MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplind 20875
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+g𝑌)
mplind.st · = (.r𝑌)
mplind.sc 𝐶 = (algSc‘𝑌)
mplind.sb 𝐵 = (Base‘𝑌)
mplind.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.v ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.x (𝜑𝑋𝐵)
mplind.i (𝜑𝐼𝑊)
mplind.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (𝜑𝑋𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplind.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
3 mplind.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 20786 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 inss2 4118 . . . . . 6 (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵
6 mplind.sy . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 crngring 19421 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 6, 7, 2, 9mplsubrg 20814 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
1211subrgss 19648 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
145, 13sstrid 3886 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
166, 15, 7, 2, 9mvrf2 20865 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
1716ffnd 6499 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
18 mplind.v . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
1918ralrimiva 3096 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
20 fnfvrnss 6888 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻) → ran 𝑉𝐻)
2117, 19, 20syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐻)
2216frnd 6506 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
2321, 22ssind 4121 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵))
24 eqid 2738 . . . . . 6 (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2524, 11aspss 20683 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵)) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
264, 14, 23, 25syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
276, 1, 15, 24, 2, 3mplbas2 20846 . . . . 5 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = (Base‘𝑌))
2827, 7eqtr4di 2791 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = 𝐵)
295a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)
306mplassa 20830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
312, 3, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ AssAlg)
32 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = (algSc‘𝑌)
33 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3432, 33asclrhm 20697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
36 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
37 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑌) = (1r𝑌)
3836, 37rhm1 19597 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
40 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))))
4140eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻))
42 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
4342ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
446, 2, 3mplsca 20820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
4544, 9eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Ring)
46 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
4746, 36ringidcl 19433 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
49 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Base‘𝑅)
5044fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5149, 50syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5248, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾)
5341, 43, 52rspcdva 3526 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
5439, 53eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐻)
55 assaring 20670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ Ring)
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
577, 37ringidcl 19433 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
5954, 58elind 4082 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵))
6059ne0d 4222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ≠ ∅)
61 elinel1 4083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑧𝐻)
62 elinel1 4083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑤𝐻)
6361, 62anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧𝐻𝑤𝐻))
64 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
6564caovclg 7350 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐻𝑤𝐻)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
6663, 65sylan2 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
67 assalmod 20669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ LMod)
6831, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
69 lmodgrp 19753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Grp)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Grp)
72 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
7372elin2d 4087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐵)
74 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
7574elin2d 4087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
76 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g𝑌)
777, 76grpcl 18220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵𝑤𝐵) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
7871, 73, 75, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
7966, 78elind 4082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8079anassrs 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8180ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
82 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑌)
83 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑌) = (invg𝑌)
8456adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
85 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
8685elin2d 4087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐵)
877, 82, 37, 83, 84, 86ringnegl 19459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) = ((invg𝑌)‘𝑧))
88 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝜑)
89 rhmghm 19592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
91 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invg‘(Scalar‘𝑌)) = (invg‘(Scalar‘𝑌))
9246, 91, 83ghminv 18476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9390, 48, 92syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9439fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
9593, 94eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
96 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9796eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻))
98 ringgrp 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
9945, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
10046, 91grpinvcl 18262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalar‘𝑌) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
10199, 48, 100syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
102101, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾)
10397, 43, 102rspcdva 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
10495, 103eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
105104adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
10685elin1d 4086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐻)
107 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
108107caovclg 7350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻𝑧𝐻)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
10988, 105, 106, 108syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
11087, 109eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐻)
11170adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
1127, 83grpinvcl 18262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
113111, 86, 112syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
114110, 113elind 4082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵))
11581, 114jca 515 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
116115ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
1177, 76, 83issubg2 18405 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Grp → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
11870, 117syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
11929, 60, 116, 118mpbir3and 1343 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌))
120 elinel1 4083 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑥𝐻)
121 elinel1 4083 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑦𝐻)
122120, 121anim12i 616 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑥𝐻𝑦𝐻))
123122, 107sylan2 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
12456adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Ring)
125 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐻𝐵))
126125elin2d 4087 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥𝐵)
127 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))
128127elin2d 4087 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦𝐵)
1297, 82ringcl 19426 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
130124, 126, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
131123, 130elind 4082 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
132131ralrimivva 3103 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
1337, 37, 82issubrg2 19667 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
13456, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
135119, 59, 132, 134mpbir3and 1343 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌))
1366, 1, 7mplval2 20805 . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
137136subsubrg 19673 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
138137simprbda 502 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13910, 135, 138syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
140 assalmod 20669 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1414, 140syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1421, 6, 7, 2, 9mpllss 20812 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14331adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ AssAlg)
144 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
145 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
146145elin2d 4087 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
147 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
14832, 33, 46, 7, 82, 147asclmul1 20692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
149143, 144, 146, 148syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
150 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑧))
151150eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶𝑧) ∈ 𝐻))
15243adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
15351adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
154144, 153eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐾)
155151, 152, 154rspcdva 3526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝐶𝑧) ∈ 𝐻)
156145elin1d 4086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐻)
157155, 156jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻))
158107caovclg 7350 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻)) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
159157, 158syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
160149, 159eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐻)
16168adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ LMod)
1627, 33, 147, 46lmodvscl 19763 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
163161, 144, 146, 162syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
164160, 163elind 4082 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
165164ralrimivva 3103 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
166 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
16733, 46, 7, 147, 166islss4 19846 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ LMod → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
16868, 167syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
169119, 165, 168mpbir2and 713 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌))
170 eqid 2738 . . . . . . . 8 (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
171136, 170, 166lsslss 19845 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
172171simprbda 502 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
173141, 142, 169, 172syl21anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17424, 11, 170aspid 20681 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
1754, 139, 173, 174syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
17626, 28, 1753sstr3d 3921 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐻𝐵))
177 mplind.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
178176, 177sseldd 3876 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝐵))
179178elin1d 4086 1 (𝜑𝑋𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  cin 3840  wss 3841  c0 4209  ran crn 5520   Fn wfn 6328  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  .rcmulr 16662  Scalarcsca 16664   ·𝑠 cvsca 16665  Grpcgrp 18212  invgcminusg 18213  SubGrpcsubg 18384   GrpHom cghm 18466  1rcur 19363  Ringcrg 19409  CRingccrg 19410   RingHom crh 19579  SubRingcsubrg 19643  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  AssAlgcasa 20659  AlgSpancasp 20660  algSccascl 20661   mPwSer cmps 20710   mVar cmvr 20711   mPoly cmpl 20712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-tset 16680  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-srg 19368  df-ring 19411  df-cring 19412  df-rnghom 19582  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-assa 20662  df-asp 20663  df-ascl 20664  df-psr 20715  df-mvr 20716  df-mpl 20717
This theorem is referenced by:  mpfind  20914
  Copyright terms: Public domain W3C validator