Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclrhm 19750
 Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclrhm.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclrhm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclrhm (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Proof of Theorem asclrhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . 2 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2 eqid 2778 . 2 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3 eqid 2778 . 2 (1r𝑊) = (1r𝑊)
4 eqid 2778 . 2 (.r𝐹) = (.r𝐹)
5 eqid 2778 . 2 (.r𝑊) = (.r𝑊)
6 asclrhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
76assasca 19729 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
8 crngring 18956 . . 3 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
10 assaring 19728 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
111, 2ringidcl 18966 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12 asclrhm.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13 eqid 2778 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1412, 6, 1, 13, 3asclval 19743 . . . 4 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(1r𝐹)) = ((1r𝐹)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
159, 11, 143syl 18 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r𝐹)) = ((1r𝐹)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
16 assalmod 19727 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
17 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1817, 3ringidcl 18966 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1910, 18syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2017, 6, 13, 2lmodvs1 19294 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐹)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (1r𝑊))
2116, 19, 20syl2anc 579 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r𝐹)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (1r𝑊))
2215, 21eqtrd 2814 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r𝐹)) = (1r𝑊))
2317, 5, 3ringlidm 18969 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Ring ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊)) = (1r𝑊))
2410, 19, 23syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊)) = (1r𝑊))
2524adantr 474 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊)) = (1r𝑊))
2625oveq2d 6940 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑦( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
2726oveq2d 6940 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊)))) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
28 simpl 476 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29 simprl 761 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
3019adantr 474 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
3116adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
32 simprr 763 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
3317, 6, 13, 1lmodvscl 19283 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
3431, 32, 30, 33syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
3517, 6, 1, 13, 5assaass 19725 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))))
3628, 29, 30, 34, 35syl13anc 1440 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))))
3717, 6, 1, 13, 5assaassr 19726 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((1r𝑊)(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊))))
3828, 32, 30, 30, 37syl13anc 1440 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((1r𝑊)(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊))))
3938oveq2d 6940 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊)))))
4036, 39eqtrd 2814 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)(1r𝑊)))))
4117, 6, 13, 1, 4lmodvsass 19291 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
4231, 29, 32, 30, 41syl13anc 1440 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
4327, 40, 423eqtr4rd 2825 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
441, 4ringcl 18959 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
45443expb 1110 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
469, 45sylan 575 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
4712, 6, 1, 13, 3asclval 19743 . . . 4 ((𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(.r𝐹)𝑦)) = ((𝑥(.r𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r𝐹)𝑦)) = ((𝑥(.r𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
4912, 6, 1, 13, 3asclval 19743 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑥) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
5029, 49syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴𝑥) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
5112, 6, 1, 13, 3asclval 19743 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑦) = (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
5232, 51syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴𝑦) = (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
5350, 52oveq12d 6942 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴𝑥)(.r𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
5443, 48, 533eqtr4d 2824 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r𝐹)𝑦)) = ((𝐴𝑥)(.r𝑊)(𝐴𝑦)))
5512, 6, 10, 16asclghm 19746 . 2 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
561, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 22, 54, 55isrhm2d 19128 1 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  .rcmulr 16350  Scalarcsca 16352   ·𝑠 cvsca 16353  1rcur 18899  Ringcrg 18945  CRingccrg 18946   RingHom crh 19112  LModclmod 19266  AssAlgcasa 19717  algSccascl 19719 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-grp 17823  df-ghm 18053  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-rnghom 19115  df-lmod 19268  df-assa 19720  df-ascl 19722 This theorem is referenced by:  mplind  19909  evlslem1  19922  mpfind  19943  pf1ind  20126  mat2pmatmul  20954  mat2pmatlin  20958
 Copyright terms: Public domain W3C validator