MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mplind 21969
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+gβ€˜π‘Œ)
mplind.st Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
mplind.sc 𝐢 = (algScβ€˜π‘Œ)
mplind.sb 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mplind.p ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
mplind.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
mplind.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
mplind.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplind.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, +   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐾   π‘₯, Β· ,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplind.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplind.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21872 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 inss2 4224 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
6 mplind.sy . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
8 crngring 20148 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 6, 7, 2, 9mplsubrg 21902 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
1211subrgss 20472 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
145, 13sstrid 3988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
166, 15, 7, 2, 9mvrf2 21890 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢𝐡)
1716ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
18 mplind.v . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
1918ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
20 fnfvrnss 7115 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻) β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐻)
2117, 19, 20syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐻)
2216frnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐡)
2321, 22ssind 4227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡))
24 eqid 2726 . . . . . 6 (AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
2524, 11aspss 21767 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) βŠ† ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)))
264, 14, 23, 25syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) βŠ† ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)))
276, 1, 15, 24, 2, 3mplbas2 21935 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2827, 7eqtr4di 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) = 𝐡)
295a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)
306mplassa 21919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
312, 3, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
32 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐢 = (algScβ€˜π‘Œ)
33 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
3432, 33asclrhm 21780 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ))
36 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
37 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
3836, 37rhm1 20389 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ) β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘Œ))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘Œ))
40 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
4140eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐻))
42 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
4342ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
446, 2, 3mplsca 21910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
4544, 9eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring)
46 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
4746, 36ringidcl 20163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
49 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5044fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
5149, 50eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
5248, 51eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐾)
5341, 43, 52rspcdva 3607 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐻)
5439, 53eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐻)
55 assaring 21752 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
577, 37ringidcl 20163 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
5954, 58elind 4189 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
6059ne0d 4330 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
61 elinel1 4190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
62 elinel1 4190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐻)
6361, 62anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻))
64 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐻)
6564caovclg 7595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐻)
6663, 65sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐻)
67 assalmod 21751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ π‘Œ ∈ LMod)
6831, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
69 lmodgrp 20711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Œ ∈ LMod β†’ π‘Œ ∈ Grp)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
72 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
7372elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
74 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
7574elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
76 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+gβ€˜π‘Œ)
777, 76grpcl 18869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐡)
7871, 73, 75, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐡)
7966, 78elind 4189 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8079anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8180ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
82 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
83 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜π‘Œ)
8456adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
85 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8685elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
877, 82, 37, 83, 84, 86ringnegl 20199 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§))
88 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ πœ‘)
89 rhmghm 20384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ))
91 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
9246, 91, 83ghminv 19146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ) ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9390, 48, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9439fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))
9593, 94eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))
96 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9796eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) ∈ 𝐻))
98 ringgrp 20141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp)
9945, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp)
10046, 91grpinvcl 18915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
10199, 48, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
102101, 51eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐾)
10397, 43, 102rspcdva 3607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) ∈ 𝐻)
10495, 103eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻)
10685elin1d 4193 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
107 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
108107caovclg 7595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) ∈ 𝐻)
10988, 105, 106, 108syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) ∈ 𝐻)
11087, 109eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐻)
11170adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
1127, 83grpinvcl 18915 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
113111, 86, 112syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
114110, 113elind 4189 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
11581, 114jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))
116115ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))
1177, 76, 83issubg2 19066 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Grp β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))))
11870, 117syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))))
11929, 60, 116, 118mpbir3and 1339 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ))
120 elinel1 4190 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
121 elinel1 4190 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
122120, 121anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻))
123122, 107sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
12456adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
125 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
126125elin2d 4194 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
127 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
128127elin2d 4194 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1297, 82ringcl 20153 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
130124, 126, 128, 129syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
131123, 130elind 4189 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
132131ralrimivva 3194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
1337, 37, 82issubrg2 20492 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
13456, 133syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
135119, 59, 132, 134mpbir3and 1339 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ))
1366, 1, 7mplval2 21893 . . . . . . . 8 π‘Œ = ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs 𝐡)
137136subsubrg 20498 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)))
138137simprbda 498 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13910, 135, 138syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
140 assalmod 21751 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1414, 140syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1421, 6, 7, 2, 9mpllss 21900 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14331adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
144 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
145 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
146145elin2d 4194 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
147 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
14832, 33, 46, 7, 82, 147asclmul1 21776 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀))
149143, 144, 146, 148syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀))
150 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘§))
151150eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻))
15243adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
15351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
154144, 153eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐾)
155151, 152, 154rspcdva 3607 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻)
156145elin1d 4193 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐻)
157155, 156jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻))
158107caovclg 7595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻)) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) ∈ 𝐻)
159157, 158syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) ∈ 𝐻)
160149, 159eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐻)
16168adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
1627, 33, 147, 46lmodvscl 20722 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐡)
163161, 144, 146, 162syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐡)
164160, 163elind 4189 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
165164ralrimivva 3194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
166 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Œ) = (LSubSpβ€˜π‘Œ)
16733, 46, 7, 147, 166islss4 20807 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ LMod β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
16868, 167syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
169119, 165, 168mpbir2and 710 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ))
170 eqid 2726 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
171136, 170, 166lsslss 20806 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)))
172171simprbda 498 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
173141, 142, 169, 172syl21anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17424, 11, 170aspid 21765 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)) = (𝐻 ∩ 𝐡))
1754, 139, 173, 174syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)) = (𝐻 ∩ 𝐡))
17626, 28, 1753sstr3d 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡))
177 mplind.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
178176, 177sseldd 3978 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
179178elin1d 4193 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ran crn 5670   Fn wfn 6531  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  SubGrpcsubg 19045   GrpHom cghm 19136  1rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   RingHom crh 20369  SubRingcsubrg 20467  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  AssAlgcasa 21741  AlgSpancasp 21742  algSccascl 21743   mPwSer cmps 21794   mVar cmvr 21795   mPoly cmpl 21796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801
This theorem is referenced by:  mpfind  22008
  Copyright terms: Public domain W3C validator