MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubassa 21288
Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
issubassa.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
issubassa.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
issubassa ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Proof of Theorem issubassa
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 assaring 21283 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ Ring)
4 issubassa.s . . . . 5 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
5 assaring 21283 . . . . . 6 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ Ring)
65adantl 483 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
74, 6eqeltrrid 2839 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 simpl3 1194 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
9 simpl2 1193 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 1 ∈ 𝐴)
108, 9jca 513 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11 issubassa.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 issubassa.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘Š)
1311, 12issubrg 20236 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘Š ∈ Ring ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
143, 7, 10, 13syl21anbrc 1345 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š))
15 assalmod 21282 . . . . 5 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ LMod)
1615adantl 483 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
17 assalmod 21282 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
18 issubassa.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
194, 11, 18islss3 20435 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
201, 17, 193syl 18 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
218, 16, 20mpbir2and 712 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ 𝐿)
2214, 21jca 513 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
234, 18issubassa3 21287 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
24233ad2antl1 1186 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
2522, 24impbida 800 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  1rcur 19918  Ringcrg 19969  SubRingcsubrg 20232  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  AssAlgcasa 21272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-assa 21275
This theorem is referenced by:  mplassa  21443  ply1assa  21586
  Copyright terms: Public domain W3C validator