MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issubassa 21761
Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
issubassa.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
issubassa.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
issubassa ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Proof of Theorem issubassa
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 assaring 21756 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ π‘Š ∈ Ring)
4 issubassa.s . . . . 5 𝑆 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
5 assaring 21756 . . . . . 6 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ Ring)
65adantl 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
74, 6eqeltrrid 2832 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 simpl3 1190 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 1 ∈ 𝐴)
108, 9jca 511 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11 issubassa.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 issubassa.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘Š)
1311, 12issubrg 20473 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘Š ∈ Ring ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
143, 7, 10, 13syl21anbrc 1341 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š))
15 assalmod 21755 . . . . 5 (𝑆 ∈ AssAlg β†’ 𝑆 ∈ LMod)
1615adantl 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
17 assalmod 21755 . . . . 5 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
18 issubassa.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
194, 11, 18islss3 20806 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
201, 17, 193syl 18 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
218, 16, 20mpbir2and 710 . . 3 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ 𝐴 ∈ 𝐿)
2214, 21jca 511 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) β†’ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
234, 18issubassa3 21760 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
24233ad2antl1 1182 . 2 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
2522, 24impbida 798 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  AssAlgcasa 21745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-assa 21748
This theorem is referenced by:  mplassa  21923  ply1assa  22073
  Copyright terms: Public domain W3C validator