syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
164160, 163elind 4175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
165164ralrimivva 3196 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
166 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
16733, 46, 7, 147, 166islss4 19670 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ LMod → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
16868, 167syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
169119, 165, 168mpbir2and 709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌))
170 eqid 2826 . . . . . . . 8 (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
171136, 170, 166lsslss 19669 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
172171simprbda 499 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
173141, 142, 169, 172syl21anc 835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17424, 11, 170aspid 20039 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
1754, 139, 173, 174syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
17626, 28, 1753sstr3d 4017 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐻𝐵))
177 mplind.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
178176, 177sseldd 3972 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝐵))
179178elin1d 4179 1 (𝜑𝑋𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940  c0 4295  ran crn 5555   Fn wfn 6349  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  Grpcgrp 18048  invgcminusg 18049  SubGrpcsubg 18218   GrpHom cghm 18300  1rcur 19187  Ringcrg 19233  CRingccrg 19234   RingHom crh 19400  SubRingcsubrg 19467  LModclmod 19570  LSubSpclss 19639  AssAlgcasa 20017  AlgSpancasp 20018  algSccascl 20019   mPwSer cmps 20066   mVar cmvr 20067   mPoly cmpl 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13686  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-srg 19192  df-ring 19235  df-cring 19236  df-rnghom 19403  df-subrg 19469  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-assa 20020  df-asp 20021  df-ascl 20022  df-psr 20071  df-mvr 20072  df-mpl 20073
This theorem is referenced by:  mpfind  20255
  Copyright terms: Public domain W3C validator