Theorem assalmod 21970

Description: An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assalmod	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem assalmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 21966	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))))
7	6	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring))
8	7	simpld 499	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  Ringcrg 20306  LModclmod 20950  AssAlgcasa 21960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-assa 21963

This theorem is referenced by:  assasca  21972  assa2ass  21973  assa2ass2  21974  issubassa3  21976  issubassa  21977  assapropd  21981  aspval  21982  asplss  21983  asclelbas  21993  ascldimul  21998  asclrhm  22000  rnascl  22001  issubassa2  22002  aspval2  22008  assamulgscmlem1  22009  assamulgscmlem2  22010  asclmulg  22012  mplmon2mul  22180  mplind  22181  matinv  22795  lactlmhm  33941  assalactf1o  33942  assaascl0  49012  assaascl1  49013  asclelbasALT  49635