Theorem elfunsALTV4 38950

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV4	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝐹,𝑥

Proof of Theorem elfunsALTV4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 38947	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels4 38790	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38745	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2536   class class class wbr 5097   ≀ ccoss 38353   Rels crels 38355   CnvRefRels ccnvrefrels 38361   FunsALTV cfunsALTV 38385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-rels 38610  df-coss 38671  df-ssr 38748  df-cnvrefs 38775  df-cnvrefrels 38776  df-funss 38935  df-funsALTV 38936

This theorem is referenced by: (None)