Theorem disjALTV0 39923

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5153	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1832	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2566	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1827	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5777	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39870	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ Disj ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  ∀wal 1567  ∃wex 1811  ∃*wmo 2562  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  Rel wrel 5656   Disj wdisjALTV 39288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-coss 39570  df-cnvrefrel 39676  df-disjALTV 39859

This theorem is used by:  eqvrel0  39958  det0  39959  eqvrelcoss0  39960  pet02  39986