Theorem assalmod 22201

Description: An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
assalmod	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem assalmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	isassa 22197	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)) ∧ (𝑥(.r‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))))
7	6	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring))
8	7	simpld 500	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  Ringcrg 20492  LModclmod 21168  AssAlgcasa 22191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-assa 22194

This theorem is used by:  assasca  22203  assa2ass  22204  assa2ass2  22205  issubassa3  22207  issubassa  22208  assapropd  22212  aspval  22213  asplss  22214  asclelbas  22224  ascldimul  22229  asclrhm  22231  rnascl  22232  issubassa2  22233  aspval2  22239  assamulgscmlem1  22240  assamulgscmlem2  22241  asclmulg  22243  mplmon2mul  22411  mplind  22412  matinv  23025  lactlmhm  34349  assalactf1o  34350  assaascl0  49708  assaascl1  49709  asclelbasALT  50335