Theorem oppccic 49702

Description: Isomorphic objects are isomorphic in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppccic.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppccic.i	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oppccic	⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Proof of Theorem oppccic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppccic.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆)
2		cicrcl2 49701	. . . 4 ⊢ (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝐶 ∈ Cat)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppccic.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
5	4	oppccat 17774	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
7		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		cicrcl 17856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
9	3, 1, 8	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
10		ciclcl 17855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
11	3, 1, 10	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝑂) = (Iso‘𝑂)
14	7, 4, 3, 9, 11, 12, 13	oppciso 17834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) = (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆))
15	14	neeq1d 3023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅ ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
16	4, 7	oppcbas 17770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
17	13, 16, 6, 9, 11	brcic 17851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅 ↔ (𝑆(Iso‘𝑂)𝑅) ≠ ∅))
18	12, 7, 3, 11, 9	brcic 17851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ (𝑅(Iso‘𝐶)𝑆) ≠ ∅))
19	15, 17, 18	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅))
20	1, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅)
21		cicsym 17857	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑆( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑅) → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)
22	6, 20, 21	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅( ≃𝑐 ‘𝑂)𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  Catccat 17716  oppCatcoppc 17763  Isociso 17799   ≃_𝑐 ccic 17848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-oppc 17764  df-sect 17800  df-inv 17801  df-iso 17802  df-cic 17849

This theorem is referenced by:  oppccicb  49709  oppcciceq  49710  termoeu2  49896