Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assalmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assalmod 20553
 Description: An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
assalmod (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem assalmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2801 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2801 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4 eqid 2801 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
5 eqid 2801 . . . 4 (.r𝑊) = (.r𝑊)
61, 2, 3, 4, 5isassa 20549 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑥)(.r𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑦)))))
76simplbi 501 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CRing))
87simp1d 1139 1 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  .rcmulr 16562  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  LModclmod 19631  AssAlgcasa 20543 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-nul 5177 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-iota 6287  df-fv 6336  df-ov 7142  df-assa 20546 This theorem is referenced by:  assa2ass  20556  issubassa3  20558  issubassa  20559  assapropd  20562  aspval  20563  asplss  20564  ascldimul  20577  ascldimulOLD  20578  asclrhm  20580  rnascl  20581  issubassa2  20582  aspval2  20588  assamulgscmlem1  20589  assamulgscmlem2  20590  mplmon2mul  20744  mplind  20745  matinv  21286  selvval2lem4  39424  assaascl0  44780  assaascl1  44781
 Copyright terms: Public domain W3C validator