MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mplind 21622
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+gβ€˜π‘Œ)
mplind.st Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
mplind.sc 𝐢 = (algScβ€˜π‘Œ)
mplind.sb 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mplind.p ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
mplind.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
mplind.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
mplind.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplind.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, +   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐾   π‘₯, Β· ,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplind.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplind.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21525 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 inss2 4228 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
6 mplind.sy . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
8 crngring 20061 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 6, 7, 2, 9mplsubrg 21555 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
1211subrgss 20356 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
145, 13sstrid 3992 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
166, 15, 7, 2, 9mvrf2 21543 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢𝐡)
1716ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
18 mplind.v . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
1918ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
20 fnfvrnss 7116 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻) β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐻)
2117, 19, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐻)
2216frnd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐡)
2321, 22ssind 4231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡))
24 eqid 2732 . . . . . 6 (AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
2524, 11aspss 21422 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) βŠ† ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)))
264, 14, 23, 25syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) βŠ† ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)))
276, 1, 15, 24, 2, 3mplbas2 21588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2827, 7eqtr4di 2790 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) = 𝐡)
295a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)
306mplassa 21572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
312, 3, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
32 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐢 = (algScβ€˜π‘Œ)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
3432, 33asclrhm 21435 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ))
36 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
37 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
3836, 37rhm1 20259 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ) β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘Œ))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘Œ))
40 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
4140eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐻))
42 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
4342ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
446, 2, 3mplsca 21563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
4544, 9eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring)
46 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
4746, 36ringidcl 20076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
49 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5044fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
5149, 50eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
5248, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐾)
5341, 43, 52rspcdva 3613 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐻)
5439, 53eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐻)
55 assaring 21407 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
577, 37ringidcl 20076 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
5954, 58elind 4193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
6059ne0d 4334 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
61 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
62 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐻)
6361, 62anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻))
64 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐻)
6564caovclg 7595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐻)
6663, 65sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐻)
67 assalmod 21406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ π‘Œ ∈ LMod)
6831, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
69 lmodgrp 20470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Œ ∈ LMod β†’ π‘Œ ∈ Grp)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
72 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
7372elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
74 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
7574elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
76 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+gβ€˜π‘Œ)
777, 76grpcl 18823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐡)
7871, 73, 75, 77syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐡)
7966, 78elind 4193 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8079anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8180ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
82 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
83 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜π‘Œ)
8456adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
85 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8685elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
877, 82, 37, 83, 84, 86ringnegl 20107 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§))
88 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ πœ‘)
89 rhmghm 20254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ))
91 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
9246, 91, 83ghminv 19093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ) ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9390, 48, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9439fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))
9593, 94eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))
96 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9796eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) ∈ 𝐻))
98 ringgrp 20054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp)
9945, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp)
10046, 91grpinvcl 18868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
10199, 48, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
102101, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐾)
10397, 43, 102rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) ∈ 𝐻)
10495, 103eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻)
10685elin1d 4197 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
107 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
108107caovclg 7595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) ∈ 𝐻)
10988, 105, 106, 108syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) ∈ 𝐻)
11087, 109eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐻)
11170adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
1127, 83grpinvcl 18868 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
113111, 86, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
114110, 113elind 4193 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
11581, 114jca 512 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))
116115ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))
1177, 76, 83issubg2 19015 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Grp β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))))
11870, 117syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))))
11929, 60, 116, 118mpbir3and 1342 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ))
120 elinel1 4194 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
121 elinel1 4194 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
122120, 121anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻))
123122, 107sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
12456adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
125 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
126125elin2d 4198 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
127 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
128127elin2d 4198 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1297, 82ringcl 20066 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
130124, 126, 128, 129syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
131123, 130elind 4193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
132131ralrimivva 3200 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
1337, 37, 82issubrg2 20375 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
13456, 133syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
135119, 59, 132, 134mpbir3and 1342 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ))
1366, 1, 7mplval2 21546 . . . . . . . 8 π‘Œ = ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs 𝐡)
137136subsubrg 20382 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)))
138137simprbda 499 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13910, 135, 138syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
140 assalmod 21406 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1414, 140syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1421, 6, 7, 2, 9mpllss 21553 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14331adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
144 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
145 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
146145elin2d 4198 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
147 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
14832, 33, 46, 7, 82, 147asclmul1 21431 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀))
149143, 144, 146, 148syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀))
150 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘§))
151150eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻))
15243adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
15351adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
154144, 153eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐾)
155151, 152, 154rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻)
156145elin1d 4197 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐻)
157155, 156jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻))
158107caovclg 7595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻)) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) ∈ 𝐻)
159157, 158syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) ∈ 𝐻)
160149, 159eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐻)
16168adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
1627, 33, 147, 46lmodvscl 20481 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐡)
163161, 144, 146, 162syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐡)
164160, 163elind 4193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
165164ralrimivva 3200 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
166 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Œ) = (LSubSpβ€˜π‘Œ)
16733, 46, 7, 147, 166islss4 20565 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ LMod β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
16868, 167syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
169119, 165, 168mpbir2and 711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ))
170 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
171136, 170, 166lsslss 20564 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)))
172171simprbda 499 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
173141, 142, 169, 172syl21anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17424, 11, 170aspid 21420 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)) = (𝐻 ∩ 𝐡))
1754, 139, 173, 174syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)) = (𝐻 ∩ 𝐡))
17626, 28, 1753sstr3d 4027 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡))
177 mplind.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
178176, 177sseldd 3982 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
179178elin1d 4197 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ran crn 5676   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994   GrpHom cghm 19083  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  AssAlgcasa 21396  AlgSpancasp 21397  algSccascl 21398   mPwSer cmps 21448   mVar cmvr 21449   mPoly cmpl 21450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455
This theorem is referenced by:  mpfind  21661
  Copyright terms: Public domain W3C validator