Theorem assamulgscmlem2 21938

Description: Lemma for assamulgscm 21939 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 21899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
3	2	ringmgp 20257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9		assalmod 21898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 20893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
21	2, 13	mgpbas 20158	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22		assamulgscm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
24	2, 23	mgpplusg 20156	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘𝐻)
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 19116	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29		assamulgscm.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30	14	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝐹
31	30	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
32	29, 31	mgpbas 20158	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
33		assamulgscm.p	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
34	14	assasca 21900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
35	29	ringmgp 20257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
41	14	fveq2i 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42	40, 41	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	42	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
44	43	biimpcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
46	45	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48	32, 33, 38, 39, 47	mulgnn0cld 19126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
49		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	21, 22, 6, 39, 49	mulgnn0cld 19126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
53	13, 51, 52, 15, 23	assaass 21896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
54	28, 48, 50, 19, 53	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
55	13, 51, 52, 15, 23	assaassr 21897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
56	28, 47, 50, 49, 55	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
57	56	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))))
58	21, 22, 24	mulgnn0p1 19116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
59	6, 39, 49, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
60	59	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
61	60	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
62	61	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
63	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
64		peano2nn0 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
66	21, 22, 6, 65, 49	mulgnn0cld 19126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
68	13, 51, 15, 52, 67	lmodvsass 20902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
69	68	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
70	63, 48, 47, 66, 69	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
71	57, 62, 70	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72		simprll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
73	29, 16	mgpbas 20158	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
74		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
75	29, 74	mgpplusg 20156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐹) = (+g‘𝐺)
76	73, 33, 75	mulgnn0p1 19116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
77	38, 39, 72, 76	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
78	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
81	77, 80	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
82	81	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
83	82	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
84	54, 71, 83	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
85	27, 84	sylan9eqr 2797	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
86	26, 85	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
87	86	exp31 419	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  Mndcmnd 18760  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  AssAlgcasa 21888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mulg 19099  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-assa 21891

This theorem is referenced by:  assamulgscm  21939