Theorem issubassa 21073

Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubassa.s	⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
issubassa.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
issubassa.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
issubassa.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
issubassa	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Proof of Theorem issubassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		assaring 21068	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ Ring)
4		issubassa.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
5		assaring 21068	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ Ring)
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ Ring)
7	4, 6	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ⊆ 𝑉)
9		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 1 ∈ 𝐴)
10	8, 9	jca 512	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11		issubassa.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		issubassa.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
13	11, 12	issubrg 20024	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
14	3, 7, 10, 13	syl21anbrc 1343	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
15		assalmod 21067	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ LMod)
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ LMod)
17		assalmod 21067	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
18		issubassa.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
19	4, 11, 18	islss3 20221	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
20	1, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
21	8, 16, 20	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐿)
22	14, 21	jca 512	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
23	4, 18	issubassa3 21072	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
24	23	3ad2antl1 1184	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
25	22, 24	impbida 798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  AssAlgcasa 21057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-assa 21060

This theorem is referenced by:  mplassa  21227  ply1assa  21370