Theorem cicrcl2 49048

Description: Isomorphism implies the structure being a category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cicrcl2	⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem cicrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5096	. 2 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
2		elfvdm 6861	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ dom ≃𝑐 )
3		cicfn 49047	. . . 4 ⊢ ≃𝑐 Fn Cat
4	3	fndmi 6590	. . 3 ⊢ dom ≃𝑐 = Cat
5	2, 4	eleqtrdi 2838	. 2 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  Catccat 17589   ≃_𝑐 ccic 17721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-fv 6494  df-ov 7356  df-cic 17722

This theorem is referenced by:  oppccic  49049  cicpropdlem  49054  termfucterm  49549