Theorem termfucterm 50478

Description: All functors between two terminal categories are isomorphisms. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termfucterm.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termfucterm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termfucterm.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
termfucterm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termfucterm.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
termfucterm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termfucterm.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termfucterm	⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) = (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem termfucterm

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termfucterm.yt	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TermCat)
2		termfucterm.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termfucterm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		termfucterm.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		termfucterm.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		termfucterm.xt	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
7	2, 3, 4, 5, 6	termcciso 50450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))
8	1, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
9		termfucterm.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
10		cicrcl2 49977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 → 𝐶 ∈ Cat)
11	8, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	9, 3, 11, 4, 5	cic 17894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
13	8, 12	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 FuncCat 𝑌) = (𝑋 FuncCat 𝑌)
16	6	termccd 50413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
17	15, 16, 1	fucterm 50476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 FuncCat 𝑌) ∈ TermCat)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 FuncCat 𝑌) ∈ TermCat)
19	15	fucbas 18058	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 Func 𝑌) = (Base‘(𝑋 FuncCat 𝑌))
20		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
21		fullfunc 18003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Full 𝑌) ⊆ (𝑋 Func 𝑌)
22		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
23		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
25	2, 22, 23, 9, 24	catcisoi 50334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑔 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝑔):(Base‘𝑋)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
26	25	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)))
27	26	elin1d 4153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ (𝑋 Full 𝑌))
28	21, 27	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑔 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
29	18, 19, 20, 28	termcbasmo 50417	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 = 𝑔)
30	29, 24	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
31	14, 30	exlimddv 1968	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
33	2, 22, 23, 9, 32	catcisoi 50334	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑓 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝑓):(Base‘𝑋)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
34	33	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)))
35	34	elin1d 4153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋 Full 𝑌))
36	21, 35	sselid 3932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
37	31, 36	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋 Func 𝑌) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
38	37	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) = (𝑋𝐼𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1^st c1st 7988  Basecbs 17307  Catccat 17758  Isociso 17841   ≃_𝑐 ccic 17890   Func cfunc 17949   Full cful 17999   Faith cfth 18000   FuncCat cfuc 18040  CatCatccatc 18193  TermCatctermc 50406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-cat 17762  df-cid 17763  df-homf 17764  df-comf 17765  df-oppc 17806  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844  df-cic 17891  df-func 17953  df-idfu 17954  df-cofu 17955  df-full 18001  df-fth 18002  df-nat 18041  df-fuc 18042  df-inito 18079  df-termo 18080  df-catc 18194  df-thinc 50352  df-termc 50407

This theorem is used by: (None)