Theorem elfunsALTV4 38693

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV4	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝐹,𝑥

Proof of Theorem elfunsALTV4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 38690	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels4 38537	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38493	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531   class class class wbr 5092   ≀ ccoss 38175   Rels crels 38177   CnvRefRels ccnvrefrels 38183   FunsALTV cfunsALTV 38205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-coss 38408  df-rels 38482  df-ssr 38495  df-cnvrefs 38522  df-cnvrefrels 38523  df-funss 38678  df-funsALTV 38679

This theorem is referenced by: (None)