Theorem cosni 50085

Description: Composition with an ordered pair singleton. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosni.1	⊢ 𝐵 ∈ V
cosni.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cosni	⊢ (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))

Proof of Theorem cosni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosni.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		cosni.2	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		cosn 50084	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶})))
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 ∘ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) = ({𝐵} × (𝐴 “ {𝐶}))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453  {csn 4587  ⟨cop 4837   × cxp 5652   “ cima 5657   ∘ ccom 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553

This theorem is used by:  dftpos6  50127