Theorem xpsng 7121

Description: The Cartesian product of two singletons is the singleton consisting in the associated ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6751	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3		fsng 7119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	2, 3	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {csn 4582  ⟨cop 4588   × cxp 5645  ⟶wf 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528

This theorem is referenced by:  xpprsng  7122  xpsn  7123  f1o2sn  7124  residpr  7125  fmptsn  7151  f1ofvswap  7290  mposn  8082  repsw1  14796  s1co  14846  intopsn  18688  grp1inv  19090  psgnsn  19560  ixpsnbasval  21275  mat1dimelbas  22531  mat1dimscm  22535  mat1dimmul  22536  mat1f1o  22538  m1detdiag  22657  pt1hmeo  23866  nosupbnd2lem1  27779  cosnop  32897  cshw1s2  33138  selvply1rhmlem2  33818  vieta  33877  rngosn3  38423  fmptsnxp  45747  lmod1zr  49115  cosn  49455  termcfuncval  50153  diag1f1olem  50154  diag2f1olem  50157