Theorem assamulgscmlem2 22121

Description: Lemma for assamulgscm 22122 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 22082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
3	2	ringmgp 20384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9		assalmod 22081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
10	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 21068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
21	2, 13	mgpbas 20284	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22		assamulgscm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
24	2, 23	mgpplusg 20283	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘𝐻)
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 19214	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29		assamulgscm.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30	14	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝐹
31	30	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
32	29, 31	mgpbas 20284	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
33		assamulgscm.p	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
34	14	assasca 22083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
35	29	ringmgp 20384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	37	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
41	14	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42	40, 41	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	42	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
44	43	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
46	45	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48	32, 33, 38, 39, 47	mulgnn0cld 19224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
49		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	21, 22, 6, 39, 49	mulgnn0cld 19224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
53	13, 51, 52, 15, 23	assaass 22079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
54	28, 48, 50, 19, 53	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
55	13, 51, 52, 15, 23	assaassr 22080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
56	28, 47, 50, 49, 55	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
57	56	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))))
58	21, 22, 24	mulgnn0p1 19214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
59	6, 39, 49, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
60	59	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
61	60	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
62	61	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
63	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
64		peano2nn0 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
65	64	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
66	21, 22, 6, 65, 49	mulgnn0cld 19224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
68	13, 51, 15, 52, 67	lmodvsass 21077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
69	68	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
70	63, 48, 47, 66, 69	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
71	57, 62, 70	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
73	29, 16	mgpbas 20284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
74		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
75	29, 74	mgpplusg 20283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐹) = (+g‘𝐺)
76	73, 33, 75	mulgnn0p1 19214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
77	38, 39, 72, 76	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
78	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
81	77, 80	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
82	81	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
83	82	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
84	54, 71, 83	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
85	27, 84	sylan9eqr 2819	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
86	26, 85	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
87	86	exp31 425	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129   + caddc 11131  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Mndcmnd 18842  ._gcmg 19196  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  AssAlgcasa 22071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mulg 19197  df-mgp 20280  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-assa 22074

This theorem is used by:  assamulgscm  22122