Theorem dfdisjs3 39530

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs3	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39529	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid3 39301	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
3	1, 2	rabbieq 3422	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  {crab 3414   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   I cid 5553  ^◡ccnv 5658   ≀ ccoss 38918   Rels crels 38920   Disjs cdisjs 38953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-rels 39175  df-coss 39236  df-ssr 39313  df-cnvrefs 39340  df-cnvrefrels 39341  df-disjss 39523  df-disjs 39524

This theorem is used by: (None)