MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issubassa 21412
Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
issubassa.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
issubassa.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
issubassa ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Proof of Theorem issubassa
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 assaring 21407 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ Ring)
4 issubassa.s . . . . 5 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
5 assaring 21407 . . . . . 6 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ Ring)
65adantl 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
74, 6eqeltrrid 2838 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 simpl3 1193 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
9 simpl2 1192 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 1 ∈ 𝐴)
108, 9jca 512 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11 issubassa.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 issubassa.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘Š)
1311, 12issubrg 20355 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘Š ∈ Ring ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
143, 7, 10, 13syl21anbrc 1344 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š))
15 assalmod 21406 . . . . 5 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ LMod)
1615adantl 482 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
17 assalmod 21406 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
18 issubassa.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
194, 11, 18islss3 20562 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
201, 17, 193syl 18 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
218, 16, 20mpbir2and 711 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ 𝐿)
2214, 21jca 512 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
234, 18issubassa3 21411 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
24233ad2antl1 1185 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
2522, 24impbida 799 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  1rcur 19998  Ringcrg 20049  SubRingcsubrg 20351  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  AssAlgcasa 21396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-assa 21399
This theorem is referenced by:  mplassa  21572  ply1assa  21714
  Copyright terms: Public domain W3C validator