Theorem disjALTV0 39221

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5121	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1807	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2545	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1802	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5742	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39168	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 717	1 ⊢ Disj ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1545  ∃wex 1786  ∃*wmo 2541  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  Rel wrel 5623   Disj wdisjALTV 38586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-coss 38868  df-cnvrefrel 38974  df-disjALTV 39157

This theorem is referenced by:  eqvrel0  39256  det0  39257  eqvrelcoss0  39258  pet02  39284