Theorem asclrhm 22225

Description: The algebra scalar lifting function is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclrhm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclrhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclrhm	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Proof of Theorem asclrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6		asclrhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	assasca 22197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
8		assaring 22196	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
9		asclrhm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		assalmod 22195	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	9, 6, 10, 8	ascl1 22220	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))
12	9, 6, 1, 5, 4	ascldimul 22223	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
13	12	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
14	9, 6, 8, 10	asclghm 22217	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
15	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14	isrhm2d 20748	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455  Scalarcsca 17457  1_rcur 20434   RingHom crh 20726  AssAlgcasa 22185  algSccascl 22187

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-ghm 19454  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-rhm 20729  df-lmod 21164  df-assa 22188  df-ascl 22190

This theorem is used by:  rnasclsubrg  22228  mplind  22406  evlslem1  22418  mpfind  22451  selvcllem2  22471  selvvvval  22478  ply1fermltlchr  22657  pf1ind  22700  mat2pmatmul  23076  mat2pmatlin  23080  ply1asclunit  34173  ply1asclzrhval  43429  evlselv  43808