Theorem cosni 49310

Description: Composition with an ordered pair singleton. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosni.1	⊢ 𝐵 ∈ V
cosni.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cosni	⊢ (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))

Proof of Theorem cosni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosni.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		cosni.2	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		cosn 49309	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567  ⟨cop 4573   × cxp 5629   “ cima 5634   ∘ ccom 5635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505

This theorem is referenced by:  dftpos6  49350