Theorem dfdisjs3 39134

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs3	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39133	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid3 38905	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
3	1, 2	rabbieq 3398	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑟𝑥 ∧ 𝑣𝑟𝑥) → 𝑢 = 𝑣)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  {crab 3390   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   I cid 5520  ^◡ccnv 5625   ≀ ccoss 38522   Rels crels 38524   Disjs cdisjs 38557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-rels 38779  df-coss 38840  df-ssr 38917  df-cnvrefs 38944  df-cnvrefrels 38945  df-disjss 39127  df-disjs 39128

This theorem is referenced by: (None)