Theorem disjALTV0 39105

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5149	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1802	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2542	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1797	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5756	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39052	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 712	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1540  ∃wex 1781  ∃*wmo 2538  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  Rel wrel 5637   Disj wdisjALTV 38470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-coss 38752  df-cnvrefrel 38858  df-disjALTV 39041

This theorem is referenced by:  eqvrel0  39140  det0  39141  eqvrelcoss0  39142  pet02  39168