Theorem disjALTV0 38952

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5145	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1801	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2539	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1796	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5746	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 38914	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1539  ∃wex 1780  ∃*wmo 2535  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  Rel wrel 5627   Disj wdisjALTV 38356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-coss 38613  df-cnvrefrel 38719  df-disjALTV 38903

This theorem is referenced by:  eqvrel0  38984  det0  38985  eqvrelcoss0  38986  pet02  39012