Theorem disjALTV0 38710

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5215	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1798	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2544	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1793	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5823	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 38672	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 710	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1535  ∃wex 1777  ∃*wmo 2541  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  Rel wrel 5705   Disj wdisjALTV 38169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-coss 38367  df-cnvrefrel 38483  df-disjALTV 38661

This theorem is referenced by:  eqvrel0  38742  det0  38743  eqvrelcoss0  38744  pet02  38770