Theorem disjALTV0 39786

Description: The null class is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjALTV0	⊢ Disj ∅

Proof of Theorem disjALTV0

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5154	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑢∅𝑥
2	1	nex 1833	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥
3		nexmo 2567	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑢 𝑢∅𝑥 → ∃*𝑢 𝑢∅𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑢 𝑢∅𝑥
5	4	ax-gen 1828	. 2 ⊢ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥
6		rel0 5776	. 2 ⊢ Rel ∅
7		dfdisjALTV4 39733	. 2 ⊢ ( Disj ∅ ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢∅𝑥 ∧ Rel ∅))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ Disj ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  ∀wal 1568  ∃wex 1812  ∃*wmo 2563  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  Rel wrel 5656   Disj wdisjALTV 39151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-coss 39433  df-cnvrefrel 39539  df-disjALTV 39722

This theorem is used by:  eqvrel0  39821  det0  39822  eqvrelcoss0  39823  pet02  39849