Theorem xpsng 7158

Description: The Cartesian product of two singletons is the singleton consisting in the associated ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6795	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3		fsng 7156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	2, 3	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {csn 4630  ⟨cop 4636   × cxp 5686  ⟶wf 6558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569

This theorem is referenced by:  xpprsng  7159  xpsn  7160  f1o2sn  7161  residpr  7162  fmptsn  7186  f1ofvswap  7325  mposn  8126  repsw1  14817  s1co  14868  intopsn  18679  grp1inv  19078  psgnsn  19552  ixpsnbasval  21232  mat1dimelbas  22492  mat1dimscm  22496  mat1dimmul  22497  mat1f1o  22499  m1detdiag  22618  pt1hmeo  23829  nosupbnd2lem1  27774  cosnop  32709  cshw1s2  32929  rngosn3  37910  fmptsnxp  45111  lmod1zr  48338