Theorem dfdisjs3 37883

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs3	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 37882	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid3 37649	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
3	1, 2	rabbieq 37421	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ∀wal 1537   = wceq 1539  {crab 3430   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   I cid 5572  ^◡ccnv 5674   ≀ ccoss 37346   Rels crels 37348   Disjs cdisjs 37379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-coss 37584  df-rels 37658  df-ssr 37671  df-cnvrefs 37698  df-cnvrefrels 37699  df-disjss 37876  df-disjs 37877

This theorem is referenced by: (None)