Theorem rnascl 21824

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnascl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnascl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnascl	⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		rnascl.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclfval 21812	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
7	6	rnmpt 5957	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
8		assalmod 21794	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
9		assaring 21795	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
10		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 5	ringidcl 20202	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 1 ∈ (Base‘𝑊))
13		rnascl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	2, 3, 10, 4, 13	lspsn 20886	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
15	8, 12, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
16	7, 15	eqtr4id 2787	1 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  ∃wrex 3067  {csn 4629  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  LModclmod 20743  LSpanclspn 20855  AssAlgcasa 21784  algSccascl 21786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-ascl 21789

This theorem is referenced by:  issubassa2  21825