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Theorem assapropd 21291
Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
assapropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
assapropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
assapropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
assapropd.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ))
assapropd.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΏ))
assapropd.7 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ)
assapropd.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
assapropd (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐾   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 21282 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ LMod)
2 assaring 21283 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ Ring)
31, 2jca 513 . . 3 (𝐾 ∈ AssAlg β†’ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ AssAlg β†’ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)))
5 assalmod 21282 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ LMod)
6 assapropd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
7 assapropd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
8 assapropd.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
9 assapropd.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ))
10 assapropd.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΏ))
11 assapropd.7 . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ)
12 assapropd.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 20400 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
145, 13syl5ibr 246 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ LMod))
15 assaring 21283 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ Ring)
16 assapropd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
176, 7, 8, 16ringpropd 20011 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1815, 17syl5ibr 246 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ Ring))
1914, 18jcad 514 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ AssAlg β†’ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)))
209, 10eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΎ) = (Scalarβ€˜πΏ))
2120eleq1d 2819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜πΎ) ∈ CRing ↔ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ CRing))
2213, 17, 213anbi123d 1437 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΎ) ∈ CRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ CRing)))
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΎ) ∈ CRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ CRing)))
24 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ πœ‘)
25 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ LMod)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
279fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
2811, 27eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
3026, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
31 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3224, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
3331, 32eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜πΎ) = (Scalarβ€˜πΎ)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ·𝑠 β€˜πΎ) = ( ·𝑠 β€˜πΎ)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))
3834, 35, 36, 37lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3925, 30, 33, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4039, 32eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
41 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
4216oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
4324, 40, 41, 42syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
4412oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
4524, 26, 31, 44syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
4645oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
4743, 46eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
48 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
4941, 32eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
5134, 50ringcl 19986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5248, 33, 49, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5352, 32eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
5412oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))
5524, 26, 53, 54syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))
5616oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))
5724, 31, 41, 56syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))
5857oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))
5955, 58eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))
6047, 59eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))))
6134, 35, 36, 37lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6225, 30, 49, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6362, 32eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
6416oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
6524, 31, 63, 64syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
6612oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
6724, 26, 41, 66syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
6965, 68eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
7069, 59eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ↔ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))))
7160, 70anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
7271anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
73722ralbidva 3207 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
7473ralbidva 3169 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
7528adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
766adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
7776raleqdv 3312 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
7876, 77raleqbidv 3318 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
7975, 78raleqbidv 3318 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
8010fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
8111, 80eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
8281adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
837adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
8483raleqdv 3312 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8583, 84raleqbidv 3318 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8682, 85raleqbidv 3318 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8774, 79, 863bitr3d 309 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8823, 87anbi12d 632 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΎ) ∈ CRing) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))) ↔ ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ CRing) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))))))
8934, 35, 37, 36, 50isassa 21278 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg ↔ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΎ) ∈ CRing) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
90 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
91 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΏ) = (Scalarβ€˜πΏ)
92 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))
93 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
94 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
9590, 91, 92, 93, 94isassa 21278 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg ↔ ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ CRing) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
9688, 89, 953bitr4g 314 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
9796ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg)))
984, 19, 97pm5.21ndd 381 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  LModclmod 20336  AssAlgcasa 21272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-assa 21275
This theorem is referenced by:  opsrassa  21483
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