Theorem termfucterm 50897

Description: All functors between two terminal categories are isomorphisms. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termfucterm.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termfucterm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termfucterm.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
termfucterm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termfucterm.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
termfucterm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termfucterm.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termfucterm	⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) = (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem termfucterm

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termfucterm.yt	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TermCat)
2		termfucterm.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termfucterm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		termfucterm.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		termfucterm.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		termfucterm.xt	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
7	2, 3, 4, 5, 6	termcciso 50866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))
8	1, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
9		termfucterm.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
10		cicrcl2 50372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 → 𝐶 ∈ Cat)
11	8, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	9, 3, 11, 4, 5	cic 18006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
13	8, 12	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 FuncCat 𝑌) = (𝑋 FuncCat 𝑌)
16	6	termccatd 50829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
17	15, 16, 1	fucterm 50895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 FuncCat 𝑌) ∈ TermCat)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 FuncCat 𝑌) ∈ TermCat)
19	15	fucbas 18170	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 Func 𝑌) = (Base‘(𝑋 FuncCat 𝑌))
20		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
21		fullfunc 18115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Full 𝑌) ⊆ (𝑋 Func 𝑌)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
23		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
25	2, 22, 23, 9, 24	catcisoi 50750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑔 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝑔):(Base‘𝑋)⟶1-1onto(Base‘𝑌)))
26	25	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)))
27	26	elin1d 4104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ (𝑋 Full 𝑌))
28	21, 27	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
29	18, 19, 20, 28	termcbasmo 50833	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 = 𝑔)
30	29, 24	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
31	14, 30	exlimddv 1970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
33	2, 22, 23, 9, 32	catcisoi 50750	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑓 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝑓):(Base‘𝑋)⟶1-1onto(Base‘𝑌)))
34	33	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)))
35	34	elin1d 4104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋 Full 𝑌))
36	21, 35	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
37	31, 36	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
38	37	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) = (𝑋𝐼𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1^st c1st 8026  Basecbs 17419  Catccat 17870  Isociso 17953   ≃_𝑐 ccic 18002   Func cfunc 18061   Full cful 18111   Faith cfth 18112   FuncCat cfuc 18152  CatCatccatc 18305  TermCatctermc 50822

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-hom 17484  df-cco 17485  df-cat 17874  df-cid 17875  df-homf 17876  df-comf 17877  df-oppc 17918  df-sect 17954  df-inv 17955  df-iso 17956  df-cic 18003  df-func 18065  df-idfu 18066  df-cofu 18067  df-full 18113  df-fth 18114  df-nat 18153  df-fuc 18154  df-inito 18191  df-termo 18192  df-catc 18306  df-thinc 50768  df-termc 50823

This theorem is used by: (None)