Theorem elfvdm 6727

Description: If a function value has a member, then the argument belongs to the domain. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by NM, 12-Feb-2007.) (Proof shortened by BJ, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elfvdm	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem elfvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ¬ (𝐹‘𝐵) = ∅)
2		ndmfv 6725	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) = ∅)
3	1, 2	nsyl2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∅c0 4223  dom cdm 5536  ‘cfv 6358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fv 6366

This theorem is referenced by:  elfvex  6728  elfvmptrab1w  6822  fveqdmss  6877  eldmrexrnb  6889  elmpocl  7425  elovmpt3rab1  7443  mpoxeldm  7931  mpoxopn0yelv  7933  mpoxopxnop0  7935  r1pwss  9365  rankwflemb  9374  r1elwf  9377  rankr1ai  9379  rankdmr1  9382  rankr1ag  9383  rankr1c  9402  r1pwcl  9428  cardne  9546  cardsdomelir  9554  r1wunlim  10316  eluzel2  12408  acsfiel  17111  homarcl2  17495  arwrcl  17504  pleval2i  17796  acsdrscl  18006  acsficl  18007  gsumws1  18218  cntzrcl  18675  smndlsmidm  18999  eldprd  19345  isunit  19629  isirred  19671  lbsss  20068  lbssp  20070  lbsind  20071  elocv  20584  cssi  20600  linds1  20726  linds2  20727  lindsind  20733  ply1frcl  21188  eltg4i  21811  eltg3  21813  tg1  21815  tg2  21816  cldrcl  21877  neiss2  21952  lmrcl  22082  iscnp2  22090  kqtop  22596  fbasne0  22681  0nelfb  22682  fbsspw  22683  fbasssin  22687  fbun  22691  trfbas2  22694  trfbas  22695  isfil  22698  filss  22704  fbasweak  22716  fgval  22721  elfg  22722  fgcl  22729  isufil  22754  ufilss  22756  trufil  22761  fmval  22794  elfm3  22801  fmfnfmlem4  22808  fmfnfm  22809  elrnust  23076  metflem  23180  xmetf  23181  xmeteq0  23190  xmettri2  23192  xmetres2  23213  blfvalps  23235  blvalps  23237  blval  23238  blfps  23258  blf  23259  isxms2  23300  tmslem  23334  metuval  23401  lmmbr2  24110  lmmbrf  24113  fmcfil  24123  iscau2  24128  iscauf  24131  caucfil  24134  cmetcaulem  24139  iscmet3  24144  cfilresi  24146  caussi  24148  causs  24149  metcld2  24158  cmetss  24167  bcthlem1  24175  bcth3  24182  cpncn  24787  cpnres  24788  tglngne  26595  wlkdlem3  27726  1wlkdlem3  28176  elunirn2  30662  fpwrelmap  30742  metidval  31508  pstmval  31513  brsiga  31817  measbase  31831  cvmsrcl  32893  snmlval  32960  madebdayim  33756  oldbdayim  33757  fneuni  34222  uncf  35442  unccur  35446  caures  35604  ismtyval  35644  isismty  35645  heiborlem10  35664  eldiophb  40223  elmnc  40605  submgmrcl  44952  elbigofrcl  45512