Theorem cosn 48944

Description: Composition with an ordered pair singleton. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cosn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))

Proof of Theorem cosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 7072	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
2	1	coeq2d 5801	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ ({𝐵} × {𝐶})) = (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
3		coxp 48943	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ ({𝐵} × {𝐶})) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))
4	2, 3	eqtr3di 2781	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  ⟨cop 4579   × cxp 5612   “ cima 5617   ∘ ccom 5618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488

This theorem is referenced by:  cosni  48945