Theorem assamulgscmlem2 21868

Description: Lemma for assamulgscm 21869 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 21828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
3	2	ringmgp 20186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9		assalmod 21827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 20841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
21	2, 13	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22		assamulgscm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
24	2, 23	mgpplusg 20091	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘𝐻)
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 19027	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29		assamulgscm.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30	14	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝐹
31	30	fveq2i 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
32	29, 31	mgpbas 20092	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
33		assamulgscm.p	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
34	14	assasca 21829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
35	29	ringmgp 20186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
41	14	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42	40, 41	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	42	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
44	43	biimpcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
46	45	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48	32, 33, 38, 39, 47	mulgnn0cld 19037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
49		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	21, 22, 6, 39, 49	mulgnn0cld 19037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
53	13, 51, 52, 15, 23	assaass 21825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
54	28, 48, 50, 19, 53	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
55	13, 51, 52, 15, 23	assaassr 21826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
56	28, 47, 50, 49, 55	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
57	56	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))))
58	21, 22, 24	mulgnn0p1 19027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
59	6, 39, 49, 58	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
60	59	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
61	60	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
62	61	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
63	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
64		peano2nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
66	21, 22, 6, 65, 49	mulgnn0cld 19037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
68	13, 51, 15, 52, 67	lmodvsass 20850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
69	68	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
70	63, 48, 47, 66, 69	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
71	57, 62, 70	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72		simprll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
73	29, 16	mgpbas 20092	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
74		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
75	29, 74	mgpplusg 20091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐹) = (+g‘𝐺)
76	73, 33, 75	mulgnn0p1 19027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
77	38, 39, 72, 76	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
78	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
81	77, 80	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
82	81	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
83	82	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
84	54, 71, 83	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
85	27, 84	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
86	26, 85	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
87	86	exp31 419	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  Mndcmnd 18671  ._gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  AssAlgcasa 21817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mulg 19010  df-mgp 20088  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-assa 21820

This theorem is referenced by:  assamulgscm  21869