Theorem issubassa 21905

Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubassa.s	⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
issubassa.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
issubassa.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
issubassa.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
issubassa	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Proof of Theorem issubassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		assaring 21899	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ Ring)
4		issubassa.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
5		assaring 21899	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ Ring)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ Ring)
7	4, 6	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ⊆ 𝑉)
9		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 1 ∈ 𝐴)
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴))
11		issubassa.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		issubassa.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
13	11, 12	issubrg 20588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝐴)))
14	3, 7, 10, 13	syl21anbrc 1343	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
15		assalmod 21898	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ LMod)
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ LMod)
17		assalmod 21898	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
18		issubassa.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
19	4, 11, 18	islss3 20975	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
20	1, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ LMod)))
21	8, 16, 20	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐿)
22	14, 21	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿))
23	4, 18	issubassa3 21904	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
24	23	3ad2antl1 1184	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
25	22, 24	impbida 801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  AssAlgcasa 21888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-assa 21891

This theorem is referenced by:  mplassa  22060  ply1assa  22217