Theorem asclrhm 19750

Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclrhm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclrhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclrhm	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Proof of Theorem asclrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2778	. 2 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2778	. 2 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4		eqid 2778	. 2 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2778	. 2 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6		asclrhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	assasca 19729	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
8		crngring 18956	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
10		assaring 19728	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
11	1, 2	ringidcl 18966	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12		asclrhm.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	12, 6, 1, 13, 3	asclval 19743	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
15	9, 11, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
16		assalmod 19727	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
17		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	17, 3	ringidcl 18966	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
19	10, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
20	17, 6, 13, 2	lmodvs1 19294	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
21	16, 19, 20	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
22	15, 21	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))
23	17, 5, 3	ringlidm 18969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
24	10, 19, 23	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
25	24	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
26	25	oveq2d 6940	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
27	26	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)))) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
28		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29		simprl 761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
30	19	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
31	16	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
32		simprr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
33	17, 6, 13, 1	lmodvscl 19283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
34	31, 32, 30, 33	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
35	17, 6, 1, 13, 5	assaass 19725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
36	28, 29, 30, 34, 35	syl13anc 1440	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
37	17, 6, 1, 13, 5	assaassr 19726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊))))
38	28, 32, 30, 30, 37	syl13anc 1440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊))))
39	38	oveq2d 6940	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
40	36, 39	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
41	17, 6, 13, 1, 4	lmodvsass 19291	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
42	31, 29, 32, 30, 41	syl13anc 1440	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
43	27, 40, 42	3eqtr4rd 2825	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
44	1, 4	ringcl 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
45	44	3expb 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
46	9, 45	sylan 575	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
47	12, 6, 1, 13, 3	asclval 19743	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
49	12, 6, 1, 13, 3	asclval 19743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
50	29, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
51	12, 6, 1, 13, 3	asclval 19743	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
52	32, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
53	50, 52	oveq12d 6942	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
54	43, 48, 53	3eqtr4d 2824	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
55	12, 6, 10, 16	asclghm 19746	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
56	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 22, 54, 55	isrhm2d 19128	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  ._rcmulr 16350  Scalarcsca 16352   ·_𝑠 cvsca 16353  1_rcur 18899  Ringcrg 18945  CRingccrg 18946   RingHom crh 19112  LModclmod 19266  AssAlgcasa 19717  algSccascl 19719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-grp 17823  df-ghm 18053  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-rnghom 19115  df-lmod 19268  df-assa 19720  df-ascl 19722

This theorem is referenced by:  mplind  19909  evlslem1  19922  mpfind  19943  pf1ind  20126  mat2pmatmul  20954  mat2pmatlin  20958