Theorem issubassa 21845

Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubassa.s	⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
issubassa.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
issubassa.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
issubassa.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
issubassa	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Proof of Theorem issubassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		assaring 21839	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ Ring)
4		issubassa.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
5		assaring 21839	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ Ring)
6	5	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ Ring)
7	4, 6	eqeltrrid 2846	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		simpl3 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ⊆ 𝑉)
9		simpl2 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 1 ∈ 𝐴)
10	8, 9	jca 517	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11		issubassa.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		issubassa.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
13	11, 12	issubrg 20546	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
14	3, 7, 10, 13	syl21anbrc 1352	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
15		assalmod 21838	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ LMod)
16	15	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ LMod)
17		assalmod 21838	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
18		issubassa.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
19	4, 11, 18	islss3 20952	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
20	1, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
21	8, 16, 20	mpbir2and 720	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐿)
22	14, 21	jca 517	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
23	4, 18	issubassa3 21844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
24	23	3ad2antl1 1193	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
25	22, 24	impbida 807	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  SubRingcsubrg 20544  LModclmod 20853  LSubSpclss 20924  AssAlgcasa 21828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-assa 21831

This theorem is referenced by:  mplassa  21999  ply1assa  22187