Theorem rnascl 19666

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnascl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnascl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnascl	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 19642	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2		assaring 19643	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
3		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		rnascl.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	3, 4	ringidcl 18884	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 1 ∈ (Base‘𝑊))
7		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		rnascl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	7, 8, 3, 9, 10	lspsn 19323	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
12	1, 6, 11	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
13		rnascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
14	13, 7, 8, 9, 4	asclfval 19657	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
15	14	rnmpt 5575	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
16	12, 15	syl6reqr 2852	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {cab 2785  ∃wrex 3090  {csn 4368  ran crn 5313  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  Scalarcsca 16270   ·_𝑠 cvsca 16271  1_rcur 18817  Ringcrg 18863  LModclmod 19181  LSpanclspn 19292  AssAlgcasa 19632  algSccascl 19634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-assa 19635  df-ascl 19637

This theorem is referenced by:  issubassa2  19668