Theorem elfunsALTV4 37560

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV4	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝐹,𝑥

Proof of Theorem elfunsALTV4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 37557	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels4 37405	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 37361	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 532	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 289	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥))
6	5	pm5.32ri 576	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 274	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2532   class class class wbr 5148   ≀ ccoss 37038   Rels crels 37040   CnvRefRels ccnvrefrels 37046   FunsALTV cfunsALTV 37068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37276  df-rels 37350  df-ssr 37363  df-cnvrefs 37390  df-cnvrefrels 37391  df-funss 37545  df-funsALTV 37546

This theorem is referenced by: (None)