Theorem rnascl 21845

Description: The set of lifted scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnascl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnascl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnascl	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		rnascl.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclfval 21832	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
7	6	rnmpt 5904	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
8		assalmod 21813	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
9		assaring 21814	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 5	ringidcl 20198	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 1 ∈ (Base‘𝑊))
13		rnascl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	2, 3, 10, 4, 13	lspsn 20951	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
15	8, 12, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
16	7, 15	eqtr4id 2788	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712  ∃wrex 3058  {csn 4578  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LModclmod 20809  LSpanclspn 20920  AssAlgcasa 21803  algSccascl 21805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-assa 21806  df-ascl 21808

This theorem is referenced by:  issubassa2  21846