Theorem xpsng 7094

Description: The Cartesian product of two singletons is the singleton consisting in the associated ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6729	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3		fsng 7092	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	2, 3	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ⟨cop 4588   × cxp 5630  ⟶wf 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507

This theorem is referenced by:  xpprsng  7095  xpsn  7096  f1o2sn  7097  residpr  7098  fmptsn  7123  f1ofvswap  7262  mposn  8055  repsw1  14718  s1co  14768  intopsn  18591  grp1inv  18990  psgnsn  19461  ixpsnbasval  21172  mat1dimelbas  22427  mat1dimscm  22431  mat1dimmul  22432  mat1f1o  22434  m1detdiag  22553  pt1hmeo  23762  nosupbnd2lem1  27695  cosnop  32785  cshw1s2  33053  vieta  33757  rngosn3  38175  fmptsnxp  45528  lmod1zr  48853  cosn  49193  termcfuncval  49891  diag1f1olem  49892  diag2f1olem  49895