Theorem cicrcl2 49204

Description: Isomorphism implies the structure being a category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cicrcl2	⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem cicrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5096	. 2 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
2		elfvdm 6865	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ dom ≃𝑐 )
3		cicfn 49203	. . . 4 ⊢ ≃𝑐 Fn Cat
4	3	fndmi 6593	. . 3 ⊢ dom ≃𝑐 = Cat
5	2, 4	eleqtrdi 2843	. 2 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  Catccat 17578   ≃_𝑐 ccic 17710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-fv 6497  df-ov 7358  df-cic 17711

This theorem is referenced by:  oppccic  49205  cicpropdlem  49210  termfucterm  49705