MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscmlem2 21763
Description: Lemma for assamulgscm 21764 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assaring 21725 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32ringmgp 20140 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
76adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8 simpll 764 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9 assalmod 21724 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
109adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴𝐵)
12 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋𝑉)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 20720 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1810, 11, 12, 17syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
212, 13mgpbas 20041 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐻)
22 assamulgscm.e . . . . 5 𝐸 = (.g𝐻)
23 eqid 2731 . . . . . 6 (.r𝑊) = (.r𝑊)
242, 23mgpplusg 20039 . . . . 5 (.r𝑊) = (+g𝐻)
2521, 22, 24mulgnn0p1 19008 . . . 4 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
267, 8, 20, 25syl3anc 1370 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27 oveq1 7419 . . . 4 ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28 simprr 770 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29 assamulgscm.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
3014eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = 𝐹
3130fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
3229, 31mgpbas 20041 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
33 assamulgscm.p . . . . . . 7 = (.g𝐺)
3414assasca 21726 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
3529ringmgp 20140 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4016a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
4114fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4240, 41eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4342eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4443biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4645imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4832, 33, 38, 39, 47mulgnn0cld 19018 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
49 simprlr 777 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋𝑉)
5021, 22, 6, 39, 49mulgnn0cld 19018 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51 eqid 2731 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5313, 51, 52, 15, 23assaass 21722 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
5428, 48, 50, 19, 53syl13anc 1371 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
5513, 51, 52, 15, 23assaassr 21723 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)))
5628, 47, 50, 49, 55syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)))
5756oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))))
5821, 22, 24mulgnn0p1 19008 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))
596, 39, 49, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))
6059eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
6160oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
6261oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)𝑋))) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6310adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
64 peano2nn0 12519 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
6621, 22, 6, 65, 49mulgnn0cld 19018 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
6813, 51, 15, 52, 67lmodvsass 20729 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6968eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7063, 48, 47, 66, 69syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7157, 62, 703eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72 simprll 776 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴𝐵)
7329, 16mgpbas 20041 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
74 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐹) = (.r𝐹)
7529, 74mgpplusg 20039 . . . . . . . . . 10 (.r𝐹) = (+g𝐺)
7673, 33, 75mulgnn0p1 19008 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴))
7738, 39, 72, 76syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴))
7814a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
7978fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8079oveqd 7429 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴)(.r𝐹)𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
8177, 80eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
8281eqcomd 2737 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
8382oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8454, 71, 833eqtrd 2775 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8527, 84sylan9eqr 2793 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8626, 85eqtrd 2771 . 2 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8786exp31 419 1 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119  0cn0 12479  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Mndcmnd 18665  .gcmg 18993  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  AssAlgcasa 21714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-assa 21717
This theorem is referenced by:  assamulgscm  21764
  Copyright terms: Public domain W3C validator