Theorem elfvdm 6856

Description: If a function value has a member, then the argument belongs to the domain. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by NM, 12-Feb-2007.) (Proof shortened by BJ, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elfvdm	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem elfvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ¬ (𝐹‘𝐵) = ∅)
2		ndmfv 6854	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) = ∅)
3	1, 2	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  dom cdm 5614  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  elfvex  6857  elfvmptrab1w  6956  fveqdmss  7011  eldmrexrnb  7025  elmpocl  7587  elovmpt3rab1  7606  mpoxeldm  8141  mpoxopn0yelv  8143  mpoxopxnop0  8145  r1pwss  9677  rankwflemb  9686  r1elwf  9689  rankr1ai  9691  rankdmr1  9694  rankr1ag  9695  rankr1c  9714  r1pwcl  9740  cardne  9858  cardsdomelir  9866  r1wunlim  10628  eluzel2  12737  acsfiel  17560  homarcl2  17942  arwrcl  17951  pleval2i  18240  acsdrscl  18452  acsficl  18453  submgmrcl  18603  gsumws1  18746  cntzrcl  19239  smndlsmidm  19568  eldprd  19918  isunit  20291  isirred  20337  lbsss  21011  lbssp  21013  lbsind  21014  elocv  21605  cssi  21621  linds1  21747  linds2  21748  lindsind  21754  ply1frcl  22233  eltg4i  22875  eltg3  22877  tg1  22879  tg2  22880  cldrcl  22941  neiss2  23016  lmrcl  23146  iscnp2  23154  kqtop  23660  fbasne0  23745  0nelfb  23746  fbsspw  23747  fbasssin  23751  fbun  23755  trfbas2  23758  trfbas  23759  isfil  23762  filss  23768  fbasweak  23780  fgval  23785  elfg  23786  fgcl  23793  isufil  23818  ufilss  23820  trufil  23825  fmval  23858  elfm3  23865  fmfnfmlem4  23872  fmfnfm  23873  metflem  24243  xmetf  24244  xmeteq0  24253  xmettri2  24255  xmetres2  24276  blfvalps  24298  blvalps  24300  blval  24301  blfps  24321  blf  24322  isxms2  24363  tmslem  24397  lmmbr2  25186  lmmbrf  25189  fmcfil  25199  iscau2  25204  iscauf  25207  caucfil  25210  cmetcaulem  25215  iscmet3  25220  cfilresi  25222  caussi  25224  causs  25225  metcld2  25234  cmetss  25243  bcthlem1  25251  bcth3  25258  cpncn  25865  cpnres  25866  madebdayim  27833  oldbdayim  27834  newbdayim  27848  tglngne  28528  wlkdlem3  29661  1wlkdlem3  30119  fpwrelmap  32716  brsiga  34196  measbase  34210  r1elcl  35109  cvmsrcl  35308  snmlval  35375  fneuni  36391  uncf  37638  unccur  37642  caures  37799  ismtyval  37839  isismty  37840  heiborlem10  37859  eldiophb  42849  elmnc  43228  elbigofrcl  48650  cicrcl2  49143  cic1st2nd  49147  eloppf  49233