Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | assalmod 21282 |
. . . 4
β’ (πΎ β AssAlg β πΎ β LMod) |
2 | | assaring 21283 |
. . . 4
β’ (πΎ β AssAlg β πΎ β Ring) |
3 | 1, 2 | jca 513 |
. . 3
β’ (πΎ β AssAlg β (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) |
4 | 3 | a1i 11 |
. 2
β’ (π β (πΎ β AssAlg β (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring))) |
5 | | assalmod 21282 |
. . . 4
β’ (πΏ β AssAlg β πΏ β LMod) |
6 | | assapropd.1 |
. . . . 5
β’ (π β π΅ = (BaseβπΎ)) |
7 | | assapropd.2 |
. . . . 5
β’ (π β π΅ = (BaseβπΏ)) |
8 | | assapropd.3 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π₯ β π΅ β§ π¦ β π΅)) β (π₯(+gβπΎ)π¦) = (π₯(+gβπΏ)π¦)) |
9 | | assapropd.5 |
. . . . 5
β’ (π β πΉ = (ScalarβπΎ)) |
10 | | assapropd.6 |
. . . . 5
β’ (π β πΉ = (ScalarβπΏ)) |
11 | | assapropd.7 |
. . . . 5
β’ π = (BaseβπΉ) |
12 | | assapropd.8 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π¦ β π΅)) β (π₯( Β·π
βπΎ)π¦) = (π₯( Β·π
βπΏ)π¦)) |
13 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | lmodpropd 20400 |
. . . 4
β’ (π β (πΎ β LMod β πΏ β LMod)) |
14 | 5, 13 | syl5ibr 246 |
. . 3
β’ (π β (πΏ β AssAlg β πΎ β LMod)) |
15 | | assaring 21283 |
. . . 4
β’ (πΏ β AssAlg β πΏ β Ring) |
16 | | assapropd.4 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π₯ β π΅ β§ π¦ β π΅)) β (π₯(.rβπΎ)π¦) = (π₯(.rβπΏ)π¦)) |
17 | 6, 7, 8, 16 | ringpropd 20011 |
. . . 4
β’ (π β (πΎ β Ring β πΏ β Ring)) |
18 | 15, 17 | syl5ibr 246 |
. . 3
β’ (π β (πΏ β AssAlg β πΎ β Ring)) |
19 | 14, 18 | jcad 514 |
. 2
β’ (π β (πΏ β AssAlg β (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring))) |
20 | 9, 10 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (ScalarβπΎ) = (ScalarβπΏ)) |
21 | 20 | eleq1d 2819 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((ScalarβπΎ) β CRing β
(ScalarβπΏ) β
CRing)) |
22 | 13, 17, 21 | 3anbi123d 1437 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πΎ β LMod β§ πΎ β Ring β§ (ScalarβπΎ) β CRing) β (πΏ β LMod β§ πΏ β Ring β§
(ScalarβπΏ) β
CRing))) |
23 | 22 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β ((πΎ β LMod β§ πΎ β Ring β§ (ScalarβπΎ) β CRing) β (πΏ β LMod β§ πΏ β Ring β§
(ScalarβπΏ) β
CRing))) |
24 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π) |
25 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β πΎ β LMod) |
26 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π β π) |
27 | 9 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (BaseβπΉ) =
(Baseβ(ScalarβπΎ))) |
28 | 11, 27 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π = (Baseβ(ScalarβπΎ))) |
29 | 24, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π = (Baseβ(ScalarβπΎ))) |
30 | 26, 29 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π β (Baseβ(ScalarβπΎ))) |
31 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π§ β π΅) |
32 | 24, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π΅ = (BaseβπΎ)) |
33 | 31, 32 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π§ β (BaseβπΎ)) |
34 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
35 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(ScalarβπΎ) =
(ScalarβπΎ) |
36 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (
Β·π βπΎ) = ( Β·π
βπΎ) |
37 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(Baseβ(ScalarβπΎ)) = (Baseβ(ScalarβπΎ)) |
38 | 34, 35, 36, 37 | lmodvscl 20354 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β LMod β§ π β
(Baseβ(ScalarβπΎ)) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β (π( Β·π
βπΎ)π§) β (BaseβπΎ)) |
39 | 25, 30, 33, 38 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)π§) β (BaseβπΎ)) |
40 | 39, 32 | eleqtrrd 2837 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)π§) β π΅) |
41 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π€ β π΅) |
42 | 16 | oveqrspc2v 7385 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π( Β·π
βπΎ)π§) β π΅ β§ π€ β π΅)) β ((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = ((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΏ)π€)) |
43 | 24, 40, 41, 42 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β ((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = ((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΏ)π€)) |
44 | 12 | oveqrspc2v 7385 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ (π β π β§ π§ β π΅)) β (π( Β·π
βπΎ)π§) = (π( Β·π
βπΏ)π§)) |
45 | 24, 26, 31, 44 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)π§) = (π( Β·π
βπΏ)π§)) |
46 | 45 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β ((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΏ)π€) = ((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€)) |
47 | 43, 46 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β ((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = ((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€)) |
48 | | simplrr 777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β πΎ β Ring) |
49 | 41, 32 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β π€ β (BaseβπΎ)) |
50 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(.rβπΎ) = (.rβπΎ) |
51 | 34, 50 | ringcl 19986 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Ring β§ π§ β (BaseβπΎ) β§ π€ β (BaseβπΎ)) β (π§(.rβπΎ)π€) β (BaseβπΎ)) |
52 | 48, 33, 49, 51 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π§(.rβπΎ)π€) β (BaseβπΎ)) |
53 | 52, 32 | eleqtrrd 2837 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π§(.rβπΎ)π€) β π΅) |
54 | 12 | oveqrspc2v 7385 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ (π β π β§ (π§(.rβπΎ)π€) β π΅)) β (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΎ)π€))) |
55 | 24, 26, 53, 54 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΎ)π€))) |
56 | 16 | oveqrspc2v 7385 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅)) β (π§(.rβπΎ)π€) = (π§(.rβπΏ)π€)) |
57 | 24, 31, 41, 56 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π§(.rβπΎ)π€) = (π§(.rβπΏ)π€)) |
58 | 57 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))) |
59 | 55, 58 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))) |
60 | 47, 59 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β ((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)))) |
61 | 34, 35, 36, 37 | lmodvscl 20354 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β LMod β§ π β
(Baseβ(ScalarβπΎ)) β§ π€ β (BaseβπΎ)) β (π( Β·π
βπΎ)π€) β (BaseβπΎ)) |
62 | 25, 30, 49, 61 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)π€) β (BaseβπΎ)) |
63 | 62, 32 | eleqtrrd 2837 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)π€) β π΅) |
64 | 16 | oveqrspc2v 7385 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ (π§ β π΅ β§ (π( Β·π
βπΎ)π€) β π΅)) β (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΎ)π€))) |
65 | 24, 31, 63, 64 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΎ)π€))) |
66 | 12 | oveqrspc2v 7385 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ (π β π β§ π€ β π΅)) β (π( Β·π
βπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)π€)) |
67 | 24, 26, 41, 66 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π( Β·π
βπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)π€)) |
68 | 67 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€))) |
69 | 65, 68 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€))) |
70 | 69, 59 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β ((π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)))) |
71 | 60, 70 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ (π β π β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅))) β ((((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
72 | 71 | anassrs 469 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ π β π) β§ (π§ β π΅ β§ π€ β π΅)) β ((((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
73 | 72 | 2ralbidva 3207 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β§ π β π) β (βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
74 | 73 | ralbidva 3169 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ β π βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β βπ β π βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
75 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β π = (Baseβ(ScalarβπΎ))) |
76 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β π΅ = (BaseβπΎ)) |
77 | 76 | raleqdv 3312 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β βπ€ β (BaseβπΎ)(((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))))) |
78 | 76, 77 | raleqbidv 3318 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β βπ§ β (BaseβπΎ)βπ€ β (BaseβπΎ)(((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))))) |
79 | 75, 78 | raleqbidv 3318 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ β π βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β βπ β (Baseβ(ScalarβπΎ))βπ§ β (BaseβπΎ)βπ€ β (BaseβπΎ)(((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))))) |
80 | 10 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (BaseβπΉ) =
(Baseβ(ScalarβπΏ))) |
81 | 11, 80 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π = (Baseβ(ScalarβπΏ))) |
82 | 81 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β π = (Baseβ(ScalarβπΏ))) |
83 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β π΅ = (BaseβπΏ)) |
84 | 83 | raleqdv 3312 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))) β βπ€ β (BaseβπΏ)(((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
85 | 83, 84 | raleqbidv 3318 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))) β βπ§ β (BaseβπΏ)βπ€ β (BaseβπΏ)(((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
86 | 82, 85 | raleqbidv 3318 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ β π βπ§ β π΅ βπ€ β π΅ (((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))) β βπ β (Baseβ(ScalarβπΏ))βπ§ β (BaseβπΏ)βπ€ β (BaseβπΏ)(((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
87 | 74, 79, 86 | 3bitr3d 309 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (βπ β
(Baseβ(ScalarβπΎ))βπ§ β (BaseβπΎ)βπ€ β (BaseβπΎ)(((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))) β βπ β (Baseβ(ScalarβπΏ))βπ§ β (BaseβπΏ)βπ€ β (BaseβπΏ)(((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
88 | 23, 87 | anbi12d 632 |
. . . 4
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (((πΎ β LMod β§ πΎ β Ring β§ (ScalarβπΎ) β CRing) β§
βπ β
(Baseβ(ScalarβπΎ))βπ§ β (BaseβπΎ)βπ€ β (BaseβπΎ)(((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)))) β ((πΏ β LMod β§ πΏ β Ring β§ (ScalarβπΏ) β CRing) β§
βπ β
(Baseβ(ScalarβπΏ))βπ§ β (BaseβπΏ)βπ€ β (BaseβπΏ)(((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)))))) |
89 | 34, 35, 37, 36, 50 | isassa 21278 |
. . . 4
β’ (πΎ β AssAlg β ((πΎ β LMod β§ πΎ β Ring β§
(ScalarβπΎ) β
CRing) β§ βπ
β (Baseβ(ScalarβπΎ))βπ§ β (BaseβπΎ)βπ€ β (BaseβπΎ)(((π( Β·π
βπΎ)π§)(.rβπΎ)π€) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€)) β§ (π§(.rβπΎ)(π( Β·π
βπΎ)π€)) = (π( Β·π
βπΎ)(π§(.rβπΎ)π€))))) |
90 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΏ) =
(BaseβπΏ) |
91 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(ScalarβπΏ) =
(ScalarβπΏ) |
92 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(Baseβ(ScalarβπΏ)) = (Baseβ(ScalarβπΏ)) |
93 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ (
Β·π βπΏ) = ( Β·π
βπΏ) |
94 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(.rβπΏ) = (.rβπΏ) |
95 | 90, 91, 92, 93, 94 | isassa 21278 |
. . . 4
β’ (πΏ β AssAlg β ((πΏ β LMod β§ πΏ β Ring β§
(ScalarβπΏ) β
CRing) β§ βπ
β (Baseβ(ScalarβπΏ))βπ§ β (BaseβπΏ)βπ€ β (BaseβπΏ)(((π( Β·π
βπΏ)π§)(.rβπΏ)π€) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€)) β§ (π§(.rβπΏ)(π( Β·π
βπΏ)π€)) = (π( Β·π
βπΏ)(π§(.rβπΏ)π€))))) |
96 | 88, 89, 95 | 3bitr4g 314 |
. . 3
β’ ((π β§ (πΎ β LMod β§ πΎ β Ring)) β (πΎ β AssAlg β πΏ β AssAlg)) |
97 | 96 | ex 414 |
. 2
β’ (π β ((πΎ β LMod β§ πΎ β Ring) β (πΎ β AssAlg β πΏ β AssAlg))) |
98 | 4, 19, 97 | pm5.21ndd 381 |
1
β’ (π β (πΎ β AssAlg β πΏ β AssAlg)) |