MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assamulgscmlem2 21820
Description: Lemma for assamulgscm 21821 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assamulgscm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assamulgscm.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
assamulgscm.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
assamulgscm.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
assamulgscmlem2 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
Proof of Theorem assamulgscmlem2
StepHypRef Expression
1 assaring 21782 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ Ring)
2 assamulgscm.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
32ringmgp 20170 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
76adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
8 simpll 766 . . . 4 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
9 assalmod 21781 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
109adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
12 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13 assamulgscm.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 assamulgscm.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 assamulgscm.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
16 assamulgscm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
1713, 14, 15, 16lmodvscl 20750 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
1810, 11, 12, 17syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
212, 13mgpbas 20071 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π»)
22 assamulgscm.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜π»)
23 eqid 2727 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
242, 23mgpplusg 20069 . . . . 5 (.rβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π»)
2521, 22, 24mulgnn0p1 19031 . . . 4 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)))
267, 8, 20, 25syl3anc 1369 . . 3 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)))
27 oveq1 7421 . . . 4 ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)))
28 simprr 772 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
29 assamulgscm.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
3014eqcomi 2736 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = 𝐹
3130fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜πΉ)
3229, 31mgpbas 20071 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜πΊ)
33 assamulgscm.p . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
3414assasca 21783 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3529ringmgp 20170 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
39 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
4016a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
4114fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4240, 41eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4342eleq2d 2814 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 ↔ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4443biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4645imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4746adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4832, 33, 38, 39, 47mulgnn0cld 19041 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
49 simprlr 779 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5021, 22, 6, 39, 49mulgnn0cld 19041 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
52 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
5313, 51, 52, 15, 23assaass 21779 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))))
5428, 48, 50, 19, 53syl13anc 1370 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))))
5513, 51, 52, 15, 23assaassr 21780 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋)))
5628, 47, 50, 49, 55syl13anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋)))
5756oveq2d 7430 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))))
5821, 22, 24mulgnn0p1 19031 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))
596, 39, 49, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))
6059eqcomd 2733 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
6160oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋)) = (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
6261oveq2d 7430 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6310adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
64 peano2nn0 12534 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•0)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•0)
6621, 22, 6, 65, 49mulgnn0cld 19041 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6813, 51, 15, 52, 67lmodvsass 20759 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
6968eqcomd 2733 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7063, 48, 47, 66, 69syl13anc 1370 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝐴 Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
7157, 62, 703eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· ((𝑦𝐸𝑋)(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72 simprll 778 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
7329, 16mgpbas 20071 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
74 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
7529, 74mgpplusg 20069 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΊ)
7673, 33, 75mulgnn0p1 19031 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜πΉ)𝐴))
7738, 39, 72, 76syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜πΉ)𝐴))
7814a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
7978fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8079oveqd 7431 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴))
8177, 80eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴))
8281eqcomd 2733 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ ((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8382oveq1d 7429 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8454, 71, 833eqtrd 2771 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) β†’ (((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8527, 84sylan9eqr 2789 . . 3 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋))(.rβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8626, 85eqtrd 2767 . 2 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
8786exp31 419 1 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  AssAlgcasa 21771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mulg 19015  df-mgp 20066  df-ring 20166  df-lmod 20734  df-assa 21774
This theorem is referenced by:  assamulgscm  21821
  Copyright terms: Public domain W3C validator