Theorem disjALTV0 39350

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5149	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1820	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2568	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1815	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5771	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39297	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 721	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1558  ∃wex 1799  ∃*wmo 2564  ∅c0 4285   class class class wbr 5100  Rel wrel 5652   Disj wdisjALTV 38715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-coss 38997  df-cnvrefrel 39103  df-disjALTV 39286

This theorem is referenced by:  eqvrel0  39385  det0  39386  eqvrelcoss0  39387  pet02  39413