MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assamulgscmlem2 21445
Description: Lemma for assamulgscm 21446 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assamulgscm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assamulgscm.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
assamulgscm.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
assamulgscm.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assaring 21407 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ Ring)
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
32ringmgp 20055 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
54adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
76adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
8 simpll 765 . . . 4 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
9 assalmod 21406 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
109adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
12 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
1810, 11, 12, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
2019adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
212, 13mgpbas 19987 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π»)
22 assamulgscm.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜π»)
23 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
242, 23mgpplusg 19985 . . . . 5 (.rβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π»)
2521, 22, 24mulgnn0p1 18959 . . . 4 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)))
267, 8, 20, 25syl3anc 1371 . . 3 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)))
27 oveq1 7412 . . . 4 ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)))
28 simprr 771 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
29 assamulgscm.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
3014eqcomi 2741 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = 𝐹
3130fveq2i 6891 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜πΉ)
3229, 31mgpbas 19987 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜πΊ)
33 assamulgscm.p . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
3414assasca 21408 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3529ringmgp 20055 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3837adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
39 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
4016a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
4114fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4240, 41eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4342eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 ↔ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4443biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4645imp 407 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4746adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4832, 33, 38, 39, 47mulgnn0cld 18969 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
49 simprlr 778 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5021, 22, 6, 39, 49mulgnn0cld 18969 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
52 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
5313, 51, 52, 15, 23assaass 21404 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))))
5428, 48, 50, 19, 53syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))))
5513, 51, 52, 15, 23assaassr 21405 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋)))
5628, 47, 50, 49, 55syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋)))
5756oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))))
5821, 22, 24mulgnn0p1 18959 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))
596, 39, 49, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))
6059eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
6160oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋)) = (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
6261oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6310adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
64 peano2nn0 12508 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•0)
6564adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•0)
6621, 22, 6, 65, 49mulgnn0cld 18969 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6813, 51, 15, 52, 67lmodvsass 20489 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6968eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7063, 48, 47, 66, 69syl13anc 1372 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7157, 62, 703eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72 simprll 777 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
7329, 16mgpbas 19987 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
74 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
7529, 74mgpplusg 19985 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΊ)
7673, 33, 75mulgnn0p1 18959 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜πΉ)𝐴))
7738, 39, 72, 76syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜πΉ)𝐴))
7814a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
7978fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8079oveqd 7422 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴))
8177, 80eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴))
8281eqcomd 2738 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8382oveq1d 7420 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8454, 71, 833eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8527, 84sylan9eqr 2794 . . 3 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8626, 85eqtrd 2772 . 2 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8786exp31 420 1 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Mndcmnd 18621  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  AssAlgcasa 21396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-assa 21399
This theorem is referenced by:  assamulgscm  21446
  Copyright terms: Public domain W3C validator