Theorem dffunsALTV4 38967

Description: Alternate definition of the class of functions. For the 𝑋 axis and the 𝑌 axis you can convert the right side to {𝑓 ∈ Rels ∣ ∀𝑥₁∃*𝑦₁𝑥₁𝑓𝑦₁}. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dffunsALTV4	⊢ FunsALTV = {𝑓 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥}

Distinct variable group:   𝑢,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dffunsALTV4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffunsALTV 38964	. 2 ⊢ FunsALTV = {𝑓 ∈ Rels ∣ ≀ 𝑓 ∈ CnvRefRels }
2		cosselcnvrefrels4 38815	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑓 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥 ∧ ≀ 𝑓 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38770	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Rels → ≀ 𝑓 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ Rels → (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥 ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥 ∧ ≀ 𝑓 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ Rels → ( ≀ 𝑓 ∈ CnvRefRels ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥))
6	1, 5	rabimbieq 38452	1 ⊢ FunsALTV = {𝑓 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2537  {crab 3399   class class class wbr 5098   ≀ ccoss 38386   Rels crels 38388   CnvRefRels ccnvrefrels 38394   FunsALTV cfunsALTV 38416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-rels 38638  df-coss 38696  df-ssr 38773  df-cnvrefs 38800  df-cnvrefrels 38801  df-funss 38961  df-funsALTV 38962

This theorem is referenced by:  dffunsALTV5  38968