Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscmlem2 20592
 Description: Lemma for assamulgscm 20593 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assaring 20555 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32ringmgp 19300 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
54adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
65adantl 485 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
76adantr 484 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8 simpll 766 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9 assalmod 20554 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
109adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴𝐵)
12 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋𝑉)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 19648 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1810, 11, 12, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1918adantl 485 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
2019adantr 484 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
212, 13mgpbas 19242 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐻)
22 assamulgscm.e . . . . 5 𝐸 = (.g𝐻)
23 eqid 2798 . . . . . 6 (.r𝑊) = (.r𝑊)
242, 23mgpplusg 19240 . . . . 5 (.r𝑊) = (+g𝐻)
2521, 22, 24mulgnn0p1 18235 . . . 4 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
267, 8, 20, 25syl3anc 1368 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27 oveq1 7143 . . . 4 ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28 simprr 772 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2914assasca 20556 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
30 crngring 19306 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
31 assamulgscm.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
3231ringmgp 19300 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
3329, 30, 323syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
3433adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
3534adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
36 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
3814fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3937, 38eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4039eleq2d 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4140biimpcd 252 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4241adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4342imp 410 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4443adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4514eqcomi 2807 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = 𝐹
4645fveq2i 6649 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
4731, 46mgpbas 19242 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
48 assamulgscm.p . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
4947, 48mulgnn0cl 18240 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5035, 36, 44, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
51 simprlr 779 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋𝑉)
5221, 22mulgnn0cl 18240 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
536, 36, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
54 eqid 2798 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
55 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5613, 54, 55, 15, 23assaass 20552 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
5728, 50, 53, 19, 56syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
5813, 54, 55, 15, 23assaassr 20553 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)))
5928, 44, 53, 51, 58syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)))
6059oveq2d 7152 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))))
6121, 22, 24mulgnn0p1 18235 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))
626, 36, 51, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))
6362eqcomd 2804 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
6463oveq2d 7152 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
6564oveq2d 7152 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6610adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
67 peano2nn0 11928 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
6867adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
6921, 22mulgnn0cl 18240 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
706, 68, 51, 69syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
71 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
7213, 54, 15, 55, 71lmodvsass 19656 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
7372eqcomd 2804 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7466, 50, 44, 70, 73syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7560, 65, 743eqtrd 2837 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
76 simprll 778 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴𝐵)
7731, 16mgpbas 19242 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
78 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐹) = (.r𝐹)
7931, 78mgpplusg 19240 . . . . . . . . . 10 (.r𝐹) = (+g𝐺)
8077, 48, 79mulgnn0p1 18235 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴))
8135, 36, 76, 80syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴))
8214a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
8382fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8483oveqd 7153 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
8581, 84eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
8685eqcomd 2804 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
8786oveq1d 7151 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8857, 75, 873eqtrd 2837 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8927, 88sylan9eqr 2855 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
9026, 89eqtrd 2833 . 2 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
9190exp31 423 1 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1c1 10530   + caddc 10532  ℕ0cn0 11888  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  Mndcmnd 17906  .gcmg 18220  mulGrpcmgp 19236  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  LModclmod 19631  AssAlgcasa 20544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-seq 13368  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mulg 18221  df-mgp 19237  df-ring 19296  df-cring 19297  df-lmod 19633  df-assa 20547 This theorem is referenced by:  assamulgscm  20593
 Copyright terms: Public domain W3C validator