Theorem disjALTV0 39561

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5162	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1833	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2571	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1828	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5787	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39508	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ Disj ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  ∀wal 1568  ∃wex 1812  ∃*wmo 2567  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  Rel wrel 5668   Disj wdisjALTV 38926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-coss 39208  df-cnvrefrel 39314  df-disjALTV 39497

This theorem is used by:  eqvrel0  39596  det0  39597  eqvrelcoss0  39598  pet02  39624