Theorem dffunsALTV4 38668

Description: Alternate definition of the class of functions. For the 𝑋 axis and the 𝑌 axis you can convert the right side to {𝑓 ∈ Rels ∣ ∀𝑥₁∃*𝑦₁𝑥₁𝑓𝑦₁}. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dffunsALTV4	⊢ FunsALTV = {𝑓 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥}

Distinct variable group:   𝑢,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dffunsALTV4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffunsALTV 38665	. 2 ⊢ FunsALTV = {𝑓 ∈ Rels ∣ ≀ 𝑓 ∈ CnvRefRels }
2		cosselcnvrefrels4 38522	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑓 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥 ∧ ≀ 𝑓 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38478	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Rels → ≀ 𝑓 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ Rels → (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥 ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥 ∧ ≀ 𝑓 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ Rels → ( ≀ 𝑓 ∈ CnvRefRels ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥))
6	1, 5	rabimbieq 38233	1 ⊢ FunsALTV = {𝑓 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑓𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536  {crab 3433   class class class wbr 5148   ≀ ccoss 38162   Rels crels 38164   CnvRefRels ccnvrefrels 38170   FunsALTV cfunsALTV 38192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-coss 38393  df-rels 38467  df-ssr 38480  df-cnvrefs 38507  df-cnvrefrels 38508  df-funss 38662  df-funsALTV 38663

This theorem is referenced by:  dffunsALTV5  38669