Theorem mplind 22030

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplind.sk	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplind.sv	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp	⊢ + = (+g‘𝑌)
mplind.st	⊢ · = (.r‘𝑌)
mplind.sc	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑌)
mplind.sb	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mplind.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mplind.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
mplind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplind

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplind.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		mplind.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	1, 2, 3	psrassa 21933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5		inss2 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
6		mplind.sy	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		mplind.sb	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		crngring 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 6, 7, 2, 9	mplsubrg 21965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
12	11	subrgss 20510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14	5, 13	sstrid 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15		mplind.sv	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
16	6, 15, 7, 2, 9	mvrf2 21953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
17	16	ffnd 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
18		mplind.v	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻)
19	18	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻)
20		fnfvrnss 7068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻) → ran 𝑉 ⊆ 𝐻)
21	17, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ 𝐻)
22	16	frnd 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ 𝐵)
23	21, 22	ssind 4194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ (𝐻 ∩ 𝐵))
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
25	24, 11	aspss 21837	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 ⊆ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)))
26	4, 14, 23, 25	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)))
27	6, 1, 15, 24, 2, 3	mplbas2 22002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = (Base‘𝑌))
28	27, 7	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = 𝐵)
29	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
30	6	mplassa 21982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
31	2, 3, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ AssAlg)
32		mplind.sc	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑌)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
34	32, 33	asclrhm 21851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
37		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
38	36, 37	rhm1 20429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r‘𝑌))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r‘𝑌))
40		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))))
41	40	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → ((𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻))
42		mplind.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
43	42	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
44	6, 2, 3	mplsca 21973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
45	44, 9	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Ring)
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
47	46, 36	ringidcl 20205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
49		mplind.sk	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
50	44	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
51	49, 50	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
52	48, 51	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾)
53	41, 43, 52	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
54	39, 53	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ 𝐻)
55		assaring 21821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ Ring)
56	31, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
57	7, 37	ringidcl 20205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
59	54, 58	elind 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
60	59	ne0d 4295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
61		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐻)
62		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐻)
63	61, 62	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻))
64		mplind.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
65	64	caovclg 7553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
66	63, 65	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
67		assalmod 21820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ LMod)
68	31, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
69		lmodgrp 20823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Grp)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ Grp)
72		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
73	72	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
74		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
75	74	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
76		mplind.sp	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ + = (+g‘𝑌)
77	7, 76	grpcl 18876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
78	71, 73, 75, 77	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
79	66, 78	elind 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
80	79	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
81	80	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
82		mplind.st	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑌)
83		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
84	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
85		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
86	85	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
87	7, 82, 37, 83, 84, 86	ringnegl 20242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) · 𝑧) = ((invg‘𝑌)‘𝑧))
88		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝜑)
89		rhmghm 20424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
90	35, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
91		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑌)) = (invg‘(Scalar‘𝑌))
92	46, 91, 83	ghminv 19157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
93	90, 48, 92	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
94	39	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)))
95	93, 94	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)))
96		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
97	96	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻))
98		ringgrp 20178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
99	45, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
100	46, 91	grpinvcl 18922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Scalar‘𝑌) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
101	99, 48, 100	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
102	101, 51	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾)
103	97, 43, 102	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
104	95, 103	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐻)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐻)
106	85	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐻)
107		mplind.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
108	107	caovclg 7553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
109	88, 105, 106, 108	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
110	87, 109	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐻)
111	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
112	7, 83	grpinvcl 18922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
113	111, 86, 112	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
114	110, 113	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
115	81, 114	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))
116	115	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))
117	7, 76, 83	issubg2 19076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Grp → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))))
118	70, 117	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))))
119	29, 60, 116, 118	mpbir3and 1344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌))
120		elinel1 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐻)
121		elinel1 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐻)
122	120, 121	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻))
123	122, 107	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
124	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ Ring)
125		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
126	125	elin2d 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
127		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
128	127	elin2d 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
129	7, 82	ringcl 20190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
130	124, 126, 128, 129	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
131	123, 130	elind 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
132	131	ralrimivva 3180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
133	7, 37, 82	issubrg2 20530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
134	56, 133	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
135	119, 59, 132, 134	mpbir3and 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌))
136	6, 1, 7	mplval2 21956	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
137	136	subsubrg 20536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)))
138	137	simprbda 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌)) → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
139	10, 135, 138	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
140		assalmod 21820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
141	4, 140	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
142	1, 6, 7, 2, 9	mpllss 21963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
143	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ AssAlg)
144		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
145		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
146	145	elin2d 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
147		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
148	32, 33, 46, 7, 82, 147	asclmul1 21847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤))
149	143, 144, 146, 148	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤))
150		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑧))
151	150	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻))
152	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
153	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
154	144, 153	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐾)
155	151, 152, 154	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻)
156	145	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐻)
157	155, 156	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ((𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻))
158	107	caovclg 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻)) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
159	157, 158	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
160	149, 159	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ 𝐻)
161	68	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ LMod)
162	7, 33, 147, 46	lmodvscl 20834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
163	161, 144, 146, 162	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
164	160, 163	elind 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
165	164	ralrimivva 3180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
166		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
167	33, 46, 7, 147, 166	islss4 20918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
168	68, 167	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
169	119, 165, 168	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌))
170		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
171	136, 170, 166	lsslss 20917	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)))
172	171	simprbda 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
173	141, 142, 169, 172	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
174	24, 11, 170	aspid 21835	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)) = (𝐻 ∩ 𝐵))
175	4, 139, 173, 174	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)) = (𝐻 ∩ 𝐵))
176	26, 28, 175	3sstr3d 3989	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐻 ∩ 𝐵))
177		mplind.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
178	176, 177	sseldd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
179	178	elin1d 4157	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ran crn 5626   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  ._rcmulr 17183  Scalarcsca 17185   ·_𝑠 cvsca 17186  Grpcgrp 18868  inv_gcminusg 18869  SubGrpcsubg 19055   GrpHom cghm 19146  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174   RingHom crh 20410  SubRingcsubrg 20507  LModclmod 20816  LSubSpclss 20887  AssAlgcasa 21810  AlgSpancasp 21811  algSccascl 21812   mPwSer cmps 21865   mVar cmvr 21866   mPoly cmpl 21867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20413  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21870  df-mvr 21871  df-mpl 21872

This theorem is referenced by:  mpfind  22075