Theorem disjALTV0 39392

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5164	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1827	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2575	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1822	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5786	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39339	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 723	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1565  ∃wex 1806  ∃*wmo 2571  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  Rel wrel 5667   Disj wdisjALTV 38757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-coss 39039  df-cnvrefrel 39145  df-disjALTV 39328

This theorem is referenced by:  eqvrel0  39427  det0  39428  eqvrelcoss0  39429  pet02  39455