Theorem cosn 49612

Description: Composition with an ordered pair singleton. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cosn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))

Proof of Theorem cosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 7135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
2	1	coeq2d 5848	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ ({𝐵} × {𝐶})) = (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
3		coxp 49611	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ ({𝐵} × {𝐶})) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))
4	2, 3	eqtr3di 2813	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5659   “ cima 5664   ∘ ccom 5665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543

This theorem is referenced by:  cosni  49613