Theorem disjALTV0 40052

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5160	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1833	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2569	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1828	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5785	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39999	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ Disj ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  ∀wal 1568  ∃wex 1812  ∃*wmo 2565  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  Rel wrel 5663   Disj wdisjALTV 39417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-coss 39699  df-cnvrefrel 39805  df-disjALTV 39988

This theorem is used by:  eqvrel0  40087  det0  40088  eqvrelcoss0  40089  pet02  40115