Theorem cicrcl2 49821

Description: Isomorphism implies the structure being a category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cicrcl2	⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem cicrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5110	. 2 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
2		elfvdm 6915	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ dom ≃𝑐 )
3		cicfn 49820	. . . 4 ⊢ ≃𝑐 Fn Cat
4	3	fndmi 6639	. . 3 ⊢ dom ≃𝑐 = Cat
5	2, 4	eleqtrdi 2873	. 2 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  Catccat 17715   ≃_𝑐 ccic 17847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544  df-ov 7413  df-cic 17848

This theorem is referenced by:  oppccic  49822  cicpropdlem  49827  termfucterm  50322