Theorem rnascl 21774

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnascl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnascl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnascl	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		rnascl.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclfval 21762	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
7	6	rnmpt 5945	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
8		assalmod 21744	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
9		assaring 21745	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
10		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 5	ringidcl 20161	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 1 ∈ (Base‘𝑊))
13		rnascl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	2, 3, 10, 4, 13	lspsn 20845	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
15	8, 12, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
16	7, 15	eqtr4id 2783	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∃wrex 3062  {csn 4621  ran crn 5668  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814  AssAlgcasa 21734  algSccascl 21736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21737  df-ascl 21739

This theorem is referenced by:  issubassa2  21775