Theorem asclrhm 21780

Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclrhm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclrhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclrhm	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Proof of Theorem asclrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2726	. 2 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2726	. 2 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2726	. 2 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6		asclrhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	assasca 21753	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
8		assaring 21752	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
9		asclrhm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		assalmod 21751	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	9, 6, 10, 8	ascl1 21775	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))
12	9, 6, 1, 5, 4	ascldimul 21778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
13	12	3expb 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
14	9, 6, 8, 10	asclghm 21773	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
15	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14	isrhm2d 20387	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  Scalarcsca 17207  1_rcur 20084   RingHom crh 20369  AssAlgcasa 21741  algSccascl 21743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-ghm 19137  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-rhm 20372  df-lmod 20706  df-assa 21744  df-ascl 21746

This theorem is referenced by:  rnasclsubrg  21783  mplind  21969  evlslem1  21983  mpfind  22008  ply1fermltlchr  22182  pf1ind  22225  mat2pmatmul  22584  mat2pmatlin  22588  ply1asclunit  33163  selvcllem2  41688  selvvvval  41695  evlselv  41697