Theorem assamulgscmlem2 21809

Description: Lemma for assamulgscm 21810 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 21770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
3	2	ringmgp 20148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9		assalmod 21769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 20784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
21	2, 13	mgpbas 20054	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22		assamulgscm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
24	2, 23	mgpplusg 20053	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘𝐻)
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 19017	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27		oveq1 7394	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29		assamulgscm.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30	14	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝐹
31	30	fveq2i 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
32	29, 31	mgpbas 20054	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
33		assamulgscm.p	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
34	14	assasca 21771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
35	29	ringmgp 20148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
41	14	fveq2i 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42	40, 41	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	42	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
44	43	biimpcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
46	45	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48	32, 33, 38, 39, 47	mulgnn0cld 19027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
49		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	21, 22, 6, 39, 49	mulgnn0cld 19027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
53	13, 51, 52, 15, 23	assaass 21767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
54	28, 48, 50, 19, 53	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
55	13, 51, 52, 15, 23	assaassr 21768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
56	28, 47, 50, 49, 55	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
57	56	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))))
58	21, 22, 24	mulgnn0p1 19017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
59	6, 39, 49, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
60	59	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
61	60	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
62	61	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
63	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
64		peano2nn0 12482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
66	21, 22, 6, 65, 49	mulgnn0cld 19027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
68	13, 51, 15, 52, 67	lmodvsass 20793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
69	68	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
70	63, 48, 47, 66, 69	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
71	57, 62, 70	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72		simprll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
73	29, 16	mgpbas 20054	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
74		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
75	29, 74	mgpplusg 20053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐹) = (+g‘𝐺)
76	73, 33, 75	mulgnn0p1 19017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
77	38, 39, 72, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
78	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
81	77, 80	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
82	81	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
83	82	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
84	54, 71, 83	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
85	27, 84	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
86	26, 85	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
87	86	exp31 419	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  AssAlgcasa 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mulg 19000  df-mgp 20050  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-assa 21762

This theorem is referenced by:  assamulgscm  21810