MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mplind 22014
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+gβ€˜π‘Œ)
mplind.st Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
mplind.sc 𝐢 = (algScβ€˜π‘Œ)
mplind.sb 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mplind.p ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
mplind.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
mplind.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
mplind.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplind.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, +   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐾   π‘₯, Β· ,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplind.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplind.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21916 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 inss2 4230 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
6 mplind.sy . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
8 crngring 20185 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 6, 7, 2, 9mplsubrg 21947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
1211subrgss 20511 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
145, 13sstrid 3991 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
166, 15, 7, 2, 9mvrf2 21935 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢𝐡)
1716ffnd 6723 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
18 mplind.v . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
1918ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
20 fnfvrnss 7131 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ 𝐻) β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐻)
2117, 19, 20syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐻)
2216frnd 6730 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐡)
2321, 22ssind 4233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡))
24 eqid 2728 . . . . . 6 (AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
2524, 11aspss 21810 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) βŠ† ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)))
264, 14, 23, 25syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) βŠ† ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)))
276, 1, 15, 24, 2, 3mplbas2 21980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2827, 7eqtr4di 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜ran 𝑉) = 𝐡)
295a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)
306mplassa 21964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
312, 3, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
32 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐢 = (algScβ€˜π‘Œ)
33 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
3432, 33asclrhm 21823 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ))
36 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
37 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
3836, 37rhm1 20428 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ) β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘Œ))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘Œ))
40 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
4140eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐻))
42 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
4342ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
446, 2, 3mplsca 21955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
4544, 9eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring)
46 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
4746, 36ringidcl 20202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
49 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5044fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
5149, 50eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
5248, 51eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐾)
5341, 43, 52rspcdva 3610 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐻)
5439, 53eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐻)
55 assaring 21795 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
577, 37ringidcl 20202 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
5954, 58elind 4194 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
6059ne0d 4336 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
61 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
62 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐻)
6361, 62anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻))
64 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐻)
6564caovclg 7613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐻)
6663, 65sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐻)
67 assalmod 21794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Œ ∈ AssAlg β†’ π‘Œ ∈ LMod)
6831, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
69 lmodgrp 20750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Œ ∈ LMod β†’ π‘Œ ∈ Grp)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
72 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
7372elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
7574elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
76 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+gβ€˜π‘Œ)
777, 76grpcl 18898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐡)
7871, 73, 75, 77syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ 𝐡)
7966, 78elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8079anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8180ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
82 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
83 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜π‘Œ)
8456adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
85 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
8685elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
877, 82, 37, 83, 84, 86ringnegl 20238 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§))
88 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ πœ‘)
89 rhmghm 20423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) RingHom π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ))
91 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
9246, 91, 83ghminv 19177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Œ) GrpHom π‘Œ) ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9390, 48, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9439fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(πΆβ€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))
9593, 94eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) = ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))
96 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))))
9796eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) ∈ 𝐻))
98 ringgrp 20178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp)
9945, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp)
10046, 91grpinvcl 18944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
10199, 48, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
102101, 51eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐾)
10397, 43, 102rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))) ∈ 𝐻)
10495, 103eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻)
10685elin1d 4198 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
107 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
108107caovclg 7613 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) ∈ 𝐻)
10988, 105, 106, 108syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (((invgβ€˜π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) Β· 𝑧) ∈ 𝐻)
11087, 109eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐻)
11170adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
1127, 83grpinvcl 18944 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
113111, 86, 112syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
114110, 113elind 4194 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
11581, 114jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))
116115ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))
1177, 76, 83issubg2 19096 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Grp β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))))
11870, 117syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧 + 𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘§) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)))))
11929, 60, 116, 118mpbir3and 1340 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ))
120 elinel1 4195 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
121 elinel1 4195 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
122120, 121anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻))
123122, 107sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐻)
12456adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
125 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
126125elin2d 4199 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
127 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
128127elin2d 4199 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1297, 82ringcl 20190 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
130124, 126, 128, 129syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
131123, 130elind 4194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
132131ralrimivva 3197 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
1337, 37, 82issubrg2 20531 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
13456, 133syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
135119, 59, 132, 134mpbir3and 1340 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ))
1366, 1, 7mplval2 21938 . . . . . . . 8 π‘Œ = ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs 𝐡)
137136subsubrg 20537 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)))
138137simprbda 498 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13910, 135, 138syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
140 assalmod 21794 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1414, 140syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1421, 6, 7, 2, 9mpllss 21945 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14331adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ AssAlg)
144 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
145 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
146145elin2d 4199 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
147 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
14832, 33, 46, 7, 82, 147asclmul1 21819 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀))
149143, 144, 146, 148syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀))
150 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘§))
151150eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ↔ (πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻))
15243adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (πΆβ€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
15351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
154144, 153eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐾)
155151, 152, 154rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻)
156145elin1d 4198 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐻)
157155, 156jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻))
158107caovclg 7613 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((πΆβ€˜π‘§) ∈ 𝐻 ∧ 𝑀 ∈ 𝐻)) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) ∈ 𝐻)
159157, 158syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ ((πΆβ€˜π‘§) Β· 𝑀) ∈ 𝐻)
160149, 159eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐻)
16168adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
1627, 33, 147, 46lmodvscl 20761 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐡)
163161, 144, 146, 162syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ 𝐡)
164160, 163elind 4194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
165164ralrimivva 3197 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
166 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Œ) = (LSubSpβ€˜π‘Œ)
16733, 46, 7, 147, 166islss4 20846 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ LMod β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
16868, 167syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))βˆ€π‘€ ∈ (𝐻 ∩ 𝐡)(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑀) ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))))
169119, 165, 168mpbir2and 712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ))
170 eqid 2728 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
171136, 170, 166lsslss 20845 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)))
172171simprbda 498 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
173141, 142, 169, 172syl21anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17424, 11, 170aspid 21808 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐡) ∈ (LSubSpβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)) = (𝐻 ∩ 𝐡))
1754, 139, 173, 174syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((AlgSpanβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))β€˜(𝐻 ∩ 𝐡)) = (𝐻 ∩ 𝐡))
17626, 28, 1753sstr3d 4026 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐻 ∩ 𝐡))
177 mplind.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
178176, 177sseldd 3981 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐻 ∩ 𝐡))
179178elin1d 4198 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  ran crn 5679   Fn wfn 6543  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  Grpcgrp 18890  invgcminusg 18891  SubGrpcsubg 19075   GrpHom cghm 19167  1rcur 20121  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  SubRingcsubrg 20506  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  AssAlgcasa 21784  AlgSpancasp 21785  algSccascl 21786   mPwSer cmps 21837   mVar cmvr 21838   mPoly cmpl 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844
This theorem is referenced by:  mpfind  22053
  Copyright terms: Public domain W3C validator