MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issubassa 21802
Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
issubassa.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
issubassa.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
issubassa ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Proof of Theorem issubassa
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 assaring 21797 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ Ring)
4 issubassa.s . . . . 5 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
5 assaring 21797 . . . . . 6 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ Ring)
65adantl 480 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
74, 6eqeltrrid 2830 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 simpl3 1190 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 1 ∈ 𝐴)
108, 9jca 510 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11 issubassa.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 issubassa.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘Š)
1311, 12issubrg 20512 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘Š ∈ Ring ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
143, 7, 10, 13syl21anbrc 1341 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š))
15 assalmod 21796 . . . . 5 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ LMod)
1615adantl 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
17 assalmod 21796 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
18 issubassa.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
194, 11, 18islss3 20845 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
201, 17, 193syl 18 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
218, 16, 20mpbir2and 711 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ 𝐿)
2214, 21jca 510 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
234, 18issubassa3 21801 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
24233ad2antl1 1182 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
2522, 24impbida 799 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  1rcur 20123  Ringcrg 20175  SubRingcsubrg 20508  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  AssAlgcasa 21786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-assa 21789
This theorem is referenced by:  mplassa  21969  ply1assa  22125
  Copyright terms: Public domain W3C validator