Theorem rnascl 21754

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnascl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnascl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnascl	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		rnascl.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclfval 21742	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
7	6	rnmpt 5954	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
8		assalmod 21724	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
9		assaring 21725	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 5	ringidcl 20161	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 1 ∈ (Base‘𝑊))
13		rnascl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	2, 3, 10, 4, 13	lspsn 20845	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
15	8, 12, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
16	7, 15	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  ∃wrex 3069  {csn 4628  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814  AssAlgcasa 21714  algSccascl 21716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21717  df-ascl 21719

This theorem is referenced by:  issubassa2  21755