Theorem asclrhm 21443

Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclrhm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclrhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclrhm	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Proof of Theorem asclrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2732	. 2 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6		asclrhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	assasca 21416	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
8		assaring 21415	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
9		asclrhm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		assalmod 21414	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	9, 6, 10, 8	ascl1 21438	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))
12	9, 6, 1, 5, 4	ascldimul 21441	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
13	12	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
14	9, 6, 8, 10	asclghm 21436	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
15	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14	isrhm2d 20264	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  1_rcur 20003   RingHom crh 20247  AssAlgcasa 21404  algSccascl 21406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-rnghom 20250  df-lmod 20472  df-assa 21407  df-ascl 21409

This theorem is referenced by:  rnasclsubrg  21446  mplind  21630  evlslem1  21644  mpfind  21669  pf1ind  21873  mat2pmatmul  22232  mat2pmatlin  22236  ply1asclunit  32649  ply1fermltlchr  32657  selvcllem2  41152  selvvvval  41159  evlselv  41161