Theorem issubassa 21809

Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubassa.s	⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
issubassa.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
issubassa.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
issubassa.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
issubassa	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Proof of Theorem issubassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		assaring 21803	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ Ring)
4		issubassa.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
5		assaring 21803	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ Ring)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ Ring)
7	4, 6	eqeltrrid 2833	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ⊆ 𝑉)
9		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 1 ∈ 𝐴)
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11		issubassa.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		issubassa.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
13	11, 12	issubrg 20491	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
14	3, 7, 10, 13	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
15		assalmod 21802	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ LMod)
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ LMod)
17		assalmod 21802	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
18		issubassa.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
19	4, 11, 18	islss3 20897	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
20	1, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
21	8, 16, 20	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐿)
22	14, 21	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
23	4, 18	issubassa3 21808	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
24	23	3ad2antl1 1186	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
25	22, 24	impbida 800	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20489  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  AssAlgcasa 21792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-assa 21795

This theorem is referenced by:  mplassa  21964  ply1assa  22117