Theorem disjALTV0 38753

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5159	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1800	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2535	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1795	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5765	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 38715	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1538  ∃wex 1779  ∃*wmo 2532  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  Rel wrel 5646   Disj wdisjALTV 38210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-coss 38409  df-cnvrefrel 38525  df-disjALTV 38704

This theorem is referenced by:  eqvrel0  38785  det0  38786  eqvrelcoss0  38787  pet02  38813