Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubassa 20646
 Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (𝑊s 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
issubassa.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
issubassa.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
issubassa ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)))

Proof of Theorem issubassa
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . 5 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2 assaring 20641 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ Ring)
4 issubassa.s . . . . 5 𝑆 = (𝑊s 𝐴)
5 assaring 20641 . . . . . 6 (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ Ring)
65adantl 485 . . . . 5 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ Ring)
74, 6eqeltrrid 2858 . . . 4 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝑊s 𝐴) ∈ Ring)
8 simpl3 1191 . . . . 5 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴𝑉)
9 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 1𝐴)
108, 9jca 515 . . . 4 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴𝑉1𝐴))
11 issubassa.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 issubassa.o . . . . 5 1 = (1r𝑊)
1311, 12issubrg 19618 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑊s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴𝑉1𝐴)))
143, 7, 10, 13syl21anbrc 1342 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
15 assalmod 20640 . . . . 5 (𝑆 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ LMod)
1615adantl 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝑆 ∈ LMod)
17 assalmod 20640 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
18 issubassa.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
194, 11, 18islss3 19814 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝐴𝐿 ↔ (𝐴𝑉𝑆 ∈ LMod)))
201, 17, 193syl 18 . . . 4 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴𝐿 ↔ (𝐴𝑉𝑆 ∈ LMod)))
218, 16, 20mpbir2and 712 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → 𝐴𝐿)
2214, 21jca 515 . 2 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑆 ∈ AssAlg) → (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿))
234, 18issubassa3 20645 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
24233ad2antl1 1183 . 2 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
2522, 24impbida 800 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 1𝐴𝐴𝑉) → (𝑆 ∈ AssAlg ↔ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3861  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Basecbs 16556   ↾s cress 16557  1rcur 19334  Ringcrg 19380  SubRingcsubrg 19614  LModclmod 19717  LSubSpclss 19786  AssAlgcasa 20630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-0g 16788  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-subg 18358  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-subrg 19616  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-assa 20633 This theorem is referenced by:  mplassa  20801  ply1assa  20938
 Copyright terms: Public domain W3C validator