MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsng 6623
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 6301 . . 3 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
21adantl 469 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3 fsng 6621 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
42, 3mpbid 223 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  {csn 4364  cop 4370   × cxp 5303  wf 6091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pr 5090
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102
This theorem is referenced by:  xpsn  6624  f1o2sn  6625  residpr  6626  fmptsn  6652  mpt2sn  7496  repsw1  13748  s1co  13797  xpscg  16417  xpsc0  16419  xpsc1  16420  intopsn  17452  grp1inv  17722  psgnsn  18135  ixpsnbasval  19412  mat1dimelbas  20482  mat1dimscm  20486  mat1dimmul  20487  mat1f1o  20489  m1detdiag  20608  pt1hmeo  21817  nosupbnd2lem1  32176  rngosn3  34028  fmptsnxp  39832  xpprsng  42672  lmod1zr  42844
  Copyright terms: Public domain W3C validator