Theorem oppccic 49205

Description: Isomorphic objects are isomorphic in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppccic.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppccic.i	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oppccic	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Proof of Theorem oppccic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppccic.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)
2		cicrcl2 49204	. . . 4 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppccic.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
5	4	oppccat 17636	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		cicrcl 17718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
9	3, 1, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
10		ciclcl 17717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
11	3, 1, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝑂) = (Iso‘𝑂)
14	7, 4, 3, 9, 11, 12, 13	oppciso 17696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) = (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆))
15	14	neeq1d 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅ ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
16	4, 7	oppcbas 17632	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
17	13, 16, 6, 9, 11	brcic 17713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅 ↔ (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅))
18	12, 7, 3, 11, 9	brcic 17713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
19	15, 17, 18	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅))
20	1, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅)
21		cicsym 17719	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅) → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)
22	6, 20, 21	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  Catccat 17578  oppCatcoppc 17625  Isociso 17661   ≃_𝑐 ccic 17710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-oppc 17626  df-sect 17662  df-inv 17663  df-iso 17664  df-cic 17711

This theorem is referenced by:  oppccicb  49212  oppcciceq  49213  termoeu2  49399