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Theorem assapropd 21809
Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
assapropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
assapropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
assapropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
assapropd.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ))
assapropd.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΏ))
assapropd.7 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ)
assapropd.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
assapropd (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐾   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 21798 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ LMod)
2 assaring 21799 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ Ring)
31, 2jca 510 . . 3 (𝐾 ∈ AssAlg β†’ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ AssAlg β†’ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)))
5 assalmod 21798 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ LMod)
6 assapropd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
7 assapropd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
8 assapropd.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
9 assapropd.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ))
10 assapropd.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΏ))
11 assapropd.7 . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ)
12 assapropd.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 20812 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
145, 13imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ LMod))
15 assaring 21799 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ Ring)
16 assapropd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
176, 7, 8, 16ringpropd 20228 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1815, 17imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ AssAlg β†’ 𝐾 ∈ Ring))
1914, 18jcad 511 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ AssAlg β†’ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)))
2013, 17anbi12d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring)))
2120adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring)))
22 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ πœ‘)
23 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ LMod)
24 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
259fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
2611, 25eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
2824, 27eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
29 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3022, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
3129, 30eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜πΎ) = (Scalarβ€˜πΎ)
34 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ·𝑠 β€˜πΎ) = ( ·𝑠 β€˜πΎ)
35 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))
3632, 33, 34, 35lmodvscl 20765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3723, 28, 31, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3837, 30eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
39 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
4016oveqrspc2v 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
4122, 38, 39, 40syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
4212oveqrspc2v 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
4322, 24, 29, 42syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
4443oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
4541, 44eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀))
46 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
47 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
4839, 30eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4932, 46, 47, 31, 48ringcld 20203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5049, 30eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
5112oveqrspc2v 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))
5222, 24, 50, 51syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))
5316oveqrspc2v 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))
5422, 29, 39, 53syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))
5554oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))
5652, 55eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))
5745, 56eqeq12d 2741 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))))
5832, 33, 34, 35lmodvscl 20765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5923, 28, 48, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6059, 30eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
6116oveqrspc2v 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
6222, 29, 60, 61syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
6312oveqrspc2v 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
6422, 24, 39, 63syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
6564oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
6662, 65eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
6766, 56eqeq12d 2741 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ↔ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))))
6857, 67anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
6968anassrs 466 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
70692ralbidva 3207 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
7170ralbidva 3166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
7226adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
736adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
7473raleqdv 3315 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
7573, 74raleqbidv 3330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
7672, 75raleqbidv 3330 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
7710fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
7811, 77eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
7978adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
807adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
8180raleqdv 3315 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8280, 81raleqbidv 3330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8379, 82raleqbidv 3330 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8471, 76, 833bitr3d 308 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
8521, 84anbi12d 630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))) ↔ ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀))))))
8632, 33, 35, 34, 46isassa 21794 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg ↔ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)(.rβ€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑧(.rβ€˜πΎ)𝑀)))))
87 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
88 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΏ) = (Scalarβ€˜πΏ)
89 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))
90 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
91 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
9287, 88, 89, 90, 91isassa 21794 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg ↔ ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)(.rβ€˜πΏ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)) ∧ (𝑧(.rβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑧(.rβ€˜πΏ)𝑀)))))
9385, 86, 923bitr4g 313 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
9493ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg)))
954, 19, 94pm5.21ndd 378 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  Ringcrg 20177  LModclmod 20747  AssAlgcasa 21788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-assa 21791
This theorem is referenced by:  opsrassa  22011
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