Theorem dfdisjs3 35958

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs3	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 35957	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid3 35731	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
3	1, 2	rabbieq 35527	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1535   = wceq 1537  {crab 3142   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066   I cid 5459  ^◡ccnv 5554   ≀ ccoss 35468   Rels crels 35470   Disjs cdisjs 35501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-coss 35674  df-rels 35740  df-ssr 35753  df-cnvrefs 35778  df-cnvrefrels 35779  df-disjss 35951  df-disjs 35952

This theorem is referenced by: (None)