Theorem asclrhm 21848

Description: The algebra scalar lifting function is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclrhm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclrhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclrhm	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Proof of Theorem asclrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
6		asclrhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	assasca 21819	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
8		assaring 21818	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
9		asclrhm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		assalmod 21817	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	9, 6, 10, 8	ascl1 21843	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))
12	9, 6, 1, 5, 4	ascldimul 21846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
13	12	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(.r‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(.r‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
14	9, 6, 8, 10	asclghm 21840	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
15	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14	isrhm2d 20424	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182  1_rcur 20118   RingHom crh 20407  AssAlgcasa 21807  algSccascl 21809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-rhm 20410  df-lmod 20815  df-assa 21810  df-ascl 21812

This theorem is referenced by:  rnasclsubrg  21851  mplind  22027  evlslem1  22039  mpfind  22072  ply1fermltlchr  22258  pf1ind  22301  mat2pmatmul  22677  mat2pmatlin  22681  ply1asclunit  33657  ply1asclzrhval  42464  selvcllem2  42842  selvvvval  42849  evlselv  42851