Theorem assalmod 21892

Description: An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assalmod	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem assalmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 21888	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))))
7	6	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring))
8	7	simpld 498	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  Ringcrg 20262  LModclmod 20907  AssAlgcasa 21882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-assa 21885

This theorem is referenced by:  assasca  21894  assa2ass  21895  assa2ass2  21896  issubassa3  21898  issubassa  21899  assapropd  21903  aspval  21904  asplss  21905  asclelbas  21915  ascldimul  21920  asclrhm  21922  rnascl  21923  issubassa2  21924  aspval2  21930  assamulgscmlem1  21931  assamulgscmlem2  21932  asclmulg  21934  mplmon2mul  22102  mplind  22103  matinv  22717  lactlmhm  33892  assalactf1o  33893  assaascl0  48967  assaascl1  48968  asclelbasALT  49591