Theorem oppccic 49970

Description: Isomorphic objects are isomorphic in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppccic.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppccic.i	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oppccic	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Proof of Theorem oppccic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppccic.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)
2		cicrcl2 49969	. . . 4 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppccic.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
5	4	oppccat 17810	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		cicrcl 17892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
9	3, 1, 8	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
10		ciclcl 17891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
11	3, 1, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝑂) = (Iso‘𝑂)
14	7, 4, 3, 9, 11, 12, 13	oppciso 17870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) = (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆))
15	14	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅ ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
16	4, 7	oppcbas 17806	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
17	13, 16, 6, 9, 11	brcic 17887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅 ↔ (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅))
18	12, 7, 3, 11, 9	brcic 17887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
19	15, 17, 18	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅))
20	1, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅)
21		cicsym 17893	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅) → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)
22	6, 20, 21	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Catccat 17752  oppCatcoppc 17799  Isociso 17835   ≃_𝑐 ccic 17884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-oppc 17800  df-sect 17836  df-inv 17837  df-iso 17838  df-cic 17885

This theorem is used by:  oppccicb  49977  oppcciceq  49978  termoeu2  50164