Theorem oppccic 48918

Description: Isomorphic objects are isomorphic in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppccic.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppccic.i	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oppccic	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Proof of Theorem oppccic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppccic.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)
2		cicrcl2 48917	. . . 4 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppccic.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
5	4	oppccat 17737	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
7		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		cicrcl 17819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
9	3, 1, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
10		ciclcl 17818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
11	3, 1, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝑂) = (Iso‘𝑂)
14	7, 4, 3, 9, 11, 12, 13	oppciso 17797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) = (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆))
15	14	neeq1d 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅ ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
16	4, 7	oppcbas 17733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
17	13, 16, 6, 9, 11	brcic 17814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅 ↔ (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅))
18	12, 7, 3, 11, 9	brcic 17814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
19	15, 17, 18	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅))
20	1, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅)
21		cicsym 17820	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅) → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)
22	6, 20, 21	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17230  Catccat 17679  oppCatcoppc 17726  Isociso 17762   ≃_𝑐 ccic 17811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-cat 17683  df-cid 17684  df-oppc 17727  df-sect 17763  df-inv 17764  df-iso 17765  df-cic 17812

This theorem is referenced by:  oppccicb  48925  oppcciceq  48926  termoeu2  48989