Theorem cosn 49762

Description: Composition with an ordered pair singleton. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cosn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))

Proof of Theorem cosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 7133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
2	1	coeq2d 5842	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ ({𝐵} × {𝐶})) = (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
3		coxp 49761	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ ({𝐵} × {𝐶})) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))
4	2, 3	eqtr3di 2810	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5653   “ cima 5658   ∘ ccom 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540

This theorem is used by:  cosni  49763