Theorem cicrcl2 49402

Description: Isomorphism implies the structure being a category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cicrcl2	⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem cicrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5101	. 2 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
2		elfvdm 6876	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ dom ≃𝑐 )
3		cicfn 49401	. . . 4 ⊢ ≃𝑐 Fn Cat
4	3	fndmi 6604	. . 3 ⊢ dom ≃𝑐 = Cat
5	2, 4	eleqtrdi 2847	. 2 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  Catccat 17599   ≃_𝑐 ccic 17731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-fv 6508  df-ov 7371  df-cic 17732

This theorem is referenced by:  oppccic  49403  cicpropdlem  49408  termfucterm  49903